Ile kombinacji 2 z 10. Kombinatoryka: podstawowe zasady i wzory. Permutacje i teoria prawdopodobieństwa

Wszystkie N elementów i żaden się nie powtarza, to jest problem liczby permutacji. Rozwiązanie można znaleźć proste. Dowolny z N elementów może zająć pierwsze miejsce w rzędzie, zatem uzyskuje się N opcji. Na drugim miejscu - dowolny, z wyjątkiem tego, który został już wykorzystany na pierwszym miejscu. Dlatego dla każdej z już znalezionych N opcji istnieje (N - 1) opcji drugiego miejsca, a całkowita liczba kombinacji wynosi N*(N - 1).
To samo można powtórzyć dla pozostałych elementów serii. Na ostatnie miejsce pozostała tylko jedna opcja - ostatni pozostały element. Na przedostatni - dwie opcje i tak dalej.
Dlatego dla serii N powtarzających się elementów możliwe permutacje są równe iloczynowi wszystkich liczb całkowitych od 1 do N. Iloczyn ten nazywa się silnią N i jest oznaczony przez N! (czytaj „en silnia”).

W poprzednim przypadku liczba możliwych elementów i liczba miejsc w szeregu pokrywały się, a ich liczba była równa N. Ale możliwa jest sytuacja, gdy miejsc w szeregu jest mniej niż możliwych elementów. Innymi słowy, liczba elementów w próbce jest równa pewnej liczbie M i M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Po pierwsze, może być konieczne policzenie całkowitej liczby możliwych sposobów ułożenia w rzędzie M elementów z N. Takie sposoby nazywane są rozmieszczeniami.
Po drugie, badacza może interesować liczba sposobów, na jakie można wybrać M elementów z N. W tym przypadku kolejność elementów nie jest już istotna, ale dowolne dwie opcje muszą różnić się od siebie co najmniej o jeden element . Takie metody nazywane są kombinacjami.

Aby znaleźć liczbę położeń M elementów spośród N, można zastosować ten sam sposób rozumowania, co w przypadku permutacji. Na pierwszym miejscu nadal może być N elementów, na drugim (N - 1) i tak dalej. Ale w przypadku ostatniego miejsca liczba możliwych opcji to nie jedna, ale (N - M + 1), ponieważ po zakończeniu umieszczania nadal będzie (N - M) niewykorzystanych elementów.
Zatem liczba miejsc na M elementów z N jest równa iloczynowi wszystkich liczb całkowitych od (N - M + 1) do N lub równoważnie ilorazowi N!/(N - M)!.

Oczywiście liczba kombinacji M elementów z N będzie mniejsza niż liczba miejsc. Dla każdej możliwej kombinacji istnieje M! możliwe rozmieszczenie w zależności od kolejności elementów tej kombinacji. Dlatego, aby znaleźć tę liczbę, musisz podzielić liczbę miejsc docelowych na M elementów z N przez N!. Innymi słowy, liczba kombinacji M elementów z N wynosi N!/(M!*(N - M)!).

KOMBINATYKA

Kombinatoryka jest działem matematyki zajmującym się problematyką wybierania i układania elementów z pewnego podstawowego zbioru zgodnie z zadanymi regułami. Wzory i zasady kombinatoryki są wykorzystywane w teorii prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń losowych, a tym samym do uzyskiwania praw rozkładu zmiennych losowych. To z kolei umożliwia badanie praw masowych zjawisk losowych, co jest bardzo ważne dla prawidłowego zrozumienia praw statystycznych, które przejawiają się w przyrodzie i technice.

Zasady dodawania i mnożenia w kombinatoryce

Reguła sumy. Jeżeli dwie czynności A i B wzajemnie się wykluczają, a czynność A można wykonać na m sposobów, a B na n sposobów, to dowolną z tych czynności (A lub B) można wykonać na n + m sposobów.

Przykład 1

W klasie jest 16 chłopców i 10 dziewczynek. Na ile sposobów można wyznaczyć jednego opiekuna?

