Spletni grafikoni. Kako narisati graf funkcije. Risanje točk na koordinatni ravnini

Funkcija gradnje

Ponujamo vam storitev za gradnjo grafov funkcij na spletu, katere vse pravice pripadajo podjetju Desmos. Uporabite levi stolpec za vnos funkcij. Vnesete lahko ročno ali z virtualno tipkovnico na dnu okna. Če želite povečati okno z grafom, lahko skrijete levi stolpec in navidezno tipkovnico.

Prednosti spletnega grafikona

Vizualni prikaz vnesenih funkcij
Grajenje zelo kompleksnih grafov
Izdelava implicitno podanih grafov (na primer elipsa x^2/9+y^2/16=1)
Možnost shranjevanja grafikonov in prejemanja povezave do njih, ki postane na voljo vsem na internetu
Nadzor lestvice in barve črte
Možnost izrisa grafov po točkah, z uporabo konstant
Risanje več funkcijskih grafov hkrati
Risanje v polarnih koordinatah (uporabite r in θ(\theta))

Z nami je preprosto sestaviti grafikone različnih zahtevnosti na spletu. Gradnja se izvede takoj. Storitev je potrebna za iskanje presečišč funkcij, za upodobitev grafov za nadaljnji premik v Wordov dokument kot ilustracije pri reševanju problemov in za analizo vedenjskih značilnosti funkcijskih grafov. Optimalen brskalnik za delo z grafikoni na tej spletni strani je Google Chrome. Pri uporabi drugih brskalnikov pravilno delovanje ni zagotovljeno.

Prej smo preučevali druge funkcije, na primer linearne, spomnimo se njegove standardne oblike:

torej očitna temeljna razlika - v linearni funkciji X stoji na prvi stopnji in v novi funkciji, ki jo začenjamo preučevati, X stoji na drugi potenci.

Spomnimo se, da je graf linearne funkcije ravna črta, graf funkcije pa je, kot bomo videli, krivulja, imenovana parabola.

Začnimo z ugotovitvijo, od kod izvira formula. Razlaga je naslednja: če nam je dan kvadrat s stranico A, potem lahko njegovo površino izračunamo takole:

Če spremenimo dolžino stranice kvadrata, se bo spremenila njegova ploščina.

Torej, to je eden od razlogov, zakaj se funkcija preučuje

Spomnimo se, da je spremenljivka X- to je neodvisna spremenljivka ali argument v fizični interpretaciji, lahko je na primer čas; Nasprotno, razdalja je odvisna spremenljivka; Odvisna spremenljivka ali funkcija je spremenljivka pri.

To je zakon korespondence, po katerem vsaka vrednost X dodeljena je ena sama vrednost pri.

Vsak korespondenčni zakon mora izpolnjevati zahtevo po edinstvenosti od argumenta do funkcije. V fizikalni interpretaciji je to videti povsem jasno na primeru odvisnosti razdalje od časa: v vsakem trenutku smo na določeni razdalji od začetne točke in nemogoče je biti hkrati 10 in 20 kilometrov od začetka. poti ob istem času ob času t.

Hkrati je mogoče vsako vrednost funkcije doseči z več vrednostmi argumentov.

Torej moramo zgraditi graf funkcije, za to pa moramo narediti tabelo. Nato preučite funkcijo in njene lastnosti s pomočjo grafa. Toda še preden zgradimo graf glede na vrsto funkcije, lahko povemo nekaj o njenih lastnostih: očitno je, da pri ne more prevzeti negativnih vrednosti, saj

Torej, naredimo tabelo:

riž. 1

Iz grafa je enostavno opaziti naslednje lastnosti:

Os pri- to je simetrijska os grafa;

Vrh parabole je točka (0; 0);

Vidimo, da funkcija sprejema le nenegativne vrednosti;

V intervalu, kjer funkcija pada, in na intervalu, kjer funkcija narašča;

Funkcija dobi najmanjšo vrednost na točki, ;

Ne obstaja največja vrednost funkcije;

Primer 1

Pogoj:

rešitev:

Zaradi X s spremembami pogoja na določenem intervalu lahko za funkcijo rečemo, da na intervalu narašča in se spreminja. Funkcija ima na tem intervalu najmanjšo in največjo vrednost

riž. 2. Graf funkcije y = x 2 , x ∈

Primer 2

Pogoj: Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije:

rešitev:

X spreminja v intervalu, kar pomeni pri pada na intervalu medtem in narašča na intervalu medtem ko .

Torej, meje sprememb X, in meje sprememb pri, zato je na danem intervalu najmanjša vrednost funkcije in največja

riž. 3. Graf funkcije y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Naj ponazorimo dejstvo, da lahko isto vrednost funkcije dosežemo z več vrednostmi argumentov.

Funkcijski graf je vizualna predstavitev obnašanja funkcije na koordinatni ravnini. Grafi vam pomagajo razumeti različne vidike funkcije, ki jih ni mogoče določiti iz same funkcije. Gradite lahko grafe številnih funkcij in vsaki od njih bo dana posebna formula. Graf katere koli funkcije je zgrajen z uporabo določenega algoritma (če ste pozabili natančen postopek grafa določene funkcije).

