Kako rešiti neenačbe z 2 spremenljivkama. Povzetek lekcije "reševanje sistemov neenačb z dvema spremenljivkama." z dvema spremenljivkama

Zadeva: Enačbe in neenačbe. Sistemi enačb in neenačb

Lekcija:Enačbe in neenačbe z dvema spremenljivkama

Oglejmo si na splošno enačbo in neenačbo z dvema spremenljivkama.

Enačba z dvema spremenljivkama;

Neenakost z dvema spremenljivkama, znak neenakosti je lahko karkoli;

Tukaj sta x in y spremenljivki, p je izraz, ki je odvisen od njiju

Par števil () se imenuje delna rešitev takšne enačbe ali neenačbe, če pri zamenjavi tega para v izrazu dobimo pravilno enačbo oziroma neenačbo.

Naloga je najti ali prikazati na ravnini množico vseh rešitev. To nalogo lahko parafrazirate - poiščite geometrijsko mesto točk (GLP), sestavite graf enačbe ali neenakosti.

Primer 1 - reši enačbo in neenačbo:

Z drugimi besedami, naloga vključuje iskanje GMT.

Razmislimo o rešitvi enačbe. V tem primeru je vrednost spremenljivke x lahko poljubna, tako da imamo:

Očitno je rešitev enačbe niz točk, ki tvorijo ravno črto

riž. 1. Primer grafa enačbe 1

Rešitve dane enačbe so zlasti točke (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Rešitev dane neenačbe je polravnina, ki se nahaja nad premico, vključno s samo premico (glej sliko 1). Dejansko, če vzamemo katero koli točko x 0 na premici, potem imamo enakost. Če vzamemo točko v polravnini nad premico, imamo . Če vzamemo točko v polravnini pod premico, potem ta ne bo zadostila naši neenakosti: .

Zdaj razmislite o problemu s krogom in krogom.

Primer 2 - reši enačbo in neenačbo:

Vemo, da je podana enačba enačba kroga s središčem v izhodišču in polmerom 1.

riž. 2. Ilustracija primera 2

V poljubni točki x 0 ima enačba dve rešitvi: (x 0; y 0) in (x 0; -y 0).

Rešitev dane neenakosti je niz točk, ki se nahajajo znotraj kroga, ne da bi upoštevali sam krog (glej sliko 2).

Razmislimo o enačbi z moduli.

Primer 3 - reši enačbo:

V tem primeru bi bilo mogoče razširiti module, vendar bomo upoštevali posebnosti enačbe. Preprosto je videti, da je graf te enačbe simetričen glede na obe osi. Če je točka (x 0 ; y 0) rešitev, potem je tudi točka (x 0 ; -y 0) rešitev, točki (-x 0 ; y 0) in (-x 0 ; -y 0) ) so tudi rešitev.

Tako je dovolj, da najdemo rešitev, kjer sta obe spremenljivki nenegativni in imata simetrijo glede na osi:

riž. 3. Ilustracija primera 3

Torej, kot vidimo, je rešitev enačbe kvadrat.

Oglejmo si tako imenovano površinsko metodo na konkretnem primeru.

Primer 4 - upodabljamo množico rešitev neenačbe:

Po metodi domen najprej upoštevamo funkcijo na levi strani, če je na desni nič. To je funkcija dveh spremenljivk:

Podobno kot pri metodi intervalov se začasno odmaknemo od neenakosti in proučimo značilnosti in lastnosti sestavljene funkcije.

ODZ: to pomeni, da je x os preluknjana.

Zdaj pokažemo, da je funkcija enaka nič, ko je števec ulomka enak nič, imamo:

Zgradimo graf funkcije.

riž. 4. Graf funkcije z upoštevanjem ODZ

Zdaj razmislite o območjih konstantnega znaka funkcije, ki jih tvorita ravna in lomljena črta. znotraj prekinjene črte je območje D 1. Med odsekom lomljene in ravne črte - območje D 2, pod črto - območje D 3, med odsekom lomljene črte in ravne črte - območje D 4

V vsakem izmed izbranih območij funkcija ohrani svoj predznak, kar pomeni, da je dovolj, da v vsakem območju preverite poljubno testno točko.

V območju vzamemo točko (0;1). Imamo:

V območju vzamemo točko (10;1). Imamo:

Tako je celotna regija negativna in ne zadošča podani neenakosti.

V območju vzemite točko (0;-5). Imamo:

Tako je celotna regija pozitivna in zadošča dani neenakosti.

1. Neenačbe z dvema spremenljivkama. Metode reševanja sistema dveh neenačb z dvema spremenljivkama: analitična metoda in grafična metoda.

