Tiešsaistes diagrammu veidošana. Kā grafēt funkciju Punktu uzzīmēšana koordinātu plaknē

Veidošanas funkcija

Jūsu uzmanībai piedāvājam funkciju grafiku konstruēšanas pakalpojumu tiešsaistē, uz kuru visas tiesības pieder uzņēmumam Desmos. Izmantojiet kreiso kolonnu, lai ievadītu funkcijas. Varat ievadīt manuāli vai izmantojot virtuālo tastatūru loga apakšā. Lai palielinātu logu ar grafiku, varat paslēpt gan kreiso kolonnu, gan virtuālo tastatūru.

Tiešsaistes diagrammu veidošanas priekšrocības

• Vizuāls ievadīto funkciju displejs
• Ļoti sarežģītu grafiku veidošana
• Netieši norādīto grafiku konstruēšana (piemēram, elipse x^2/9+y^2/16=1)
• Iespēja saglabāt diagrammas un saņemt saiti uz tām, kas kļūst pieejama ikvienam internetā
• Mēroga kontrole, līniju krāsa
• Iespēja attēlot grafikus pa punktiem, izmantojot konstantes
• Vairāku funkciju grafiku zīmēšana vienlaikus
• Uzzīmējiet polāros koordinātos (izmantojiet r un θ(\theta))

Ar mums tiešsaistē ir viegli izveidot dažādas sarežģītības diagrammas. Būvniecība tiek veikta uzreiz. Pakalpojums ir pieprasīts funkciju krustpunktu atrašanai, grafiku attēlošanai tālākai to pārvietošanai Word dokumentā kā ilustrācijas uzdevumu risināšanā un funkciju grafiku uzvedības pazīmju analīzei. Optimālais pārlūks darbam ar diagrammām šajā vietnes lapā ir Google Chrome. Pareiza darbība netiek garantēta, izmantojot citas pārlūkprogrammas.

Iepriekš mēs pētījām citas funkcijas, piemēram, lineāro, atcerēsimies tās standarta formu:

tātad acīmredzama fundamentālā atšķirība - lineārajā funkcijā X stāv pirmajā pakāpē, un jaunajā funkcijā mēs sākam mācīties, X stāv uz otro spēku.

Atgādinām, ka lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija, bet funkcijas grafiks, kā mēs redzēsim, ir līkne, ko sauc par parabolu.

Sāksim, noskaidrojot, no kurienes nāk formula. Izskaidrojums ir šāds: ja mums ir dots kvadrāts ar malu A, tad mēs varam aprēķināt tā laukumu šādi:

Ja mainīsim kvadrāta malas garumu, tad mainīsies tā laukums.

Tātad, tas ir viens no iemesliem, kāpēc funkcija tiek pētīta

Atcerieties, ka mainīgais X- tas ir neatkarīgs mainīgais vai arguments fiziskā interpretācijā, tas var būt, piemēram, laiks. Attālums, gluži pretēji, ir atkarīgs no laika. Atkarīgais mainīgais vai funkcija ir mainīgais plkst.

Šis ir atbilstības likums, saskaņā ar kuru katra vērtība X tiek piešķirta viena vērtība plkst.

Jebkuram atbilstības likumam ir jāatbilst prasībai par unikalitāti no argumenta līdz funkcijai. Fiziskā interpretācijā tas izskatās diezgan skaidri, izmantojot piemēru par attāluma atkarību no laika: katrā laika brīdī mēs atrodamies noteiktā attālumā no sākuma punkta, un nav iespējams atrasties gan 10, gan 20 kilometru attālumā no sākuma. brauciena laikā tajā pašā laikā t.

Tajā pašā laikā katru funkcijas vērtību var sasniegt ar vairākām argumentu vērtībām.

Tātad, mums ir jāizveido funkcijas grafiks, šim nolūkam mums ir jāizveido tabula. Pēc tam izpētiet funkciju un tās īpašības, izmantojot grafiku. Bet pat pirms grafa izveidošanas, pamatojoties uz funkcijas veidu, mēs varam kaut ko teikt par tā īpašībām: ir skaidrs, ka plkst nevar pieņemt negatīvas vērtības, jo

Tātad, izveidosim tabulu:

Rīsi. 1

No diagrammas ir viegli atzīmēt šādas īpašības:

Ass plkst- šī ir grafika simetrijas ass;

Parabolas virsotne ir punkts (0; 0);

Mēs redzam, ka funkcija pieņem tikai nenegatīvas vērtības;

Intervālā kur funkcija samazinās, un intervālā, kurā funkcija palielinās;

Funkcija iegūst mazāko vērtību virsotnē, ;

Funkcijas lielākās vērtības nav;

1. piemērs

Stāvoklis:

Risinājums:

Tāpēc ka X pēc nosacījuma izmaiņām noteiktā intervālā, mēs varam teikt par funkciju, ka tā palielinās un mainās intervālā . Funkcijai šajā intervālā ir minimālā un maksimālā vērtība

Rīsi. 2. Funkcijas y = x 2 , x ∈ grafiks

2. piemērs

Stāvoklis: Atrodiet funkcijas lielāko un mazāko vērtību:

Risinājums:

X mainās intervālā, kas nozīmē plkst samazinās uz intervālu while un palielinās uz intervālu while .