Rozwiązanie

Możesz wyznaczyć chłopca lub dziewczynę na dyżur, tj. każdy z 16 chłopców lub 10 dziewcząt może pełnić dyżur.

Zgodnie z regułą sumy otrzymujemy, że jednemu oficerowi dyżurnemu można przypisać 16+10=26 sposobów.

Reguła produktu. Niech wymagane będzie wykonanie kolejno k czynności. Jeśli pierwszą czynność można wykonać na n 1 sposobów, drugą na n 2 sposobów, trzecią na n 3 sposobów itd. aż do k-tej czynności, którą można wykonać na n k sposobów, to wszystkie k czynności razem można wykonane:

sposoby.

Przykład 2

W klasie jest 16 chłopców i 10 dziewczynek. Na ile sposobów można wyznaczyć dwóch opiekunów?

Rozwiązanie

Pierwszą osobą dyżurującą może być chłopiec lub dziewczynka. Ponieważ w klasie jest 16 chłopców i 10 dziewcząt, to pierwszego dyżurnego można wyznaczyć na 16 + 10 = 26 sposobów.

Po wybraniu pierwszego oficera dyżurnego, z pozostałych 25 osób możemy wybrać drugiego, tj. 25 sposobów.

Z twierdzenia o mnożeniu można wybrać dwóch opiekunów na 26*25=650 sposobów.

Kombinacje bez powtórzeń. Kombinacje z powtórzeniami

Klasycznym problemem kombinatoryki jest problem liczby kombinacji bez powtórzeń, którego treść można wyrazić pytaniem: ile sposoby Móc wybierać Jestem z n różnych przedmiotów?

Przykład 3

Musisz wybrać 4 z 10 różnych książek dostępnych w prezencie. Na ile sposobów można to zrobić?

Rozwiązanie

Musimy wybrać 4 z 10 książek, a kolejność wyboru nie ma znaczenia. Dlatego musisz znaleźć liczbę kombinacji 10 elementów o 4:

.

Rozważmy problem liczby kombinacji z powtórzeniami: istnieje r identycznych przedmiotów każdego z n różnych typów; ile sposoby Móc wybierać m() z te (n*r) elementów?

.

Przykład 4

Cukiernia sprzedawała 4 rodzaje ciast: napoleońskie, eklerki, kruche i francuskie. Na ile sposobów można kupić 7 ciastek?

Rozwiązanie

Ponieważ wśród 7 ciastek mogą znajdować się ciastka tej samej odmiany, to o liczbie sposobów na jakie można kupić 7 ciastek decyduje ilość kombinacji z powtórzeniami od 7 do 4.

.

Lokaty bez powtórzeń. Miejsca docelowe z powtórzeniami

Klasycznym problemem kombinatoryki jest problem liczby miejsc bez powtórzeń, którego treść można wyrazić pytaniem: ile sposoby Móc wybierać I miejsce Przez jestem inny miejsca Jestem z n inny rzeczy?

Przykład 5

Niektóre gazety mają 12 stron. Na łamach tej gazety trzeba umieścić cztery fotografie. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli żadna strona gazety nie powinna zawierać więcej niż jednego zdjęcia?

Rozwiązanie.

W tym zadaniu nie tylko wybieramy zdjęcia, ale umieszczamy je na określonych stronach gazety, a każda strona gazety powinna zawierać nie więcej niż jedno zdjęcie. W ten sposób problem sprowadza się do klasycznego problemu określenia liczby miejsc bez powtórzeń z 12 elementów na 4 elementy:

W ten sposób 4 zdjęcia na 12 stronach można ułożyć na 11880 sposobów.

Również klasycznym zadaniem kombinatoryki jest problem liczby miejsc z powtórzeniami, których treść można wyrazić pytaniem: ile sposoby Móc TyBarmia I miejsce Przez jestem inny miejsca Jestem z n elementówZredi Który Jest ten sam?

Przykład 6

Chłopiec miał z zestawu do gry planszowej stemple z numerami 1, 3 i 7. Postanowił wykorzystać te stemple do wszystkich książek z numerami pięciocyfrowymi - do sporządzenia katalogu. Ile różnych pięciocyfrowych liczb może ułożyć chłopiec?

