Koliko kombinacij 2 od 10. Kombinatorika: osnovna pravila in formule. Permutacije in teorija verjetnosti

Vseh N elementov in nobeden se ne ponovi, potem je to problem števila permutacij. Rešitev je preprosta. Vsak od N elementov lahko zasede prvo mesto v vrsti, zato dobimo N možnosti. Na drugem mestu - kateri koli, razen tistega, ki je bil že uporabljen za prvo mesto. Zato za vsako od N že najdenih možnosti obstaja (N - 1) drugo uvrščenih možnosti, skupno število kombinacij pa postane N*(N - 1).
Enako lahko ponovimo za preostale elemente serije. Za čisto zadnje mesto ostane le ena možnost - zadnji preostali element. Za predzadnjo - dve možnosti itd.
Zato so za niz N neponavljajočih se elementov možne permutacije enake zmnožku vseh celih števil od 1 do N. Ta produkt imenujemo faktoriel N in ga označimo z N! (beri "en factorial").

V prejšnjem primeru je število možnih elementov in število mest v nizu sovpadalo, njihovo število pa je bilo enako N. Možna pa je situacija, ko je v nizu manj mest, kot je možnih elementov. Z drugimi besedami, število elementov v vzorcu je enako nekemu številu M in M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Najprej bo morda treba prešteti skupno število možnih načinov, na katere je mogoče v vrsto razporediti M elementov iz N. Takšni načini se imenujejo umestitve.
Drugič, raziskovalca lahko zanima število načinov, na katere je mogoče izbrati M elementov iz N. V tem primeru vrstni red elementov ni več pomemben, ampak se morata katerikoli dve možnosti med seboj razlikovati za vsaj en element . Takšne metode imenujemo kombinacije.

Da bi našli število umestitev M elementov od N, se lahko zatečemo k enakemu načinu razmišljanja kot v primeru permutacij. Na prvem mestu je lahko še vedno N elementov, na drugem (N - 1) itd. Za zadnje mesto pa število možnih možnosti ni ena, ampak (N - M + 1), ker bo po končani postavitvi ostalo (N - M) neuporabljenih elementov.
Tako je število umestitev nad M elementov iz N enako zmnožku vseh celih števil od (N - M + 1) do N ali, kar je enakovredno, kvocientu N!/(N - M)!.

Očitno bo število kombinacij M elementov iz N manjše od števila umestitev. Za vsako možno kombinacijo obstaja M! možne postavitve glede na vrstni red elementov te kombinacije. Če želite torej najti to število, morate število umestitev nad M elementi od N deliti z N!. Z drugimi besedami, število kombinacij M elementov iz N je N!/(M!*(N - M)!).

KOMBINATORIKA

Kombinatorika je veja matematike, ki proučuje probleme izbire in razporeditve elementov iz neke osnovne množice v skladu z danimi pravili. Formule in principi kombinatorike se v teoriji verjetnosti uporabljajo za izračun verjetnosti naključnih dogodkov in s tem za pridobitev zakonov porazdelitve naključnih spremenljivk. To pa omogoča preučevanje zakonitosti množičnih naključnih pojavov, kar je zelo pomembno za pravilno razumevanje statističnih zakonitosti, ki se kažejo v naravi in ​​tehnologiji.

Pravila za seštevanje in množenje v kombinatoriki

Pravilo vsote. Če se dve dejanji A in B medsebojno izključujeta in je dejanje A mogoče izvesti na m načinov, B pa na n načinov, potem je katero koli od teh dejanj (bodisi A bodisi B) mogoče izvesti na n + m načinov.

Primer 1

V razredu je 16 fantov in 10 deklet. Na koliko načinov je mogoče določiti enega spremljevalca?

rešitev

Za dežurnega lahko določite fanta ali deklico, t.j. v službi je lahko kateri koli od 16 fantov ali katera koli od 10 deklet.

Po pravilu vsote dobimo, da lahko enega dežurnega razporedimo na 16+10=26 načinov.

Pravilo izdelka. Naj bo potrebno izvesti zaporednih k dejanj. Če je prvo dejanje mogoče izvesti na n 1 načinov, drugo dejanje na n 2 načina, tretje na n 3 načine in tako naprej do k-tega dejanja, ki ga je mogoče izvesti na n k načinov, potem je vseh k dejanj skupaj mogoče izvedel:

načine.

