Cik kombināciju ir 2 no 10. Kombinatorika: pamatlikumi un formulas. Permutācijas un varbūtību teorija

Visi N elementi un neviens neatkārtojas, tad šī ir problēma par permutāciju skaitu. Risinājumu var atrast vienkārši. Pirmajā vietā pēc kārtas var būt jebkurš no N elementiem, tāpēc ir N iespējas. Otrajā vietā - jebkura, izņemot to, kas jau ir izmantota pirmajai vietai. Tāpēc katrai no jau atrastajām N opcijām ir (N - 1) otrās vietas opcijas, un kopējais kombināciju skaits kļūst par N*(N - 1).
To pašu var atkārtot ar pārējiem sērijas elementiem. Pašai pēdējai vietai atliek tikai viena iespēja - pēdējais atlikušais elements. Priekšpēdējam ir divas iespējas utt.
Tāpēc N elementu sērijai, kas neatkārtojas, iespējamās permutācijas ir vienādas ar visu veselo skaitļu reizinājumu no 1 līdz N. Šo reizinājumu sauc par N faktoriālu un apzīmē ar N! (lasiet “en faktoriāls”).

Iepriekšējā gadījumā iespējamo elementu skaits un vietu skaits rindā sakrita, un to skaits bija vienāds ar N. Taču ir iespējama situācija, kad rindā vietu ir mazāk nekā iespējamo elementu. Citiem vārdiem sakot, elementu skaits izlasē ir vienāds ar noteiktu skaitli M un M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Pirmkārt, iespējams, vēlēsities saskaitīt kopējo iespējamo veidu skaitu, kā M elementi no N var tikt sakārtoti pēc kārtas. Šos veidus sauc par izkārtojumiem.
Otrkārt, pētnieku var interesēt, cik daudzos veidos var atlasīt M elementu no N. Šajā gadījumā elementu secībai vairs nav nozīmes, bet jebkurām divām iespējām ir jāatšķiras vienai no otras vismaz ar vienu elementu. . Šādas metodes sauc par kombinācijām.

Lai atrastu M elementu izvietojumu skaitu no N, varat izmantot to pašu spriešanas metodi kā permutāciju gadījumā. Joprojām pirmajā vietā var būt N elementi, otrajā vietā N - 1 un tā tālāk. Bet pēdējai vietai iespējamo opciju skaits nav vienāds ar vienu, bet (N - M + 1), jo pēc izvietojuma pabeigšanas joprojām būs (N - M) neizmantoti elementi.
Tādējādi M elementu izvietojumu skaits no N ir vienāds ar visu veselo skaitļu reizinājumu no (N - M + 1) līdz N, vai, kas ir tas pats, koeficients N!/(N - M)!.

Acīmredzot M elementu kombināciju skaits no N būs mazāks nekā izvietojumu skaits. Katrai iespējamai kombinācijai ir M! iespējamie izvietojumi atkarībā no šīs kombinācijas elementu secības. Tāpēc, lai atrastu šo daudzumu, M elementu izvietojumu skaits no N jāsadala ar N!. Citiem vārdiem sakot, M elementu kombināciju skaits no N ir vienāds ar N!/(M!*(N - M)!).

KOMBINATORIKA

Kombinatorika ir matemātikas nozare, kas pēta elementu atlases un sakārtošanas problēmas no noteiktas pamatkopas saskaņā ar dotajiem noteikumiem. Kombinatorikas formulas un principi tiek lietoti varbūtību teorijā, lai aprēķinātu nejaušu notikumu iespējamību un attiecīgi iegūtu gadījuma lielumu sadalījuma likumus. Tas savukārt ļauj pētīt masu nejaušo parādību modeļus, kas ir ļoti svarīgi, lai pareizi izprastu statistikas modeļus, kas izpaužas dabā un tehnoloģijā.

Saskaitīšanas un reizināšanas noteikumi kombinatorikā

Summas noteikums. Ja divas darbības A un B ir viena otru izslēdzošas un darbību A var veikt m veidos, bet B n veidos, tad vienu no šīm darbībām (vai nu A, vai B) var veikt n + m veidos.

1. piemērs.

Klasē ir 16 zēni un 10 meitenes. Cik daudzos veidos jūs varat norīkot vienu dežurantu?