Permutacje bez powtórzeń. Permutacje z powtórzeniami

Klasycznym problemem kombinatoryki jest problem liczby permutacji bez powtórzeń, którego treść można wyrazić pytaniem: ile sposoby Móc miejsce N różny rzeczy NA n inny miejsca?

Przykład 7

Ile czteroliterowych „słów” można ułożyć z liter słowa „małżeństwo”?

Rozwiązanie

Ogólny zestaw to 4 litery słowa „małżeństwo” (b, p, a, k). Liczba „słów” jest określana przez permutacje tych 4 liter, tj.

Dla przypadku, gdy wśród wybranych n elementów jest to samo (selekcja ze zwrotem), problem liczby permutacji z powtórzeniami można wyrazić pytaniem: Na ile sposobów można przestawić n obiektów w n różnych miejscach, jeśli wśród n obiektów jest k różnych typów (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Przykład 8

Ile różnych kombinacji liter można ułożyć z liter słowa „Mississippi”?

Rozwiązanie

Jest 1 litera „m”, 4 litery „i”, 3 litery „c” i 1 litera „p”, łącznie 9 liter. Dlatego liczba permutacji z powtórzeniami wynosi

STRESZCZENIE WPROWADZENIA DO SEKCJI „KOMBINATORYKA”

Przyjaciele! Ponieważ mam już ten martwy zeszyt, przy pomocy niego zadam Wam problem, z którym zmagało się wczoraj trzech fizyków, dwóch ekonomistów, jeden z Politechniki i jeden z nauk humanistycznych. Złamaliśmy sobie cały mózg i ciągle otrzymujemy różne wyniki. Może są wśród Was programiści i matematyczni geniusze, poza tym problem jest ogólnie szkolny i bardzo łatwy, po prostu nie mamy wzoru. Bo zrezygnowaliśmy z nauk ścisłych i zamiast tego z jakiegoś powodu piszemy książki i rysujemy. Przepraszam.

A więc historia.

Dostałem nową kartę bankową i jak zwykle bez problemu odgadłem jej kod PIN. Ale nie z rzędu. To znaczy, powiedzmy, że kod PIN to 8794 i zadzwoniłem pod 9748. To znaczy triumfalnie odgadł wszystkie liczby zawarte w podanej czterocyfrowej liczbie. No tak, nie tylko liczba, ale po prostu jego elementy o godz zdziwiony. Ale wszystkie liczby są prawdziwe! UWAGA - działałem na chybił trafił, to znaczy nie musiałem ustawiać znanych już numerów we właściwej kolejności, po prostu działałem w duchu: tutaj są cztery nieznane mi liczby i wierzę, że wśród nich może być 9, 7, 4 i 8, a ich kolejność nie jest ważna. Od razu zadaliśmy sobie pytanie Ile miałem opcji(prawdopodobnie po to, żeby zrozumieć, jakie to fajne, że wziąłem to i zgadłem). To znaczy z ilu kombinacji czterech liczb miałem do wyboru? A potem oczywiście zaczęło się piekło. Nasze głowy eksplodowały przez cały wieczór, a w efekcie wszyscy wymyślali zupełnie inne odpowiedzi! Zacząłem nawet zapisywać wszystkie te kombinacje w notatniku z rzędu, gdy rosły, ale przy czterystu zdałem sobie sprawę, że jest ich ponad czterysta (w każdym razie obaliło to odpowiedź fizyka Thrasha, który zapewnił mnie, że było czterysta kombinacji, ale nadal nie jest to do końca jasne) - i zrezygnowałem.

Faktycznie, istota pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo odgadnięcia (w dowolnej kolejności) czterech liczb zawartych w czterocyfrowej liczbie?

Albo nie, przeformułujmy (jestem humanistą, przepraszam, chociaż zawsze miałem ogromną słabość do matematyki), żeby było coraz jaśniej. Ile nie powtarzające się kombinacje liczb zawarte w ciągu liczb porządkowych od 0 do 9999? ( proszę nie mylić tego z pytaniem „ile kombinacji nie powtarzające się liczby"!!! liczby mogą się powtarzać! To znaczy, 2233 i 3322 to w tym przypadku ta sama kombinacja!!).