Tātad, pārmaiņu robežas X, un pārmaiņu robežas plkst, un tāpēc dotajā intervālā ir gan funkcijas minimālā vērtība, gan maksimālā vērtība

Rīsi. 3. Funkcijas y = x 2 , x ∈ [-3 grafiks; 2]

Ilustrēsim faktu, ka vienu un to pašu funkcijas vērtību var sasniegt ar vairākām argumentu vērtībām.

Funkciju grafiks ir vizuāls funkcijas darbības attēlojums koordinātu plaknē. Grafiki palīdz izprast dažādus funkcijas aspektus, kurus nevar noteikt no pašas funkcijas. Varat izveidot daudzu funkciju grafikus, un katrai no tām tiks dota īpaša formula. Jebkuras funkcijas grafiks tiek veidots, izmantojot noteiktu algoritmu (ja esat aizmirsis precīzu konkrētas funkcijas grafiku veidošanas procesu).

Soļi

Lineāras funkcijas grafiks

Nosakiet, vai funkcija ir lineāra. Lineāro funkciju nosaka formas formula F (x) = k x + b (\displeja stils F(x)=kx+b) vai y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(piemēram, ), un tā grafiks ir taisna līnija. Tādējādi formula ietver vienu mainīgo un vienu konstanti (konstanti) bez eksponentiem, saknes zīmēm vai tamlīdzīgi. Ņemot vērā līdzīga veida funkciju, ir diezgan vienkārši izveidot šādas funkcijas grafiku. Šeit ir citi lineāro funkciju piemēri:

Izmantojiet konstanti, lai atzīmētu punktu uz Y ass. Konstante (b) ir “y” koordināte tam punktam, kurā grafiks krustojas ar Y asi. Tas ir, tas ir punkts, kura “x” koordināte ir vienāda ar 0. Tādējādi, ja x = 0 tiek aizstāts ar formulu. , tad y = b (konstante). Mūsu piemērā y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) konstante ir vienāda ar 5, tas ir, krustošanās punktam ar Y asi ir koordinātas (0,5). Atzīmējiet šo punktu koordinātu plaknē.

Atrodiet līnijas slīpumu. Tas ir vienāds ar mainīgā reizinātāju. Mūsu piemērā y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) ar mainīgo “x” ir koeficients 2; tātad slīpuma koeficients ir vienāds ar 2. Slīpuma koeficients nosaka taisnes slīpuma leņķi pret X asi, tas ir, jo lielāks slīpuma koeficients, jo ātrāk funkcija palielinās vai samazinās.

Uzrakstiet slīpumu kā daļu. Leņķiskais koeficients ir vienāds ar slīpuma leņķa tangensu, tas ir, vertikālā attāluma (starp diviem punktiem uz taisnas līnijas) attiecību pret horizontālo attālumu (starp tiem pašiem punktiem). Mūsu piemērā slīpums ir 2, tāpēc varam norādīt, ka vertikālais attālums ir 2 un horizontālais attālums ir 1. Uzrakstiet to kā daļskaitli: 2 1 (\displaystyle (\frac (2) (1))).

• Ja slīpums ir negatīvs, funkcija samazinās.

1. No punkta, kur taisne krustojas ar Y asi, uzzīmējiet otru punktu, izmantojot vertikālos un horizontālos attālumus. Lineāru funkciju var attēlot, izmantojot divus punktus. Mūsu piemērā krustošanās punktam ar Y asi ir koordinātes (0,5); No šī punkta pārvietojiet 2 atstarpes uz augšu un pēc tam 1 atstarpi pa labi. Atzīmējiet punktu; tai būs koordinātes (1,7). Tagad jūs varat novilkt taisnu līniju.

   Izmantojot lineālu, novelciet taisnu līniju caur diviem punktiem. Lai izvairītos no kļūdām, atrodiet trešo punktu, bet vairumā gadījumu grafiku var uzzīmēt, izmantojot divus punktus. Tādējādi jūs esat uzzīmējis lineāru funkciju.

   Punktu uzzīmēšana koordinātu plaknē

   1. Definējiet funkciju. Funkcija tiek apzīmēta kā f(x). Visas iespējamās mainīgā "y" vērtības sauc par funkcijas domēnu, un visas iespējamās mainīgā "x" vērtības sauc par funkcijas domēnu. Piemēram, apsveriet funkciju y = x+2, proti, f(x) = x+2.