Risinājums

Pienākumos var norīkot vai nu zēnu vai meiteni, t.i. dežurants var būt jebkurš no 16 zēniem vai jebkura no 10 meitenēm.

Izmantojot summas likumu, konstatējam, ka vienu dežurantu var norīkot 16+10=26 veidos.

Produkta noteikums. Lai būtu k darbības, kas jāveic secīgi. Ja pirmo darbību var veikt n 1 veidos, otro darbību n 2 veidos, trešo n 3 veidos un tā tālāk līdz k-ajai darbībai, kuru var veikt n k veidos, tad visas k darbības kopā var veikt :

veidus.

2. piemērs.

Klasē ir 16 zēni un 10 meitenes. Cik daudzos veidos var iecelt divus dežurantus?

Risinājums

Par pirmo dežurantu var iecelt vai nu zēnu, vai meiteni. Jo Klasē ir 16 zēni un 10 meitenes, tad pirmo dežurantu var nozīmēt 16+10=26 veidos.

Pēc tam, kad esam izvēlējušies pirmo dežurantu, varam izvēlēties otro no atlikušajiem 25 cilvēkiem, t.i. 25 veidi.

Atbilstoši reizināšanas teorēmai divus pavadoņus var izvēlēties 26*25=650 veidos.

Kombinācijas bez atkārtošanās. Kombinācijas ar atkārtojumiem

Klasiska kombinatorikas problēma ir kombināciju skaita problēma bez atkārtojumiem, kuras saturu var izteikt ar jautājumu: cik daudz veidus Var izvēlēties m no n dažādas preces?

3. piemērs.

Dāvanā jāizvēlas 4 no 10 dažādām grāmatām. Cik daudzos veidos to var izdarīt?

Risinājums

Mums jāizvēlas 4 grāmatas no 10, un izvēles secībai nav nozīmes. Tādējādi jums jāatrod 10 elementu kombināciju skaits no 4:

.

Apsveriet kombināciju ar atkārtojumu skaitu problēmu: ir r identiski objekti katrā no n dažādajiem veidiem; cik daudz veidus Var izvēlēties m() no šie (n*r) preces?

.

4. piemērs.

Konditorejas veikalā tika pārdotas 4 veidu kūkas: Napoleonu, eklēru, smilšu kūkas un kārtainās mīklas. Cik dažādos veidos var iegādāties 7 kūkas?

Risinājums

Jo Starp 7 kūkām var būt viena veida kūkas, tad 7 kūku iegādes veidu skaitu nosaka kombināciju skaits ar atkārtojumiem no 7 līdz 4.

.

Izvietojumi bez atkārtošanās. Izvietojumi ar atkārtojumiem

Klasiska kombinatorikas problēma ir izvietojumu skaita problēma bez atkārtojumiem, kuras saturu var izteikt ar jautājumu: cik daudz veidus Var izvēlēties Un pastu Autors m atšķirīgs vietām m no n dažādi preces?

5. piemērs.

Dažam laikrakstam ir 12 lappuses. Uz šī laikraksta lappusēm nepieciešams ievietot četras fotogrāfijas. Cik daudzos veidos to var izdarīt, ja nevienā laikraksta lapā nedrīkst būt vairāk par vienu fotogrāfiju?

Risinājums.

Šajā uzdevumā mēs ne tikai atlasām fotogrāfijas, bet izvietojam tās noteiktās laikraksta lappusēs, un katrā laikraksta lappusē nedrīkst būt vairāk par vienu fotogrāfiju. Tādējādi problēma tiek samazināta līdz klasiskajai problēmai noteikt izvietojumu skaitu bez 12 elementu atkārtojumiem no 4 elementiem:

Tādējādi 4 fotogrāfijas uz 12 lapām var sakārtot 11 880 veidos.

Klasiska kombinatorikas problēma ir arī izvietojumu skaita problēma ar atkārtojumiem, kuras saturu var izteikt ar jautājumu: cik daudz veidus Var Tubarmija Un pastu Autors m atšķirīgs vietām m no n preces,Argatavs kuras Tur ir tas pats?

6. piemērs.

Zēnam joprojām bija zīmogi ar cipariem 1, 3 un 7 no viņa galda spēļu komplekta. Viņš nolēma izmantot šos zīmogus, lai uzliktu piecciparu skaitļus uz visām grāmatām, lai izveidotu katalogu. Cik dažādu piecciparu skaitļu zēns var izveidot?