Lub dokładniej. Muszę odgadnąć jedną liczbę na dziesięć cztery razy. Ale nie z rzędu.

Cóż, albo coś innego. Ogólnie rzecz biorąc, musisz dowiedzieć się, ile opcji kombinacji numerycznej miałem, która utworzyła kod PIN karty. Pomóżcie, dobrzy ludzie! Tylko proszę, pomagając, nie zaczynaj od razu pisać, że jest na to 9999 opcji(wczoraj wszystkim na początku przyszło to do głowy), bo to nonsens – przecież w perspektywie, która nas niepokoi liczba 1234, liczba 3421, liczba 4312 itd. jeden i ten sam! No tak, cyfry mogą się powtarzać, bo tam jest kod PIN 1111 albo tam np. 0007. Można sobie wyobrazić numer samochodu zamiast kodu PIN. Załóżmy, jakie jest prawdopodobieństwo odgadnięcia wszystkich pojedynczych cyfr składających się na numer samochodu? Albo, żeby całkowicie wyeliminować teorię prawdopodobieństwa - z ilu kombinacji numerycznych musiałem wybrać jedną?

Proszę poprzeć swoje odpowiedzi i rozumowanie dokładnymi wzorami, ponieważ wczoraj prawie postradaliśmy zmysły. Z góry wielkie dzięki wszystkim!

PS Jedna inteligentna osoba, programista, artysta i wynalazca, po prostu bardzo poprawnie zasugerowała prawidłowe rozwiązanie problemu, dając mi kilka minut świetnego nastroju: " rozwiązanie problemu jest następujące: ona ma zaburzenie obsesyjno-kompulsyjne, leczenie jest takie: ożenić się i wyrzucić pomidory. Na jej miejscu bardziej interesowałoby mnie nie pytanie „jakie jest prawdopodobieństwo”, ale pytanie „czy ja, kurwa, zwracam uwagę na te wszystkie liczby”? Generalnie nie ma nic do dodania :)

Poniższy kalkulator jest przeznaczony do generowania wszystkich kombinacji n na m elementów.
Liczbę takich kombinacji można obliczyć za pomocą kalkulatora Elementy Kombinatoryki. Permutacje, miejsca docelowe, kombinacje.

Opis algorytmu generowania pod kalkulatorem.

Algorytm

Kombinacje są generowane w porządku leksykograficznym. Algorytm działa z indeksami porządkowymi elementów zbioru.
Rozważmy algorytm na przykładzie.
Dla ułatwienia prezentacji rozważmy zestaw pięciu elementów, których indeksy zaczynają się od 1, a mianowicie 1 2 3 4 5.
Wymagane jest wygenerowanie wszystkich kombinacji o rozmiarze m = 3.
Najpierw inicjowana jest pierwsza kombinacja podanego rozmiaru m - indeksy w porządku rosnącym
1 2 3
Następnie sprawdzany jest ostatni element, czyli i = 3. Jeśli jego wartość jest mniejsza niż n - m + i, to jest zwiększana o 1.
1 2 4
Ostatni element jest ponownie sprawdzany i ponownie jest zwiększany.
1 2 5
Teraz wartość elementu jest równa maksimum możliwemu: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, sprawdzany jest poprzedni element z i = 2.
Jeśli jego wartość jest mniejsza niż n - m + i, to jest zwiększana o 1, a dla wszystkich następujących po nim elementów wartość jest równa wartości poprzedniego elementu plus 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Następnie ponownie sprawdzamy, czy i = 3.
1 3 5
Następnie - sprawdź, czy i = 2.
1 4 5
Potem przychodzi kolej na i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
I dalej,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - ostatnia kombinacja, ponieważ wszystkie jej elementy są równe n - m + i.

Pomimo ważnej roli kodów PIN w światowej infrastrukturze, nie przeprowadzono jeszcze żadnych badań naukowych dotyczących tego, jak ludzie faktycznie wybierają kody PIN.