Primer 2

V razredu je 16 fantov in 10 deklet. Na koliko načinov je mogoče določiti dva spremljevalca?

rešitev

Prvi dežurni je lahko fant ali deklica. Ker v razredu je 16 fantov in 10 deklet, potem lahko prvega dežurnega določite na 16 + 10 = 26 načinov.

Ko smo izbrali prvega dežurnega, lahko izmed preostalih 25 ljudi izberemo drugega, t.j. 25 načinov.

Po izreku množenja lahko dva spremljevalca izberemo na 26*25=650 načinov.

Kombinacije brez ponavljanja. Kombinacije s ponovitvami

Klasični problem kombinatorike je problem števila kombinacij brez ponovitev, katerega vsebino lahko izrazimo z vprašanjem: koliko načine Lahko izberite m od n različnih predmetov?

Primer 3

Za darilo morate izbrati 4 od 10 različnih knjig. Na koliko načinov je to mogoče storiti?

rešitev

Izbrati moramo 4 izmed 10 knjig, vrstni red izbire pa ni pomemben. Tako morate najti število kombinacij 10 elementov s 4:

.

Razmislite o problemu števila kombinacij s ponovitvami: obstaja r enakih predmetov vsakega od n različnih tipov; koliko načine Lahko izberite m() od te (n*r) artiklov?

.

Primer 4

V slaščičarni so prodajali 4 vrste tort: ​​napoleone, eklerje, krhko pecivo in listnato pecivo. Na koliko načinov je mogoče kupiti 7 tort?

rešitev

Ker med 7 tortami so lahko torte iste sorte, potem je število načinov, na katere je mogoče kupiti 7 tort, določeno s številom kombinacij s ponovitvami od 7 do 4.

.

Postavitve brez ponavljanja. Postavitve s ponovitvami

Klasični problem kombinatorike je problem števila umestitev brez ponovitev, katerega vsebino lahko izrazimo z vprašanjem: koliko načine Lahko izberite in mesto Avtor: m drugačen mesta m od n drugačen predmeti?

Primer 5

Neki časopis ima 12 strani. Na strani tega časopisa je potrebno postaviti štiri fotografije. Na koliko načinov je to mogoče storiti, če nobena stran časopisa ne sme vsebovati več kot eno fotografijo?

rešitev.

Pri tem problemu fotografij ne le izbiramo, temveč jih postavljamo na določene strani časopisa, pri čemer naj bo na vsaki strani časopisa največ ena fotografija. Tako se problem zmanjša na klasičen problem določanja števila umestitev brez ponovitev iz 12 elementov s 4 elementi:

Tako lahko 4 fotografije na 12 straneh razporedimo na 11880 načinov.

Prav tako je klasična naloga kombinatorike problem števila umestitev s ponovitvami, katerega vsebino lahko izrazimo z vprašanjem: koliko načine Lahko Tibvojska in mesto Avtor: m drugačen mesta m od n predmetovzredi ki Tukaj je enako?

Primer 6

Deček je imel iz seta za družabno igro štampiljke s številkami 1, 3 in 7. Odločil se je, da bo s temi štampiljkami vse knjige oštevilčil s petimi številkami – sestavil katalog. Koliko različnih petmestnih števil lahko sestavi deček?

Permutacije brez ponavljanja. Permutacije s ponovitvami

Klasični problem kombinatorike je problem števila permutacij brez ponavljanja, katerega vsebino lahko izrazimo z vprašanjem: koliko načine Lahko mesto n različno predmete na n drugačen mesta?

Primer 7

Koliko "besed" s štirimi črkami je mogoče sestaviti iz črk besede "poroka"?

rešitev

Splošni niz je 4 črke besede "poroka" (b, p, a, k). Število "besed" določajo permutacije teh 4 črk, tj.

Za primer, ko so med izbranimi n elementi enaki (izbor z vrnitvijo), lahko problem števila permutacij s ponovitvami izrazimo z vprašanjem: Na koliko načinov je mogoče n predmetov preurediti na n različnih mestih, če je med n predmeti k različnih tipov (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Primer 8

Koliko različnih črkovnih kombinacij je mogoče sestaviti iz črk besede "Mississippi"?

rešitev

Obstaja 1 črka "m", 4 črke "i", 3 črke "c" in 1 črka "p", skupaj 9 črk. Zato je število permutacij s ponovitvami

POVZETEK OZADJA O ODDELKU "KOMBINATORIKA"

prijatelji! Ker že imam ta mrtev zvezek, vas z njim zastavljam problem, s katerim so se včeraj ubadali trije fiziki, dva ekonomista, eden s Politehnike in en humanist. Polomili smo si cele možgane in nenehno dobivamo različne rezultate. Morda so med vami programerji in matematični geniji, poleg tega je problem na splošno šolski in zelo enostaven, samo formule nimamo. Ker smo opustili eksaktne znanosti in namesto tega iz nekega razloga pišemo knjige in rišemo. oprosti.