Permutācijas bez atkārtošanās. Permutācijas ar atkārtojumiem

Klasiska kombinatorikas problēma ir permutāciju skaita problēma bez atkārtošanās, kuras saturu var izteikt ar jautājumu: cik daudz veidus Var pastu n dažādi preces ieslēgts n dažādi vietas?

7. piemērs.

Cik četru burtu “vārdus” jūs varat izveidot no vārda “laulība” burtiem?

Risinājums

Kopējā populācija ir vārda “laulība” 4 burti (b, p, a, k). “Vārdu” skaitu nosaka šo 4 burtu permutācijas, t.i.

Gadījumā, ja starp atlasītajiem n elementiem ir identiski (atlase ar atgriešanos), permutāciju ar atkārtojumu skaitu problēmu var izteikt ar jautājumu: Cik daudzos veidos var pārkārtot n objektus, kas atrodas n dažādās vietās, ja starp n objektiem ir k dažāda veida (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

8. piemērs.

Cik dažādas burtu kombinācijas var izveidot no vārda "Misisipi" burtiem?

Risinājums

Ir 1 burts "m", 4 burti "i", 3 burti "c" un 1 burts "p", kopā 9 burti. Tāpēc permutāciju skaits ar atkārtojumiem ir vienāds ar

PAMATA KOPSAVILKUMS SADAĻAI "KOMBINATORIKA"

Draugi! Tā kā man jau ir šī beigta piezīmju grāmatiņa, es izmantošu to, lai uzdotu jums problēmu, ar kuru vakar cīnījās trīs fiziķi, divi ekonomisti, viens no Politehnikuma un viens no humanitārajām zinātnēm. Mēs esam salauzuši visas smadzenes un pastāvīgi iegūstam dažādus rezultātus. Varbūt starp jums ir programmētāji un matemātikas ģēniji, turklāt problēma kopumā ir skolas problēma un ļoti vienkārša, mēs vienkārši nevaram atvasināt formulu. Jo atteicāmies no eksakto zinātņu studijām un tā vietā nez kāpēc rakstām grāmatas un zīmējam attēlus. Atvainojiet.

Tātad, fons.

Man iedeva jaunu bankas karti un, kā parasti, rotaļīgi uzminēju tās PIN kodu. Bet ne pēc kārtas. Es domāju, pieņemsim, ka PIN kods bija 8794, un es teicu 9748. Tas ir, es triumfējoši uzminēja visus skaitļus, kas bija ietverti šajā četrciparu ciparā. Nu jā, nevis pats numurs, bet tikai tās sastāvdaļas Es prātoju. Bet skaitļi ir pareizi! PIEZĪME - es rīkojos nejauši, tas ir, man nebija jāsakārto jau zināmie skaitļi pareizajā secībā, es vienkārši rīkojos garā: šeit ir četri man nezināmi skaitļi, un es uzskatu, ka starp tiem var būt 9, 7, 4 un 8, un to secība nav svarīga. Mēs uzreiz sev jautājām, cik variantu man bija?(iespējams, lai saprastu, cik tas ir forši, ka es vienkārši paņēmu un uzminēju). Tas ir, no cik četru skaitļu kombinācijām man bija jāizvēlas? Un tad, protams, visa elle izlauzās vaļā. Mūsu galvas visu vakaru eksplodēja, un mēs visi saņēmām pilnīgi atšķirīgas atbildes! Es pat sāku rakstīt visas šīs kombinācijas piezīmju grāmatiņā pēc kārtas, kad tās pieauga, bet pie četriem simtiem sapratu, ka ir vairāk nekā četri simti (katrā ziņā tas atspēkoja fiziķa Treša atbildi, kurš man apliecināja, ka bija četri simti kombināciju, bet tomēr tas nav īsti skaidrs) - un padevās.

Patiesībā jautājuma būtība. Kāda ir iespējamība uzminēt (jebkurā secībā) četrus skaitļus, kas ietverti četrciparu skaitļā?