Naukowcy z University of Cambridge, Sören Preibusch i Ross Anderson, naprawili sytuację, publikując pierwszą na świecie analizę ilościową trudności w odgadnięciu 4-cyfrowego bankowego kodu PIN.

Korzystając z danych o wyciekach haseł ze źródeł pozabankowych i ankiet internetowych, badacze odkryli, że użytkownicy traktują wybór kodów PIN znacznie poważniej niż wybór haseł do stron internetowych: większość kodów zawiera niemal losowy zestaw cyfr. Niemniej jednak wśród początkowych danych znajdują się zarówno proste kombinacje, jak i daty urodzin - czyli przy odrobinie szczęścia atakujący może po prostu odgadnąć upragniony kod.

Punktem wyjścia do badań był zestaw 4-cyfrowych sekwencji haseł z bazy RockYou (1,7 mln), oraz baza 200 tys. . Wykresy utworzone na podstawie tych danych przedstawiają interesujące wzorce – daty, lata, powtarzające się liczby, a nawet kody PIN kończące się cyfrą 69. Na podstawie tych obserwacji naukowcy zbudowali model regresji liniowej, który szacuje popularność każdego kodu PIN w zależności od 25 czynników, takich jak czy kod jest datą w formacie DDMM, czy jest to sekwencja rosnąca i tak dalej. Te ogólne warunki spełnia 79% i 93% kodów PIN w każdym z zestawów.

Tak więc użytkownicy wybierają 4-cyfrowe kody na podstawie zaledwie kilku prostych czynników. Gdyby wybrano bankowe kody PIN w ten sposób, 8-9% z nich można by odgadnąć w zaledwie trzech próbach! Ale oczywiście ludzie są znacznie bardziej uważni na kody bankowe. Wobec braku jakiegokolwiek dużego zestawu prawdziwych danych bankowych badacze przeprowadzili wywiady z ponad 1300 osobami, aby ocenić, w jaki sposób rzeczywiste kody PIN różnią się od tych, które już rozważano. Biorąc pod uwagę specyfikę badania, respondenci nie byli pytani o same kody, a jedynie o ich zgodność z którymkolwiek z powyższych czynników (zwiększenie, format DDMM itp.).

Okazało się, że ludzie naprawdę dużo ostrożniej wybierają bankowe kody PIN. Około jedna czwarta respondentów korzysta z losowego kodu PIN wygenerowanego przez bank. Ponad jedna trzecia wybiera swój kod PIN, używając starego numeru telefonu, numeru legitymacji studenckiej lub innego zestawu liczb, który wygląda losowo. Zgodnie z wynikami, 64% posiadaczy kart używa pseudolosowego kodu PIN, co stanowi znacznie więcej niż 23-27% we wcześniejszych eksperymentach z kodami pozabankowymi. Kolejne 5% używa wzoru liczbowego (np. 4545), a 9% preferuje wzór klawiatury (np. 2684). Ogólnie rzecz biorąc, atakujący po sześciu próbach (trzech z bankomatu i trzech z terminalem płatniczym) ma mniej niż 2% szans na odgadnięcie kodu PIN karty innej osoby.

Top 100 najpopularniejszych kodów PIN

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

PS W praktyce oczywiście atakującemu znacznie łatwiej jest szpiegować Twój PIN niż go odgadnąć. Ale możesz też uchronić się przed podglądaniem - nawet, wydawałoby się, w beznadziejnej sytuacji:

Kombinatoryka to dziedzina matematyki zajmująca się pytaniami o to, ile różnych kombinacji, pod pewnymi warunkami, można utworzyć z danych przedmiotów. Podstawy kombinatoryki są bardzo ważne dla szacowania prawdopodobieństw zdarzeń losowych, ponieważ to one pozwalają obliczyć zasadniczo możliwą liczbę różnych scenariuszy rozwoju wydarzeń.