Torej, zgodba iz ozadja.

Dobil sem novo bančno kartico in kot ponavadi sem brez truda uganil njeno pin kodo. Ampak ne v vrsti. Mislim, recimo, da je bila pin koda 8794 in poklical sem 9748. Se pravi, zmagoslavno uganil vse številke ki jih vsebuje dano štirimestno število. no, ja, ne le številka, ampak samo njegove sestavine pri spraševal. Toda vse številke držijo! OPOMBA - Ravnal sem naključno, to pomeni, da mi ni bilo treba postavljati že znanih števil v pravi vrstni red, ravnal sem le v duhu: tukaj so štiri meni neznana števila in verjamem, da so med njimi morda 9, 7, 4 in 8, njihov vrstni red pa ni pomemben. Takoj smo se vprašali Koliko možnosti sem imel(verjetno zato, da bi razumel, kako kul je, da sem vzel in uganil). Se pravi med koliko kombinacijami štirih števil sem lahko izbiral? In potem se je seveda začel pekel. Ves večer so nam raznesle glave in vsi so posledično prišli do popolnoma različnih odgovorov! Vse te kombinacije sem celo začel pisati v zvezek po vrsti, ko so se povečevale, a pri štiristo sem ugotovil, da jih je več kot štiristo (v vsakem primeru je to ovrglo odgovor fizika Thrasha, ki mi je zagotovil, da bilo je štiristo kombinacij, a še vedno ni čisto jasno) – in obupal.

Pravzaprav, bistvo vprašanja. Kakšna je verjetnost, da uganete (v poljubnem vrstnem redu) štiri številke, ki jih vsebuje štirimestno število?

Ali pa tudi ne, preformulirajmo (sem humanist, oprostite, čeprav sem vedno imel veliko slabost do matematike), da bo bolj jasno in jasno. Koliko se ne ponavlja kombinacije števil, vsebovane v nizu zaporednih številk od 0 do 9999? ( prosim, ne zamenjujte tega z vprašanjem "koliko kombinacij se ne ponavljaštevilke"!!! številke se lahko ponavljajo! Mislim, 2233 in 3322 sta v tem primeru enaki kombinaciji!!).

Ali natančneje. Štirikrat moram uganiti eno številko od desetih. Ampak ne v vrsti.

No ali kaj drugega. Na splošno morate ugotoviti, koliko možnosti za številčno kombinacijo sem imel, kar je tvorilo pin kodo kartice. Na pomoč, dobri ljudje! Samo prosim, pomagajte, ne začnite takoj pisati, da obstaja 9999 možnosti za te(včeraj je vsem to najprej padlo na misel), ker to je nesmisel - navsezadnje so v perspektivi, ki nas skrbi, številka 1234, številka 3421, številka 4312 in tako naprej eno in isto! No, ja, številke se lahko ponavljajo, saj obstaja pin koda 1111 ali tam na primer 0007. Lahko si zamislite številko avtomobila namesto pin kode. Recimo, kakšna je verjetnost, da uganete vse enomestne številke avtomobila? Ali pa, da bi popolnoma odpravili teorijo verjetnosti - iz koliko številskih kombinacij sem moral izbrati eno?

Prosimo, podkrepite svoje odgovore in sklepanje z natančnimi formulami, ker smo včeraj skoraj izgubili razum. Najlepša hvala vsem že vnaprej!

P.S. Ena pametna oseba, programer, umetnik in izumitelj, je pravkar zelo pravilno predlagal pravilno rešitev problema in mi dal nekaj minut odličnega razpoloženja: " Rešitev problema je naslednja: ona ima obsesivno-kompulzivno motnjo, zdravljenje je naslednje: poroči se in spedi paradižnik. Če bi bil jaz na njenem mestu, bi se bolj ukvarjal ne z vprašanjem "kakšna je verjetnost", ampak z vprašanjem "ali sem pozoren na vse te številke"? Na splošno ni kaj dodati :)

Spodnji kalkulator je zasnovan za ustvarjanje vseh kombinacij n x m elementov.
Število takih kombinacij lahko izračunate s kalkulatorjem Elementi kombinatorike. Permutacije, postavitve, kombinacije.