Vai nē, pārfrāzēsim (es esmu humānists, piedodiet, lai gan man vienmēr ir bijis milzīgs vājums pret matemātiku), lai tas būtu skaidrāks un precīzāks. Cik daudz neatkārtojas skaitļu kombinācijas, kas ietvertas kārtas skaitļu sērijās no 0 līdz 9999? ( lūdzu, nejauciet to ar jautājumu "cik daudz kombināciju neatkārtojas cipari"!!! cipari var atkārtoties! Es domāju, 2233 un 3322 šajā gadījumā ir viena un tā pati kombinācija!!).

Vai vēl konkrētāk. Man jāuzmin viens skaitlis no desmit četrām reizēm. Bet ne pēc kārtas.

Nu vai kaut kas cits. Vispār man ir jānoskaidro, cik daudz iespēju man bija ciparu kombinācijai, no kuras tika sastādīts kartes PIN kods. Palīdziet, labie cilvēki! Vienkārši lūdzu, palīdzot, nesāciet uzreiz rakstīt, ka šīm iespējām ir 9999(vakar tas bija tas, kas visiem sākumā ienāca prātā) jo tas ir muļķības - galu galā no tā perspektīvas, kas mūs satrauc, skaitlis 1234, cipars 3421, cipars 4312 un tā tālāk ir tas pats! Nu jā, ciparus var atkārtot, jo ir PIN kods 1111 vai, piemēram, 0007. PIN koda vietā var iedomāties automašīnas numuru. Teiksim, kāda ir varbūtība uzminēt visus viencipara skaitļus, kas veido automašīnas numuru? Vai arī vispār noņemt varbūtības teoriju - no cik skaitļu kombinācijām man bija jāizvēlas viena?

Lūdzu, atbalstiet savas atbildes un argumentāciju ar dažām precīzām formulām, jo ​​vakar mēs gandrīz palikām traki. Jau iepriekš visiem liels paldies!

P.S. Viens gudrs cilvēks, programmētājs, mākslinieks un izgudrotājs, vienkārši ļoti pareizi ieteica pareizo problēmas risinājumu, sniedzot man vairākas minūtes lielisku garastāvokli: " Problēmas risinājums ir šāds: viņai ir obsesīvi-kompulsīvi traucējumi, ārstēšana ir šāda: apprecēties un kalna tomātus. Ja es būtu viņas vietā, mani vairāk uztrauktu nevis jautājums “kāda ir varbūtība”, bet gan jautājums “kāpēc es pievēršu uzmanību visiem šiem skaitļiem”? Vispār pat nav ko piebilst :)

Tālāk esošais kalkulators ir paredzēts, lai ģenerētu visas n x m elementu kombinācijas.
Šādu kombināciju skaitu var aprēķināt, izmantojot Combinatorics elementu kalkulatoru. Permutācijas, izvietojumi, kombinācijas.

Ģenerēšanas algoritma apraksts zem kalkulatora.

Algoritms

Kombinācijas tiek ģenerētas leksikogrāfiskā secībā. Algoritms darbojas ar kopas elementu kārtas indeksiem.
Apskatīsim algoritmu, izmantojot piemēru.
Prezentācijas vienkāršības labad apsveriet piecu elementu kopu, kuras indeksi sākas ar 1, proti, 1 2 3 4 5.
Ir jāģenerē visas kombinācijas ar izmēru m = 3.
Vispirms tiek inicializēta pirmā dotā izmēra m kombinācija - indeksi augošā secībā
1 2 3
Tālāk tiek pārbaudīts pēdējais elements, t.i., i = 3. Ja tā vērtība ir mazāka par n - m + i, tad to palielina par 1.
1 2 4
Pēdējais elements tiek vēlreiz pārbaudīts un atkal tiek palielināts.
1 2 5
Tagad elementa vērtība ir vienāda ar maksimālo iespējamo: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, tiek pārbaudīts iepriekšējais elements ar i = 2.
Ja tā vērtība ir mazāka par n - m + i, tad to palielina par 1, un visiem tai sekojošajiem elementiem vērtība ir vienāda ar iepriekšējā elementa vērtību plus 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Tālāk mēs vēlreiz pārbaudām, vai i = 3.
1 3 5
Pēc tam pārbaudiet, vai i = 2.
1 4 5
Tad pienāk kārta i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
Un tālāk,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - pēdējā kombinācija, jo visi tās elementi ir vienādi ar n - m + i.