      Uzzīmējiet divas krustojošas perpendikulāras līnijas. Horizontālā līnija ir X ass. Vertikālā līnija ir Y ass.

      Atzīmējiet koordinātu asis. Sadaliet katru asi vienādos segmentos un numurējiet tos. Asu krustošanās punkts ir 0. X asij: pozitīvie skaitļi tiek attēloti pa labi (no 0), bet negatīvie skaitļi - pa kreisi. Y asij: pozitīvie skaitļi ir attēloti augšpusē (no 0), bet negatīvie skaitļi - apakšā.

      Atrodiet "y" vērtības no "x" vērtībām. Mūsu piemērā f(x) = x+2. Aizstājiet šajā formulā noteiktas x vērtības, lai aprēķinātu atbilstošās y vērtības. Ja tiek dota sarežģīta funkcija, vienkāršojiet to, vienādojuma vienā pusē izolējot “y”.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Atzīmējiet punktus koordinātu plaknē. Katram koordinātu pārim rīkojieties šādi: atrodiet atbilstošo vērtību uz X ass un novelciet vertikālu līniju (punktētu); atrodiet atbilstošo vērtību uz Y ass un novelciet horizontālu līniju (punktētu līniju). Atzīmējiet divu punktētu līniju krustošanās punktu; tādējādi jūs esat uzzīmējis punktu grafikā.

      Izdzēsiet punktētās līnijas. Dariet to pēc visu grafikā esošo punktu uzzīmēšanas koordinātu plaknē. Piezīme: funkcijas f(x) = x grafiks ir taisne, kas iet caur koordinātu centru [punkts ar koordinātām (0,0)]; grafiks f(x) = x + 2 ir taisne, kas ir paralēla taisnei f(x) = x, bet nobīdīta uz augšu par divām vienībām un tāpēc iet caur punktu ar koordinātām (0,2) (jo konstante ir 2) .

   Sarežģītas funkcijas grafiks

   Atrodiet funkcijas nulles. Funkcijas nulles ir mainīgā x vērtības, kur y = 0, tas ir, tie ir punkti, kur grafiks krustojas ar X asi. Ņemiet vērā, ka ne visām funkcijām ir nulles, bet tās ir pirmās solis jebkuras funkcijas grafikas veidošanas procesā. Lai atrastu funkcijas nulles, pielīdziniet to nullei. Piemēram:

   Atrodiet un atzīmējiet horizontālās asimptotes. Asimptote ir līnija, kurai funkcijas grafiks tuvojas, bet nekad nekrustojas (tas ir, šajā reģionā funkcija nav definēta, piemēram, dalot ar 0). Atzīmējiet asimptotu ar punktētu līniju. Ja mainīgais "x" atrodas daļdaļas saucējā (piemēram, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), iestatiet saucēju uz nulli un atrodiet “x”. Iegūtajās mainīgā “x” vērtībās funkcija nav definēta (mūsu piemērā velciet punktētas līnijas caur x = 2 un x = -2), jo nevar dalīt ar 0. Bet asimptoti pastāv ne tikai gadījumos, kad funkcija satur daļēju izteiksmi. Tāpēc ieteicams izmantot veselo saprātu:

Moduļus saturošu funkciju grafiku konstruēšana skolēniem parasti rada ievērojamas grūtības. Tomēr viss nav tik slikti. Pietiek atcerēties dažus algoritmus šādu problēmu risināšanai, un jūs varat viegli izveidot grafiku pat šķietami sarežģītākajām funkcijām. Noskaidrosim, kādi ir šie algoritmi.

1. Funkcijas y = |f(x)| grafika uzzīmēšana

Ņemiet vērā, ka funkciju vērtību kopa y = |f(x)| : y ≥ 0. Tādējādi šādu funkciju grafiki vienmēr pilnībā atrodas augšējā pusplaknē.

Funkcijas y = |f(x)| grafika uzzīmēšana sastāv no šādām vienkāršām četrām darbībām.

1) Uzmanīgi un rūpīgi izveidojiet funkcijas y = f(x) grafiku.

2) Atstājiet nemainīgus visus diagrammas punktus, kas atrodas virs vai uz 0x ass.

3) Parādiet diagrammas daļu, kas atrodas zem 0x ass simetriski attiecībā pret 0x asi.

Piemērs 1. Uzzīmējiet funkcijas y = |x 2 – 4x + 3| grafiku

1) Mēs izveidojam funkcijas y = x 2 – 4x + 3 grafiku. Acīmredzot šīs funkcijas grafiks ir parabola. Atradīsim visu parabolas krustošanās punktu koordinātas ar koordinātu asīm un parabolas virsotnes koordinātas.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Tāpēc parabola punktos (3, 0) un (1, 0) krustojas ar 0x asi.

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Tāpēc parabola krusto 0y asi punktā (0, 3).