Opis algoritma generiranja pod kalkulatorjem.

Algoritem

Kombinacije so generirane v leksikografskem vrstnem redu. Algoritem deluje z ordinalnimi indeksi elementov množice.
Oglejmo si algoritem na primeru.
Za lažjo predstavitev razmislite o nizu petih elementov, katerih indeksi se začnejo z 1, in sicer 1 2 3 4 5.
Potrebno je ustvariti vse kombinacije velikosti m = 3.
Najprej se inicializira prva kombinacija dane velikosti m - indeksi v naraščajočem vrstnem redu
1 2 3
Nato se preveri zadnji element, tj. i = 3. Če je njegova vrednost manjša od n - m + i, se poveča za 1.
1 2 4
Zadnji element se ponovno preveri in ponovno poveča.
1 2 5
Zdaj je vrednost elementa enaka največji možni: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, prejšnji element z i = 2 je preverjen.
Če je njegova vrednost manjša od n - m + i, se poveča za 1 in za vse elemente, ki mu sledijo, je vrednost enaka vrednosti prejšnjega elementa plus 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Nato znova preverimo i = 3.
1 3 5
Nato - preverite i = 2.
1 4 5
Nato pride na vrsto i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
In naprej,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - zadnja kombinacija, saj so vsi njeni elementi enaki n - m + i.

Kljub pomembni vlogi kode PIN v svetovni infrastrukturi še ni bila izvedena nobena akademska raziskava o tem, kako ljudje dejansko izberejo številke PIN.

Raziskovalca Univerze v Cambridgeu Sören Preibusch in Ross Anderson sta popravila situacijo z objavo prve svetovne kvantitativne analize težav pri ugibanju 4-mestnega bančnega PIN-a.

Z uporabo podatkov o uhajanju gesel iz nebančnih virov in spletnih anket so raziskovalci ugotovili, da uporabniki izbiro kod PIN jemljejo veliko bolj resno kot izbiro gesel za spletna mesta: večina kod vsebuje skoraj naključen nabor številk. Kljub temu so med začetnimi podatki preproste kombinacije in rojstni dnevi - to pomeni, da lahko napadalec z nekaj sreče preprosto ugane želeno kodo.

Izhodišče študije je bil niz 4-mestnih zaporedij gesel iz baze RockYou (1,7 milijona) in baza 200 tisoč kod PIN iz programa za zaklepanje zaslona iPhone (bazo je zagotovil razvijalec aplikacije Daniel Amitay) . Grafi, zgrajeni na podlagi teh podatkov, prikazujejo zanimive vzorce – datume, leta, ponavljajoče se številke in celo kode PIN, ki se končajo na 69. Na podlagi teh opazovanj so znanstveniki zgradili linearni regresijski model, ki ocenjuje priljubljenost posameznega PIN-a glede na 25 dejavnikov, kot je npr. ali je koda datum v formatu DDMM, ali je naraščajoče zaporedje itd. Te splošne pogoje izpolnjuje 79 % in 93 % PIN kod v vsakem od sklopov.

Torej uporabniki izberejo 4-mestne kode na podlagi le nekaj preprostih dejavnikov. Če bi bile bančne PIN kode izbrane na ta način, bi jih bilo mogoče uganiti 8-9% v samo treh poskusih! Seveda pa so ljudje veliko bolj pozorni na bančne kode. Ker ni bilo velikega nabora resničnih bančnih podatkov, so raziskovalci intervjuvali več kot 1.300 ljudi, da bi ocenili, kako se resnične kode PIN razlikujejo od že obravnavanih. Glede na specifiko raziskave anketirancev nismo spraševali o samih kodah, temveč le o njihovi skladnosti s katerim od zgoraj navedenih dejavnikov (povečanje, format DDMM ipd.).