Neskatoties uz PIN kodu nozīmīgo lomu pasaules infrastruktūrā, nav veikti akadēmiski pētījumi par to, kā cilvēki patiesībā izvēlas PIN kodus.

Kembridžas universitātes pētnieki Sērens Preibušs un Ross Andersons ir labojuši situāciju, publicējot pasaulē pirmo kvantitatīvo analīzi par grūtībām uzminēt četrciparu bankas PIN.

Izmantojot datus par paroļu noplūdi no nebanku avotiem un tiešsaistes aptaujām, zinātnieki atklāja, ka lietotāji PIN kodu izvēli uztver daudz nopietnāk nekā vietņu paroļu izvēli: lielākā daļa kodu satur gandrīz nejaušu skaitļu kopu. Tomēr starp sākotnējiem datiem ir arī vienkāršas kombinācijas un dzimšanas dienas - tas ir, ar zināmu veiksmi uzbrucējs var vienkārši uzminēt vērtīgo kodu.

Pētījuma sākumpunkts bija 4 ciparu paroļu secību kopums no RockYou datu bāzes (1,7 miljoni) un 200 tūkstošu PIN kodu datu bāze no iPhone ekrāna bloķēšanas programmas (datu bāzi nodrošināja aplikāciju izstrādātājs Daniels Amitajs) . Grafikos, kas veidoti no šiem datiem, parādās interesanti modeļi - datumi, gadi, atkārtoti skaitļi un pat PIN kodi, kas beidzas ar 69. Pamatojoties uz šiem novērojumiem, zinātnieki izveidoja lineārās regresijas modeli, kas nosaka katra PIN koda popularitāti atkarībā no 25 faktoriem. , piemēram, vai kods ir DDMM datums, vai tā ir augoša secība utt. 79% un 93% PIN kodu katrā komplektā atbilst šiem vispārīgajiem nosacījumiem.

Tādējādi lietotāji izvēlas 4 ciparu kodus, pamatojoties tikai uz dažiem vienkāršiem faktoriem. Ja šādi izvēlētos bankas PIN kodus, 8-9% no tiem varētu uzminēt tikai trīs mēģinājumos! Bet, protams, cilvēki banku kodiem ir daudz uzmanīgāki. Tā kā nebija liela reālu banku datu kopuma, pētnieki aptaujāja vairāk nekā 1300 cilvēku, lai novērtētu, cik reālie PIN kodi atšķiras no jau apsvērtajiem. Ņemot vērā pētījuma specifiku, respondentiem netika jautāts par pašiem kodiem, bet gan tikai par to atbilstību kādam no iepriekš minētajiem faktoriem (palielināšana, DDMM formāts utt.).

Izrādījās, ka cilvēki patiešām daudz rūpīgāk izvēlas savus bankas PIN kodus. Apmēram ceturtā daļa aptaujāto izmanto bankas ģenerētu PIN kodu. Vairāk nekā trešdaļa izvēlas savu PIN, izmantojot vecu tālruņa numuru, studenta ID numuru vai citu numuru kopu, kas parādās nejauši. Saskaņā ar rezultātiem 64% karšu īpašnieku izmanto pseidogadījuma PIN kodu, kas ir daudz augstāks nekā 23-27% iepriekšējos eksperimentos ar nebanku kodiem. Vēl 5% izmanto digitālo modeli (piemēram, 4545), un 9% dod priekšroku tastatūras rakstam (piemēram, 2684). Kopumā uzbrucējam ar sešiem mēģinājumiem (trīs ar bankomātu un trīs ar maksājumu termināli) ir mazāk nekā 2% iespēja uzminēt svešas kartes PIN kodu.

100 populārākie PIN kodi

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. Praksē, protams, uzbrucējam ir daudz vieglāk izspiegot jūsu PIN kodu, nekā to uzminēt. Bet jūs varat arī pasargāt sevi no lūrēšanas - pat šķietami bezcerīgā situācijā:

Kombinatorika ir matemātikas nozare, kas pēta jautājumus par to, cik dažādas kombinācijas, ievērojot noteiktus nosacījumus, var izveidot no dotajiem objektiem. Kombinatorikas pamati ir ļoti svarīgi nejaušu notikumu varbūtību novērtēšanai, jo Tieši tie ļauj mums aprēķināt fundamentāli iespējamo dažādu notikumu attīstības variantu skaitu.