Parabolas virsotņu koordinātas:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Tāpēc punkts (2, -1) ir šīs parabolas virsotne.

Izmantojot iegūtos datus, uzzīmējiet parabolu (1. att.)

2) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski attiecībā pret 0x asi.

3) Mēs iegūstam sākotnējās funkcijas grafiku ( rīsi. 2, parādīts kā punktēta līnija).

2. Funkcijas y = f(|x|) diagramma

Ņemiet vērā, ka funkcijas formā y = f(|x|) ir pāra:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Tas nozīmē, ka šādu funkciju grafiki ir simetriski ap 0y asi.

Funkcijas y = f(|x|) grafika uzzīmēšana sastāv no šādas vienkāršas darbību ķēdes.

1) Grafiksējiet funkciju y = f(x).

2) Atstājiet to grafa daļu, kurai x ≥ 0, tas ir, grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.

3) Parādiet (2) punktā norādīto diagrammas daļu simetriski pret 0y asi.

4) Kā galīgo grafiku izvēlieties (2) un (3) punktā iegūto līkņu savienību.

2. piemērs. Uzzīmējiet funkcijas y = x 2 – 4 · |x| grafiku + 3

Tā kā x 2 = |x| 2, tad sākotnējo funkciju var pārrakstīt šādā formā: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Tagad mēs varam izmantot iepriekš piedāvāto algoritmu.

1) Mēs rūpīgi un rūpīgi izveidojam funkcijas y = x 2 – 4 x + 3 grafiku (sk. arī rīsi. 1).

2) Atstājam to grafa daļu, kurai x ≥ 0, tas ir, grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.

3) Parādiet diagrammas labo pusi simetriski pret 0y asi.

(3. att.).

Piemērs 3. Uzzīmējiet funkcijas y = log 2 |x| grafiku

Mēs izmantojam iepriekš norādīto shēmu.

1) Izveidojiet funkcijas y = log 2 x grafiku (4. att.).

3. Funkcijas y = |f(|x|)| attēlošana

Ņemiet vērā, ka funkcijas formā y = |f(|x|)| ir arī vienmērīgi. Patiešām, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), un tāpēc to grafiki ir simetriski ap 0y asi. Šādu funkciju vērtību kopa: y ≥ 0. Tas nozīmē, ka šādu funkciju grafiki pilnībā atrodas augšējā pusplaknē.

Lai attēlotu funkciju y = |f(|x|)|, jums ir nepieciešams:

1) Uzmanīgi izveidojiet funkcijas y = f(|x|) grafiku.

2) Atstājiet nemainītu diagrammas daļu, kas atrodas virs 0x ass vai uz tās.

3) Parādiet diagrammas daļu, kas atrodas zem 0x ass simetriski attiecībā pret 0x asi.

4) Kā galīgo grafiku izvēlieties (2) un (3) punktā iegūto līkņu savienību.

4. piemērs. Uzzīmējiet funkcijas y = |-x 2 + 2|x| grafiku – 1|.

1) Ņemiet vērā, ka x 2 = |x| 2. Tas nozīmē, ka sākotnējās funkcijas vietā y = -x 2 + 2|x| - 1

varat izmantot funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jo to grafiki sakrīt.

Mēs veidojam grafiku y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Šim nolūkam izmantojam 2. algoritmu.

a) Grafiksējiet funkciju y = -x 2 + 2x – 1 (6. att.).

b) Atstājam to grafa daļu, kas atrodas labajā pusplaknē.

c) Mēs attēlojam iegūto grafika daļu simetriski pret 0y asi.

d) Iegūtais grafiks ir parādīts attēlā ar punktētu līniju (7. att.).

2) Nav punktu virs 0x ass, punktus uz 0x ass atstājam nemainīgus.

3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiek parādīta simetriski attiecībā pret 0x.

4) Iegūtais grafiks ir parādīts attēlā ar punktētu līniju (8. att.).

Piemērs 5. Grafiksējiet funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Vispirms jums ir jāatzīmē funkcija y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Lai to izdarītu, mēs atgriežamies pie 2. algoritma.

a) Uzmanīgi uzzīmējiet funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (9. att.).

Ņemiet vērā, ka šī funkcija ir daļēja lineāra un tās grafiks ir hiperbola. Lai uzzīmētu līkni, vispirms jāatrod diagrammas asimptoti. Horizontāli – y = 2/1 (x koeficientu attiecība frakcijas skaitītājā un saucējā), vertikālā – x = -3.

2) To grafikas daļu, kas atrodas virs 0x ass vai uz tās, atstāsim nemainītu.

3) Diagrammas daļa, kas atrodas zem 0x ass, tiks parādīta simetriski attiecībā pret 0x.

4) Galīgais grafiks ir parādīts attēlā (11. att.).

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.