Izkazalo se je, da so ljudje res veliko bolj previdni pri izbiri bančnih PIN kod. Približno četrtina vprašanih uporablja naključno kodo PIN, ki jo ustvari banka. Več kot tretjina izbere svoj PIN s staro telefonsko številko, številko študentske izkaznice ali kakšnim drugim nizom številk, ki je videti naključno. Glede na rezultate 64 % imetnikov kartic uporablja psevdonaključno kodo PIN, kar je veliko več kot 23–27 % v prejšnjih poskusih z nebančnimi kodami. Drugih 5 % uporablja številski vzorec (npr. 4545) in 9 % raje tipkovnico (npr. 2684). Na splošno ima napadalec s šestimi poskusi (tri z bankomatom in tri s plačilnim terminalom) manj kot 2 % možnosti, da ugane kodo PIN kartice nekoga drugega.

100 najbolj priljubljenih kod PIN

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. V praksi je seveda napadalcu veliko lažje vohuniti za vašo kodo PIN kot pa jo uganiti. Lahko pa se zaščitite tudi pred kukanjem - tudi, kot kaže, v brezizhodni situaciji:

Kombinatorika je veja matematike, ki preučuje vprašanja o tem, koliko različnih kombinacij je pod določenimi pogoji mogoče sestaviti iz danih predmetov. Osnove kombinatorike so zelo pomembne za ocenjevanje verjetnosti naključnih dogodkov, saj prav ti omogočajo izračun načeloma možnega števila različnih scenarijev razvoja dogodkov.

Osnovna formula kombinatorike

Naj obstaja k skupin elementov in i-to skupino sestavlja n i elementov. Iz vsake skupine izberimo en element. Potem je skupno število N načinov, na katere je mogoče narediti takšno izbiro, določeno z razmerjem N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Primer 1 Razložimo to pravilo s preprostim primerom. Naj obstajata dve skupini elementov, prva skupina je sestavljena iz n 1 elementov, druga pa iz n 2 elementov. Koliko različnih parov elementov lahko sestavimo iz teh dveh skupin, tako da par vsebuje po en element iz vsake skupine? Recimo, da smo vzeli prvi element iz prve skupine in, ne da bi ga spremenili, šli skozi vse možne pare, pri čemer smo spremenili samo elemente iz druge skupine. Za ta element sta n 2 taka para. Nato vzamemo drugi element iz prve skupine in tudi zanj sestavimo vse možne pare. Tudi takih parov bo n 2. Ker je v prvi skupini le n 1 elementov, bo možnih n 1 *n 2 možnosti.

Primer 2 Koliko trimestnih sodih števil lahko sestavimo iz števk 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, če se števke lahko ponavljajo?
rešitev: n 1 \u003d 6 (ker lahko kot prvo števko vzamete katero koli števko od 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 \u003d 7 (ker lahko kot drugo števko vzamete katero koli števko od 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (ker lahko kot tretjo števko vzamete katero koli številko od 0, 2, 4, 6).
Torej, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

V primeru, ko so vse skupine sestavljene iz enakega števila elementov, tj. n 1 =n 2 =...n k =n lahko domnevamo, da je vsaka izbira narejena iz iste skupine in se element po izbiri vrne v skupino. Potem je število vseh načinov izbire enako n k . Ta način izbire v kombinatoriki se imenuje povratne vzorce.

Primer 3 Koliko štirimestnih števil lahko sestavimo iz števil 1, 5, 6, 7, 8?
rešitev. Za vsako števko štirimestnega števila je pet možnosti, torej N=5*5*5*5=5 4 =625.

Razmislite o množici, sestavljeni iz n elementov. Ta množica v kombinatoriki se imenuje splošna populacija.

Število umestitev iz n elementov po m

Definicija 1. Namestitev od n elementi po m v kombinatoriki se imenuje katera koli naročen komplet od m različni elementi, izbrani iz splošne populacije v n elementi.

Primer 4 Različne razporeditve treh elementov (1, 2, 3), dva za dvema, bodo nizi (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Postavitve se lahko med seboj razlikujejo tako po elementih kot po njihovem vrstnem redu.

Število umestitev v kombinatoriki je označeno z A n m in se izračuna po formuli:

komentar: n!=1*2*3*...*n (beri: "en factorial"), poleg tega se predpostavlja, da je 0!=1.