Kombinatorikas pamatformula

Lai ir k elementu grupas, un i-tā grupa sastāv no n i elementiem. Atlasīsim vienu elementu no katras grupas. Tad kopējo skaitu N veidu, kādos var izdarīt šādu izvēli, nosaka sakarība N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

1. piemērs. Izskaidrosim šo noteikumu ar vienkāršu piemēru. Pieņemsim, ka ir divas elementu grupas, un pirmā grupa sastāv no n 1 elementiem, bet otrā - no n 2 elementiem. Cik dažādus elementu pārus var izveidot no šīm divām grupām, lai pārī būtu viens elements no katras grupas? Pieņemsim, ka mēs paņēmām pirmo elementu no pirmās grupas un, to nemainot, izgājām cauri visiem iespējamajiem pāriem, mainot tikai elementus no otrās grupas. Šim elementam var būt n 2 šādi pāri. Tad mēs ņemam otro elementu no pirmās grupas un arī veidojam visus iespējamos pārus. Būs arī n 2 šādi pāri. Tā kā pirmajā grupā ir tikai n 1 elementi, kopējais iespējamo variantu skaits būs n 1 * n 2 .

2. piemērs. Cik trīsciparu pāra skaitļus var izveidot no cipariem 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ja ciparus var atkārtot?
Risinājums: n 1 =6 (jo kā pirmo ciparu varat ņemt jebkuru skaitli no 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7 (jo kā otro ciparu varat ņemt jebkuru skaitli no 0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6), n 3 =4 (jo jebkuru skaitli no 0, 2, 4, 6 var uzskatīt par trešo ciparu).
Tātad, N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

Gadījumā, ja visas grupas sastāv no vienāda elementu skaita, t.i. n 1 =n 2 =...n k =n varam pieņemt, ka katra atlase tiek veikta no vienas un tās pašas grupas, un elements pēc atlases tiek atgriezts grupā. Tad visu atlases metožu skaits ir n k . Šo atlases metodi kombinatorikā sauc paraugi ar atgriešanu.

3. piemērs. Cik četrciparu skaitļus var izveidot no cipariem 1, 5, 6, 7, 8?
Risinājums. Katram četrciparu skaitļa ciparam ir piecas iespējas, kas nozīmē N=5*5*5*5=5 4 =625.

Apsveriet kopu, kas sastāv no n elementiem. Kombinatorikā šo kopu sauc vispārējā populācija.

n elementu izvietojumu skaits ar m

1. definīcija. Ievietots no n elementi m kombinatorikā jebkura pasūtīts komplekts no m dažādi elementi, kas atlasīti no iedzīvotājiem n elementi.

4. piemērs. Trīs elementu (1, 2, 3) dažādi izkārtojumi pa diviem būs kopas (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Izvietojumi var atšķirties viens no otra gan elementos, gan to secībā.

Izvietojumu skaitu kombinatorikā apzīmē ar A n m un aprēķina pēc formulas:

komentēt: n!=1*2*3*...*n (lasi: "en faktoriāls"), turklāt tiek pieņemts, ka 0!=1.

5. piemērs. Cik ir divciparu skaitļu, kuros desmitciparu un vienību cipars ir atšķirīgi un nepāra?
Risinājums: jo Ja ir pieci nepāra cipari, proti, 1, 3, 5, 7, 9, tad šis uzdevums ir atlasīt un novietot divus no pieciem dažādiem cipariem divās dažādās pozīcijās, t.i. norādītie skaitļi būs:

Definīcija 2. Kombinācija no n elementi m kombinatorikā jebkura nepasūtīts komplekts no m dažādi elementi, kas atlasīti no iedzīvotājiem n elementi.

6. piemērs. Komplektam (1, 2, 3) kombinācijas ir (1, 2), (1, 3), (2, 3).

n elementu kombināciju skaits, katra m

Kombināciju skaitu apzīmē ar C n m un aprēķina pēc formulas:

7. piemērs. Cik daudzos veidos lasītājs var izvēlēties divas grāmatas no sešām pieejamajām?