Podstawowy wzór kombinatoryki

Niech będzie k grup elementów, a i-ta grupa składa się z n i elementów. Wybierzmy po jednym elemencie z każdej grupy. Wówczas całkowitą liczbę N sposobów, na jakie można dokonać takiego wyboru, określa relacja N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Przykład 1 Wyjaśnijmy tę regułę na prostym przykładzie. Niech będą dwie grupy elementów, pierwsza grupa składa się z n 1 elementów, a druga - z n 2 elementów. Ile różnych par elementów można utworzyć z tych dwóch grup, tak aby para zawierała po jednym elemencie z każdej grupy? Załóżmy, że wzięliśmy pierwszy element z pierwszej grupy i nie zmieniając go, przeszliśmy przez wszystkie możliwe pary, zmieniając tylko elementy z drugiej grupy. Dla tego elementu istnieją n 2 takie pary. Następnie bierzemy drugi element z pierwszej grupy i również tworzymy dla niego wszystkie możliwe pary. Będzie też n 2 takich par. Ponieważ w pierwszej grupie jest tylko n 1 elementów, będzie n 1 * n 2 możliwych opcji.

Przykład 2 Ile trzycyfrowych liczb parzystych można utworzyć z cyfr 0,1,2,3,4,5,6, jeśli cyfry te mogą się powtarzać?
Rozwiązanie: n 1 \u003d 6 (ponieważ możesz wziąć dowolną cyfrę z 1, 2, 3, 4, 5, 6 jako pierwszą cyfrę), n 2 \u003d 7 (ponieważ możesz wziąć dowolną cyfrę z 0 jako drugą cyfrę , 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (ponieważ jako trzecią cyfrę możesz wziąć dowolną cyfrę z 0, 2, 4, 6).
Zatem N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

W przypadku, gdy wszystkie grupy składają się z tej samej liczby elementów, tj. n 1 =n 2 =...n k =n możemy założyć, że każdy wybór jest dokonywany z tej samej grupy, a element po dokonaniu wyboru wraca do grupy. Wtedy liczba wszystkich sposobów wyboru jest równa n k . Ten sposób wybierania w kombinatoryce nazywa się zwrócić próbki.

Przykład 3 Ile liczb czterocyfrowych można ułożyć z liczb 1,5,6,7,8?
Rozwiązanie. Istnieje pięć możliwości dla każdej cyfry liczby czterocyfrowej, więc N=5*5*5*5=5 4 =625.

Rozważmy zbiór składający się z n elementów. Ten zbiór w kombinatoryce nazywa się ogólna populacja.

Liczba miejsc docelowych z n elementów na m

Definicja 1. Zakwaterowanie od N elementy wg M w kombinatoryce nazywa się dowolną zamówiony zestaw z M różne elementy wybrane z ogólnej populacji w N elementy.

Przykład 4 Różne układy trzech elementów (1, 2, 3) dwa na dwa będą zestawami (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2 ). Lokaty mogą różnić się od siebie zarówno elementami, jak i kolejnością.

Liczba miejsc w kombinatoryce jest oznaczona przez A n m i jest obliczana według wzoru:

Komentarz: n!=1*2*3*...*n (czytaj: "en silnia"), dodatkowo przyjmuje się, że 0!=1.

Przykład 5. Ile jest liczb dwucyfrowych, w których cyfra dziesiątek i cyfra jedności są różne i nieparzyste?
Rozwiązanie: ponieważ jest pięć cyfr nieparzystych, a mianowicie 1, 3, 5, 7, 9, to problem ten sprowadza się do wybrania i umieszczenia dwóch z pięciu różnych cyfr w dwóch różnych pozycjach, tj. podane liczby będą:

Definicja 2. Kombinacja z N elementy wg M w kombinatoryce nazywa się dowolną nieuporządkowany zbiór z M różne elementy wybrane z ogólnej populacji w N elementy.

Przykład 6. Dla zestawu (1, 2, 3) kombinacje to (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Liczba kombinacji n elementów przez m

Liczba kombinacji jest oznaczona przez C n m i jest obliczana według wzoru:

Przykład 7 Na ile sposobów czytelnik może wybrać dwie książki z sześciu dostępnych?

Rozwiązanie: Liczba sposobów jest równa liczbie kombinacji sześciu ksiąg przez dwa, tj. równa się:

Permutacje n elementów

Definicja 3. Permutacja z N elementy nazywamy dowolnymi zamówiony zestaw te elementy.