Primer 5. Koliko je dvomestnih števil, pri katerih sta desetica in enota različni in lihi?
rešitev: Ker obstaja pet lihih števk, in sicer 1, 3, 5, 7, 9, potem se ta problem zmanjša na izbiro in postavitev dveh od petih različnih števk na dve različni poziciji, tj. dane številke bodo:

Definicija 2. Kombinacija od n elementi po m v kombinatoriki se imenuje katera koli neurejen niz od m različni elementi, izbrani iz splošne populacije v n elementi.

Primer 6. Za niz (1, 2, 3) so kombinacije (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Število kombinacij n elementov po m

Število kombinacij je označeno s C n m in se izračuna po formuli:

Primer 7 Na koliko načinov lahko bralec izbere dve izmed šestih razpoložljivih knjig?

rešitev:Število načinov je enako številu kombinacij šestih knjig po dve, tj. je enako:

Permutacije n elementov

Definicija 3. Permutacija od n elementov imenujemo katerikoli naročen komplet teh elementov.

Primer 7a. Vse možne permutacije množice, sestavljene iz treh elementov (1, 2, 3), so: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Število različnih permutacij n elementov označimo s P n in izračunamo po formuli P n =n!.

Primer 8 Na koliko načinov lahko na polici postavimo sedem knjig različnih avtorjev v vrsto?

rešitev: ta problem se nanaša na število permutacij sedmih različnih knjig. Obstaja P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 načinov za razporeditev knjig.

Diskusija. Vidimo, da je število možnih kombinacij mogoče izračunati po različnih pravilih (permutacije, kombinacije, postavitve) in rezultat bo drugačen, ker princip štetja in same formule so drugačne. Če natančno pogledate definicije, lahko vidite, da je rezultat odvisen od več dejavnikov hkrati.

Prvič, iz koliko elementov lahko združimo njihove množice (kako velika je splošna populacija elementov).

Drugič, rezultat je odvisen od velikosti nabora elementov, ki jih potrebujemo.

Nazadnje je pomembno vedeti, ali je vrstni red elementov v množici za nas pomemben. Zadnji dejavnik pojasnimo z naslednjim primerom.

Primer 9 Na roditeljskem sestanku je 20 ljudi. Koliko različnih možnosti za sestavo starševskega odbora obstaja, če bi moral vključevati 5 ljudi?
rešitev: V tem primeru nas vrstni red imen na seznamu komisij ne zanima. Če se posledično v njegovi sestavi pojavijo isti ljudje, potem je to v smislu pomena za nas ista možnost. Zato lahko za izračun števila uporabimo formulo kombinacije od 20 elementov, 5.

Drugače bo, če bo vsak član komisije na začetku odgovoren za določeno področje dela. Potem je z enako plačilno listo komisije znotraj nje možnih 5! opcije permutacije to zadevo. Število različnih (tako glede na sestavo kot območje odgovornosti) možnosti je v tem primeru določeno s številom umestitve od 20 elementov, 5.

Naloge za samopreizkus
1. Koliko trimestnih sodih števil lahko sestavimo iz števil 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, če se števila lahko ponavljajo?
Ker sodo število na tretjem mestu je lahko 0, 2, 4, 6, tj. štiri števke. Drugo mesto je lahko katera koli od sedmih števk. Prvo mesto je lahko katera koli od sedmih števk razen ničle, tj. 6 možnosti. Rezultat =4*7*6=168.
2. Koliko je petmestnih števil, ki se berejo enako od leve proti desni in od desne proti levi?
Prvo mesto je lahko poljubno število razen 0, tj. 9 možnosti. Drugo mesto je lahko poljubno število, tj. 10 možnosti. Tretje mesto je lahko tudi poljubno število od, tj. 10 možnosti. Četrta in peta števka sta vnaprej določeni, sovpadata s prvo in drugo, zato je število takih številk 9 * 10 * 10 = 900.
3. V razredu je deset predmetov in pet ur na dan. Na koliko načinov lahko naredite urnik za en dan?

4. Na koliko načinov je mogoče izbrati 4 delegate za konferenco, če je v skupini 20 ljudi?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Na koliko načinov lahko damo osem različnih pisem v osem različnih ovojnic, če je v vsako ovojnico samo eno pismo?
V prvo kuverto lahko vložite 1 od osmih pisem, v drugo eno od sedmih preostalih pisem, v tretjo eno od šestih itd. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Iz treh matematikov in desetih ekonomistov je treba sestaviti komisijo, sestavljeno iz dveh matematikov in šestih ekonomistov. Na koliko načinov je to mogoče storiti?