2. Sistemi dveh neenačb z dvema spremenljivkama: zapis rezultata rešitve.

3. Množice neenačb z dvema spremenljivkama.

NEENAČBE IN SISTEMI NEENAČB Z DVEMA SPREMENLJIVKAMA. Predikat oblike f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - imenujemo izraze s spremenljivkama x in y, definiranimi na množici XxY neenakost z dvema spremenljivkama (z dvema neznankama) x in y. Jasno je, da lahko vsako neenakost oblike z dvema spremenljivkama zapišemo v obliki f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. Reševanje neenačbe z dvema spremenljivkama je par vrednosti spremenljivke, ki neenakost pretvori v pravo numerično neenakost. Znano je, da je par realnih števil (x, y) enolično določa točko v koordinatni ravnini. To omogoča geometrično upodobitev rešitev neenačb ali sistemov neenačb z dvema spremenljivkama v obliki določene množice točk na koordinatni ravnini. Če enač.

f(x, y)= 0 določa določeno premico na koordinatni ravnini, potem je množica točk ravnine, ki ne ležijo na tej premici, sestavljena iz končnega števila regij C₁, C 2,..., S str(slika 17.8). V vsakem od področij C je funkcija f(x, y) je drugačen od nič, ker točke, na katerih f(x, y)= 0 pripadajo mejam teh območij.

rešitev. Transformirajmo neenakost v obliko x > y 2 + 2y - 3. Konstruirajmo parabolo na koordinatni ravnini X= y 2 + 2y - 3. Ravnino bo razdelil na dve regiji G₁ in G 2 (slika 17.9). Ker je abscisa katere koli točke, ki leži desno od parabole X= y 2 + 2y- 3, večji od abscise točke, ki ima isto ordinato, le da leži na paraboli itd. neenakost x>y g + 2y -3 ni stroga, potem bo geometrijska predstavitev rešitev te neenačbe množica točk ravnine, ki ležijo na paraboli X= ob 2+ 2u - 3 in desno od nje (sl. 17.9).

riž. 17.10

Primer 17.15. Na koordinatno ravnino nariši množico rešitev sistema neenačb

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

rešitev. Geometrični prikaz rešitve sistema neenačb x > 0, y > 0 je množica točk prvega koordinatnega kota. Geometrijski prikaz rešitev neenačb x + y< 6 oz pri< 6 - X je množica točk, ki ležijo pod premico in na sami premici, ki služijo kot graf funkcije y = 6 - X. Geometrijski prikaz rešitev neenačb xy > 5 ali, ker X> 0 neenakosti y > 5/x je množica točk, ki ležijo nad vejo hiperbole, ki služi kot graf funkcije y = 5/x. Kot rezultat dobimo množico točk koordinatne ravnine, ki ležijo v prvem koordinatnem kotu pod premico, ki služi kot graf funkcije y = 6 - x, in nad vejo hiperbole, ki služi kot graf funkcije y = 5x(Slika 17.10).

Poglavje III. NARAVNA ŠTEVILA IN NIČLA

, in še bolj sistemi neenačb z dvema spremenljivkama, izgleda kar težka naloga. Vendar pa obstaja preprost algoritem, ki pomaga rešiti na videz zelo zapletene tovrstne probleme enostavno in brez večjega truda. Poskusimo ugotoviti.

Naj imamo neenakost z dvema spremenljivkama enega od naslednjih tipov:

y > f(x); y ≥ f(x); l< f(x); y ≤ f(x).

Za prikaz množice rešitev takšne neenakosti na koordinatni ravnini nadaljujte na naslednji način:

1. Zgradimo graf funkcije y = f(x), ki ravnino razdeli na dve področji.
2. Izberemo katero koli od nastalih področij in v njem upoštevamo poljubno točko. Preverimo izvedljivost prvotne neenakosti za to točko. Če je rezultat testa pravilna numerična neenakost, potem sklepamo, da je prvotna neenakost izpolnjena v celotnem območju, ki mu izbrana točka pripada. Tako je množica rešitev neenačbe regija, kateri pripada izbrana točka. Če je rezultat preverjanja napačna numerična neenakost, bo množica rešitev neenačbe druga regija, ki ji izbrana točka ne pripada.
3. Če je neenakost stroga, potem meje območja, to je točke grafa funkcije y = f(x), niso vključene v množico rešitev in je meja prikazana s pikčasto črto. Če neenačba ni stroga, potem so meje območja, to je točke grafa funkcije y = f(x), vključene v množico rešitev te neenačbe in je meja v tem primeru prikazana kot polna črta. Zdaj pa si poglejmo več težav na to temo.

Naloga 1.

Katero množico točk podaja neenakost x · y ≤ 4?

rešitev.