Przykład 7a. Wszystkie możliwe permutacje zbioru składającego się z trzech elementów (1, 2, 3) to: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Liczba różnych permutacji n elementów jest oznaczona przez P n i obliczana ze wzoru P n = n!.

Przykład 8 Na ile sposobów można ustawić na półce w rzędzie siedem książek różnych autorów?

Rozwiązanie: ten problem dotyczy liczby permutacji siedmiu różnych książek. Istnieje P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 sposobów ułożenia książek.

Dyskusja. Widzimy, że liczbę możliwych kombinacji można obliczyć według różnych zasad (permutacje, kombinacje, miejsca), a wynik będzie inny, ponieważ zasada liczenia i same formuły są różne. Przyglądając się bliżej definicjom, można zauważyć, że wynik zależy od kilku czynników jednocześnie.

Po pierwsze, z ilu elementów możemy połączyć ich zbiory (jak duża jest ogólna populacja elementów).

Po drugie, wynik zależy od tego, jakiej wielkości zestawów elementów potrzebujemy.

Na koniec ważne jest, aby wiedzieć, czy kolejność elementów w zbiorze jest dla nas istotna. Wyjaśnijmy ostatni czynnik na następującym przykładzie.

Przykład 9 Na zebraniu rodziców jest 20 osób. Ile jest różnych wariantów składu komitetu rodzicielskiego, jeśli ma on liczyć 5 osób?
Rozwiązanie: W tym przykładzie nie interesuje nas kolejność nazwisk na liście komisji. Jeśli w rezultacie w jej składzie pojawiają się te same osoby, to pod względem znaczeniowym jest to dla nas ta sama opcja. Dlatego możemy użyć wzoru do obliczenia liczby kombinacje z 20 elementów, 5.

Inaczej będzie, jeśli każdy członek komitetu będzie początkowo odpowiedzialny za określony obszar pracy. Wtedy przy tej samej liście płac komitetu możliwe jest 5 w nim! opcje permutacje to sprawa. O liczbie różnych (zarówno pod względem składu, jak i zakresu odpowiedzialności) opcji decyduje w tym przypadku liczba miejsca docelowe z 20 elementów, 5.

Zadania do samodzielnego sprawdzenia
1. Ile trzycyfrowych liczb parzystych można utworzyć z liczb 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, jeśli liczby te mogą się powtarzać?
Ponieważ liczba parzysta na trzecim miejscu może wynosić 0, 2, 4, 6, tj. cztery cyfry. Drugim miejscem może być dowolna z siedmiu cyfr. Pierwszym miejscem może być dowolna z siedmiu cyfr oprócz zera, tj. 6 możliwości. Wynik =4*7*6=168.
2. Ile jest liczb pięciocyfrowych, które czyta się tak samo od lewej do prawej i od prawej do lewej?
Na pierwszym miejscu może być dowolna liczba oprócz 0, tj. 9 możliwości. Drugim miejscem może być dowolna liczba, tj. 10 możliwości. Trzecim miejscem może być też dowolna liczba z np. 10 możliwości. Cyfry czwarta i piąta są z góry ustalone, pokrywają się z pierwszą i drugą, dlatego liczba takich liczb wynosi 9*10*10=900.
3. W klasie jest dziesięć przedmiotów i pięć lekcji dziennie. Na ile sposobów można ułożyć plan na jeden dzień?

4. Na ile sposobów można wybrać 4 delegatów na konferencję, jeśli w grupie jest 20 osób?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Na ile sposobów można włożyć osiem różnych listów do ośmiu różnych kopert, jeśli w każdej z nich znajduje się tylko jeden list?
W pierwszej kopercie możesz umieścić 1 z ośmiu listów, w drugiej z siedmiu pozostałych, w trzeciej z sześciu itd. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Z trzech matematyków i dziesięciu ekonomistów trzeba stworzyć komisję złożoną z dwóch matematyków i sześciu ekonomistów. Na ile sposobów można to zrobić?