Koraki

Graf linearne funkcije

Ugotovite, ali je funkcija linearna. Linearna funkcija je podana s formulo oblike F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) oz y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(na primer ), njegov graf pa je ravna črta. Tako formula vključuje eno spremenljivko in eno konstanto (konstanto) brez kakršnih koli eksponentov, predznakov za koren in podobno. Če je podana funkcija podobnega tipa, je zelo enostavno narisati graf takšne funkcije. Tu so še drugi primeri linearnih funkcij:

S konstanto označite točko na osi Y. Konstanta (b) je koordinata »y« točke, kjer graf seka os Y. To pomeni, da je to točka, katere koordinata »x« je enaka 0. Torej, če je x = 0 vstavljena v formulo. , potem je y = b (konstanta). V našem primeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstanta je enaka 5, to pomeni, da ima točka presečišča z osjo Y koordinate (0,5). Narišite to točko na koordinatno ravnino.

Poiščite naklon premice. Je enak množitelju spremenljivke. V našem primeru y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) pri spremenljivki “x” je faktor 2; tako je koeficient naklona enak 2. Koeficient naklona določa kot naklona ravne črte na os X, to je, večji ko je koeficient naklona, hitreje se funkcija povečuje ali zmanjšuje.

Zapišite naklon kot ulomek. Kotni koeficient je enak tangensu naklonskega kota, to je razmerju med navpično razdaljo (med dvema točkama na ravni črti) in vodoravno razdaljo (med istima točkama). V našem primeru je naklon 2, tako da lahko trdimo, da je navpična razdalja 2 in vodoravna razdalja 1. To zapišite kot ulomek: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Če je naklon negativen, je funkcija padajoča.

Od točke, kjer ravna črta seka os Y, narišite drugo točko z uporabo navpične in vodoravne razdalje. Graf linearne funkcije je mogoče prikazati z uporabo dveh točk. V našem primeru ima presečišče z osjo Y koordinate (0,5); Od te točke se pomaknite za 2 presledki navzgor in nato 1 presledek v desno. Označite točko; imel bo koordinate (1,7). Zdaj lahko narišete ravno črto.

Z ravnilom narišite ravno črto skozi dve točki. Da bi se izognili napakam, poiščite tretjo točko, vendar je v večini primerov graf mogoče narisati z uporabo dveh točk. Tako ste narisali linearno funkcijo.

Izris točk na koordinatni ravnini
1. Definirajte funkcijo. Funkcija je označena kot f(x). Vse možne vrednosti spremenljivke "y" se imenujejo domena funkcije, vse možne vrednosti spremenljivke "x" pa domena funkcije. Na primer, razmislite o funkciji y = x+2, in sicer f(x) = x+2.
  
  Narišite dve sekajoči se pravokotni črti. Vodoravna črta je os X, navpična črta je os Y.
  
  Označite koordinatne osi. Vsako os razdelite na enake segmente in jih oštevilčite. Presečišče osi je 0. Za X os: pozitivna števila so narisana desno (od 0), negativna števila pa levo. Za os Y: pozitivna števila so narisana zgoraj (od 0), negativna števila pa spodaj.
  
  Poiščite vrednosti "y" iz vrednosti "x". V našem primeru je f(x) = x+2. V to formulo nadomestite določene vrednosti x, da izračunate ustrezne vrednosti y. Če je podana kompleksna funkcija, jo poenostavite tako, da na eni strani enačbe ločite »y«.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Narišite točke na koordinatno ravnino. Za vsak par koordinat naredite naslednje: poiščite ustrezno vrednost na X osi in narišite navpično črto (črtkano); poiščite ustrezno vrednost na osi Y in narišite vodoravno črto (črtkano črto). Označite presečišče dveh črtkanih črt; tako ste na graf narisali točko.
  
  Izbrišite pikčaste črte. To naredite po tem, ko vse točke na grafu narišete na koordinatno ravnino. Opomba: graf funkcije f(x) = x je premica, ki poteka skozi koordinatno središče [točka s koordinatami (0,0)]; graf f(x) = x + 2 je premica, vzporedna s premico f(x) = x, vendar pomaknjena navzgor za dve enoti in zato poteka skozi točko s koordinatami (0,2) (ker je konstanta 2) .
Grafiranje kompleksne funkcije

Konstruiranje grafov funkcij, ki vsebujejo module, šolarjem običajno povzroča precejšnje težave. Vendar vse ni tako slabo. Dovolj je, da si zapomnite nekaj algoritmov za reševanje takšnih problemov in zlahka sestavite graf tudi na videz najbolj zapletene funkcije. Ugotovimo, kakšni algoritmi so to.

1. Izris grafa funkcije y = |f(x)|

Upoštevajte, da je niz funkcijskih vrednosti y = |f(x)| : y ≥ 0. Tako se grafi takih funkcij vedno v celoti nahajajo v zgornji polravnini.

Izris grafa funkcije y = |f(x)| je sestavljen iz naslednjih preprostih štirih korakov.

1) Previdno in skrbno sestavite graf funkcije y = f(x).