1) Zgradimo graf enačbe x · y = 4. Da bi to naredili, ga najprej preoblikujemo. Očitno se x v tem primeru ne spremeni v 0, saj bi drugače imeli 0 · y = 4, kar ni pravilno. To pomeni, da lahko svojo enačbo delimo z x. Dobimo: y = 4/x. Graf te funkcije je hiperbola. Celotno ravnino deli na dve področji: tisto med dvema vejama hiperbole in tisto zunaj njiju.

2) Iz prve regije izberimo poljubno točko, naj bo to točka (4; 2). Preverimo neenakost: 4 · 2 ≤ 4 – napačno.

To pomeni, da točke tega območja ne zadoščajo prvotni neenakosti. Potem lahko sklepamo, da bo množica rešitev neenačbe drugo območje, ki mu izbrana točka ne pripada.

3) Ker neenakost ni stroga, narišemo mejne točke, to so točke grafa funkcije y=4/x, s polno črto.

Z rumeno pobarvajmo množico točk, ki opredeljuje izvirno neenakost (slika 1).

Naloga 2.

Na koordinatni ravnini nariši območje, ki ga določa sistem

rešitev.

Za začetek zgradimo grafe naslednjih funkcij (slika 2):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – premica

x 2 + y 2 = 9 – krog.

Zdaj pa si poglejmo vsako neenakost posebej.

1) y > x 2 + 2.

Vzamemo točko (0; 5), ki leži nad grafom funkcije. Preverimo neenakost: 5 > 0 2 + 2 – drži.

Posledično vse točke, ki ležijo nad dano parabolo y = x 2 + 2, zadoščajo prvi neenakosti sistema. Pobarvajmo jih rumeno.

2) y + x > 1.

Vzamemo točko (0; 3), ki leži nad grafom funkcije. Preverimo neenakost: 3 + 0 > 1 – drži.

Posledično vse točke, ki ležijo nad premico y + x = 1, izpolnjujejo drugo neenakost sistema. Pobarvajmo jih z zelenim senčenjem.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Vzamemo točko (0; -4), ki leži zunaj kroga x 2 + y 2 = 9. Preverimo neenakost: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – napačna.

Posledično vse točke, ki ležijo zunaj kroga x 2 + y 2 = 9, ne zadoščajo tretji neenakosti sistema. Potem lahko sklepamo, da vse točke, ki ležijo znotraj kroga x 2 + y 2 = 9, zadoščajo tretji neenakosti sistema. Pobarvajmo jih z vijoličnim senčenjem.

Ne pozabite, da če je neenakost stroga, je treba ustrezno mejno črto narisati s pikčasto črto. Dobimo naslednjo sliko (slika 3).

Želeno območje je območje, kjer se vsa tri obarvana področja sekajo med seboj (slika 4).

Vprašanja za zapiske

Zapišite neenačbo, katere rešitev je krog in točke znotraj kroga:

Poiščite točke, ki rešujejo neenačbo:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

Pustiti f(x,y) in g(x, y)- dva izraza s spremenljivkami X in pri in obseg X. Nato neenakosti oblike f(x, y) > g(x, y) oz f(x, y) < g(x, y) klical neenakost z dvema spremenljivkama .

Pomen spremenljivk x, y od mnogih X, pri kateri neenakost preide v pravo številsko neenakost, se imenuje odločitev in je določen (x, y). Reši neenačbo - to pomeni najti veliko takih parov.

Če vsak par številk (x, y) iz množice rešitev neenačbe poveži točko M(x, y), dobimo množico točk na ravnini, določeni s to neenakostjo. Imenuje se graf te neenakosti . Graf neenačbe je običajno ploščina na ravnini.

Upodobiti množico rešitev neenačbe f(x, y) > g(x, y), nadaljujte na naslednji način. Najprej zamenjajte znak neenakosti z znakom enačaja in poiščite premico, ki vsebuje enačbo f(x,y) = g(x,y). Ta črta deli ravnino na več delov. Nato je dovolj, da vzamemo eno točko v vsakem delu in preverimo, ali je neenakost na tej točki izpolnjena f(x, y) > g(x, y). Če se izvede na tej točki, potem se izvede v celotnem delu, kjer ta točka leži. S kombiniranjem takih delov dobimo veliko rešitev.

Naloga. l > x.

rešitev. Najprej zamenjamo znak za neenakost z enačajem in v pravokotnem koordinatnem sistemu zgradimo premico, ki ima enačbo l = x.

Ta črta deli ravnino na dva dela. Nato vzemite eno točko v vsakem delu in preverite, ali je neenakost na tej točki izpolnjena l > x.

Naloga. Grafično reši neenačbo
X 2 + pri 2 £25.