Risinājums: Metožu skaits ir vienāds ar sešu divu grāmatu kombināciju skaitu, t.i. vienāds:

n elementu permutācijas

3. Definīcija. Permutācija no n elementus sauc par jebkuriem pasūtīts komplektsšie elementi.

7.a piemērs. Visas iespējamās kopas, kas sastāv no trim elementiem (1, 2, 3), permutācijas ir: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Dažādu n elementu permutāciju skaitu apzīmē ar P n un aprēķina pēc formulas P n =n!.

8. piemērs. Cik dažādos veidos plauktā vienā rindā var izkārtot septiņas dažādu autoru grāmatas?

Risinājums:Šī problēma attiecas uz septiņu dažādu grāmatu permutāciju skaitu. Ir P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 veidi, kā sakārtot grāmatas.

Diskusija. Mēs redzam, ka iespējamo kombināciju skaitu var aprēķināt pēc dažādiem noteikumiem (permutācijas, kombinācijas, izvietojumi) un rezultāts būs atšķirīgs, jo Aprēķinu princips un pašas formulas atšķiras. Uzmanīgi apskatot definīcijas, jūs ievērosiet, ka rezultāts ir atkarīgs no vairākiem faktoriem vienlaikus.

Pirmkārt, no cik elementiem mēs varam apvienot to kopas (cik liela ir elementu kopa).

Otrkārt, rezultāts ir atkarīgs no mums nepieciešamo elementu kopu lieluma.

Visbeidzot, ir svarīgi zināt, vai elementu secība komplektā mums ir nozīmīga. Paskaidrosim pēdējo faktoru, izmantojot šādu piemēru.

9. piemērs. Vecāku sapulcē piedalās 20 cilvēki. Cik dažādu variantu ir vecāku komitejas sastāvam, ja tajā jāiekļauj 5 cilvēki?
Risinājums:Šajā piemērā mūs neinteresē vārdu secība komitejas sarakstā. Ja rezultātā izrādās, ka tajā ietilpst vieni un tie paši cilvēki, tad mums šī ir viena un tā pati iespēja. Tāpēc skaitļa aprēķināšanai varam izmantot formulu kombinācijas no 20 elementiem pa 5 katrā.

Lietas būs savādākas, ja katrs komitejas loceklis sākotnēji būs atbildīgs par noteiktu darba jomu. Tad ar to pašu komisijas saraksta sastāvu tajā, iespējams, ir 5! iespējas permutācijasšī lieta. Dažādu (gan sastāva, gan atbildības jomas) iespēju skaitu šajā gadījumā nosaka skaits izvietojumus no 20 elementiem pa 5 katrā.

Pašpārbaudes uzdevumi
1. Cik trīsciparu pāra skaitļus var izveidot no cipariem 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ja ciparus var atkārtot?
Jo Pāra skaitlis trešajā vietā var būt 0, 2, 4, 6, t.i. četri cipari. Otrajā vietā var būt jebkurš no septiņiem cipariem. Pirmajā vietā var būt jebkurš no septiņiem cipariem, izņemot nulli, t.i. 6 iespējas. Rezultāts =4*7*6=168.
2. Cik ir piecciparu skaitļu, kas tiek lasīti vienādi no kreisās uz labo un no labās uz kreiso?
Pirmajā vietā var būt jebkurš skaitlis, izņemot 0, t.i. 9 iespējas. Otrajā vietā var būt jebkurš skaitlis, t.i. 10 iespējas. Trešajā vietā var būt arī jebkurš skaitlis no, t.i. 10 iespējas. Ceturtais un piektais cipars ir iepriekš noteikti, tie sakrīt ar pirmo un otro, tāpēc šādu skaitļu skaits ir 9*10*10=900.
3. Klasē ir desmit priekšmeti un piecas mācību stundas dienā. Cik daudzos veidos var izveidot vienas dienas grafiku?

4. Cik daudzos veidos var atlasīt 4 delegātus konferencei, ja grupā ir 20 cilvēki?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Cik daudzos veidos var ievietot astoņus dažādus burtus astoņās dažādās aploksnēs, ja katrā aploksnē ir ievietots tikai viens burts?
Jūs varat ievietot 1 no astoņiem burtiem pirmajā aploksnē, vienu no atlikušajiem septiņiem otrajā, vienu no sešiem trešajā utt. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Komisijā, kurā ir divi matemātiķi un seši ekonomisti, jābūt trīs matemātiķiem un desmit ekonomistiem. Cik daudzos veidos to var izdarīt?