2) Vse točke na grafu, ki so nad ali na osi 0x, pustite nespremenjene.

3) Prikažite del grafa, ki leži pod osjo 0x simetrično glede na os 0x.

Primer 1. Nariši graf funkcije y = |x 2 – 4x + 3|

1) Zgradimo graf funkcije y = x 2 – 4x + 3. Očitno je, da je graf te funkcije parabola. Poiščimo koordinate vseh točk presečišča parabole s koordinatnimi osemi in koordinate vrha parabole.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Zato parabola seka os 0x v točkah (3, 0) in (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Zato parabola seka os 0y v točki (0, 3).

Koordinate vrha parabole:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Zato je točka (2, -1) oglišče te parabole.

Narišite parabolo z dobljenimi podatki (slika 1)

2) Del grafa, ki leži pod osjo 0x, je prikazan simetrično glede na os 0x.

3) Dobimo graf prvotne funkcije ( riž. 2, prikazano s pikčasto črto).

2. Risanje funkcije y = f(|x|)

Upoštevajte, da so funkcije oblike y = f(|x|) sode:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To pomeni, da so grafi takih funkcij simetrični glede na os 0y.

Risanje grafa funkcije y = f(|x|) je sestavljeno iz naslednje preproste verige dejanj.

1) Narišite graf funkcije y = f(x).

2) Pustimo tisti del grafa, za katerega je x ≥ 0, to je del grafa, ki se nahaja v desni polravnini.

3) Prikažite del grafa, ki je določen v točki (2), simetrično na os 0y.

4) Kot končni graf izberimo unijo krivulj, dobljenih v točkah (2) in (3).

Primer 2. Nariši graf funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3

Ker je x 2 = |x| 2, potem lahko izvirno funkcijo prepišemo v naslednji obliki: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Zdaj lahko uporabimo zgoraj predlagani algoritem.

1) Previdno in skrbno zgradimo graf funkcije y = x 2 – 4 x + 3 (glejte tudi riž. 1).

2) Pustimo tisti del grafa, za katerega je x ≥ 0, to je del grafa, ki se nahaja v desni polravnini.

3) Prikažite desno stran grafa simetrično na os 0y.

(slika 3).

Primer 3. Nariši graf funkcije y = log 2 |x|

Uporabljamo zgoraj navedeno shemo.

1) Zgradite graf funkcije y = log 2 x (slika 4).

3. Risanje funkcije y = |f(|x|)|

Upoštevajte, da so funkcije oblike y = |f(|x|)| so tudi celo. Dejansko je y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), zato so njihovi grafi simetrični glede na os 0y. Niz vrednosti takih funkcij: y ≥ 0. To pomeni, da se grafi takih funkcij nahajajo v celoti v zgornji polravnini.

Če želite narisati funkcijo y = |f(|x|)|, morate:

1) Previdno zgradite graf funkcije y = f(|x|).

2) Pustite nespremenjen del grafa, ki je nad ali na osi 0x.

3) Prikažite del grafa, ki se nahaja pod osjo 0x simetrično glede na os 0x.

4) Kot končni graf izberimo unijo krivulj, dobljenih v točkah (2) in (3).

Primer 4. Nariši graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Upoštevajte, da je x 2 = |x| 2. To pomeni, da je namesto prvotne funkcije y = -x 2 + 2|x| - 1

lahko uporabite funkcijo y = -|x| 2 + 2|x| – 1, saj njuna grafa sovpadata.

Zgradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za to uporabljamo algoritem 2.

a) Narišite graf funkcije y = -x 2 + 2x – 1 (slika 6).

b) Pustimo tisti del grafa, ki se nahaja v desni polravnini.

c) Nastali del grafa prikažemo simetrično na os 0y.

d) Dobljeni graf je na sliki prikazan s pikčasto črto (slika 7).

2) Nad osjo 0x ni točk; točke na osi 0x pustite nespremenjene.

3) Del grafa, ki se nahaja pod osjo 0x, je prikazan simetrično glede na 0x.

4) Nastali graf je na sliki prikazan s pikčasto črto (slika 8).

Primer 5. Graf funkcije y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Najprej morate narisati funkcijo y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bi to naredili, se vrnemo k algoritmu 2.

a) Previdno narišite funkcijo y = (2x – 4) / (x + 3) (slika 9).

Upoštevajte, da je ta funkcija delno linearna in je njen graf hiperbola. Če želite narisati krivuljo, morate najprej najti asimptote grafa. Vodoravno – y = 2/1 (razmerje koeficientov x v števcu in imenovalcu ulomka), navpično – x = -3.

2) Tisti del grafa, ki je nad 0x osjo ali na njej, bomo pustili nespremenjen.

3) Del grafa, ki se nahaja pod osjo 0x, bo prikazan simetrično glede na 0x.

4) Končni graf je prikazan na sliki (slika 11).

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.

Spletni grafikoni. Kako narisati graf funkcije. Risanje točk na koordinatni ravnini

Funkcija gradnje

Prednosti spletnega grafikona

Koraki

Graf linearne funkcije

Izris točk na koordinatni ravnini

Grafiranje kompleksne funkcije