Naj sta podani dve neenakosti f 1(x, y) > g 1(x, y) in f 2(x, y) > g 2(x, y).

Sistemi množic neenačb z dvema spremenljivkama

Sistem neenakosti je sebe konjunkcija teh neenakosti. Sistemska rešitev je vsak pomen (x, y), ki vsako od neenakosti spremeni v pravo numerično neenakost. Veliko rešitev sistemi neenačbe je presečišče množic rešitev neenačb, ki tvorijo dani sistem.

Niz neenakosti je sebe disjunkcija teh neenakosti Nastavite rešitev je vsak pomen (x, y), ki vsaj eno iz množice neenakosti pretvori v pravo numerično neenakost. Veliko rešitev celota je unija množic rešitev neenačb, ki tvorijo množico.

Naloga. Grafično rešite sistem neenačb

rešitev. y = x in X 2 + pri 2 = 25. Rešimo vsako neenačbo sistema.

Graf sistema bo množica točk na ravnini, ki so presečišče (dvojna šrafura) množic rešitev prve in druge neenačbe.

Naloga. Grafično rešite niz neenačb

Vaje za samostojno delo

1. Grafično reši neenačbe: a) pri> 2x; b) pri< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 4 funtov.

2. Grafično rešite sisteme neenačb:

a) b)

Video lekcija "Sistemi neenakosti z dvema spremenljivkama" vsebuje vizualno izobraževalno gradivo na to temo. Lekcija vključuje obravnavo koncepta reševanja sistema neenačb z dvema spremenljivkama, primere reševanja takih sistemov grafično. Namen te video lekcije je razviti sposobnost učencev za grafično reševanje sistemov neenačb z dvema spremenljivkama, olajšati razumevanje procesa iskanja rešitev takih sistemov in zapomniti metode reševanja.

Vsak opis rešitve spremljajo risbe, ki prikazujejo rešitev problema na koordinatni ravnini. Takšne slike jasno prikazujejo značilnosti gradnje grafov in lokacijo točk, ki ustrezajo rešitvi. Vse pomembne podrobnosti in koncepti so poudarjeni z barvo. Tako je video lekcija priročno orodje za reševanje učiteljevih težav v učilnici in učitelja osvobodi predstavitve standardnega bloka gradiva za individualno delo z učenci.

Video lekcija se začne z uvedbo teme in obravnavo primera iskanja rešitev sistema, sestavljenega iz neenačb x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Razumevanje sklepov o reševanju sistema neenačb krepimo z upoštevanjem primerov. Najprej obravnavamo rešitev sistema neenačb x 2 + y 2<=9 и x+y>=2. Očitno rešitve prve neenačbe na koordinatni ravnini vključujejo krog x 2 + y 2 = 9 in območje znotraj njega. To območje na sliki je zapolnjeno z vodoravnim senčenjem. Množica rešitev neenačbe x+y>=2 vključuje premico x+y=2 in polravnino, ki se nahaja zgoraj. Tudi to območje je na ravnini označeno s potezami v drugi smeri. Zdaj lahko določimo presečišče dveh množic rešitev na sliki. Vsebovan je v krogu x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Nato analiziramo rešitev sistema linearnih neenačb y>=x-3 in y>=-2x+4. Na sliki je poleg pogoja naloge zgrajena koordinatna ravnina. Na njej je zgrajena premica, ki ustreza rešitvam enačbe y=x-3. Območje rešitve za neenačbo y>=x-3 bo območje, ki se nahaja nad to črto. Zasenčena je. Množica rešitev druge neenačbe se nahaja nad premico y=-2x+4. Tudi ta premica je zgrajena na isti koordinatni ravnini, območje rešitve pa je šrafirano. Presečišče dveh nizov je kot, ki ga sestavljata dve ravni črti skupaj s svojim notranjim območjem. Območje rešitve sistema neenačb je zapolnjeno z dvojnim senčenjem.

Pri obravnavi tretjega primera je opisan primer, ko so grafi enačb, ki ustrezajo neenakostim sistema, vzporedne črte. Rešiti je treba sistem neenačb y<=3x+1 и y>=3x-2. Na koordinatni ravnini, ki ustreza enačbi y=3x+1, je zgrajena premica. Območje vrednosti, ki ustreza rešitvam neenačbe y<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

Video lekcijo "Sistemi neenakosti z dvema spremenljivkama" lahko uporabite kot vizualni pripomoček pri pouku v šoli ali nadomestite učiteljevo razlago pri samostojnem preučevanju gradiva. Podrobna, razumljiva razlaga reševanja sistemov neenačb na koordinatni ravnini lahko pomaga pri podajanju snovi pri pouku na daljavo.