Kā atrisināt nevienādības ar 2 mainīgajiem. Nodarbības kopsavilkums "nevienādību sistēmu risināšana ar diviem mainīgajiem". ar diviem mainīgajiem

Temats: Vienādojumi un nevienādības. Vienādojumu un nevienādību sistēmas

Nodarbība:Vienādojumi un nevienādības ar diviem mainīgajiem

Apskatīsim vispārīgi vienādojumu un nevienādību ar diviem mainīgajiem.

Vienādojums ar diviem mainīgajiem;

Nevienādība ar diviem mainīgajiem, nevienlīdzības zīme var būt jebkas;

Šeit x un y ir mainīgie, p ir izteiksme, kas ir atkarīga no tiem

Skaitļu pāri () sauc par šāda vienādojuma vai nevienādības daļēju atrisinājumu, ja, aizstājot šo pāri izteiksmē, iegūstam attiecīgi pareizo vienādojumu vai nevienādību.

Uzdevums ir atrast vai attēlot plaknē visu risinājumu kopu. Šo uzdevumu var pārfrāzēt – atrast punktu lokusu (GLP), izveidot vienādojuma vai nevienādības grafiku.

1. piemērs - atrisiniet vienādojumu un nevienlīdzību:

Citiem vārdiem sakot, uzdevums ietver GMT atrašanu.

Apskatīsim vienādojuma risinājumu. Šajā gadījumā mainīgā x vērtība var būt jebkura, tāpēc mums ir:

Acīmredzot vienādojuma risinājums ir punktu kopa, kas veido taisnu līniju

Rīsi. 1. Vienādojumu diagrammas 1. piemērs

Dotā vienādojuma risinājumi ir jo īpaši punkti (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Dotās nevienādības risinājums ir pusplakne, kas atrodas virs taisnes, ieskaitot pašu taisni (skat. 1. attēlu). Patiešām, ja mēs ņemam jebkuru punktu x 0 uz līnijas, tad mums ir vienādība . Ja mēs ņemam punktu pusplaknē virs līnijas, mums ir . Ja ņemam punktu pusplaknē zem līnijas, tad tas neapmierinās mūsu nevienlīdzību: .

Tagad apsveriet problēmu ar apli un apli.

2. piemērs - atrisiniet vienādojumu un nevienlīdzību:

Mēs zinām, ka dotais vienādojums ir apļa vienādojums ar centru un rādiusu 1.

Rīsi. 2. Ilustrācija, piemēram, 2

Patvaļīgā punktā x 0 vienādojumam ir divi atrisinājumi: (x 0; y 0) un (x 0; -y 0).

Dotās nevienādības risinājums ir punktu kopa, kas atrodas apļa iekšpusē, neņemot vērā pašu apli (skat. 2. attēlu).

Apskatīsim vienādojumu ar moduļiem.

3. piemērs — atrisiniet vienādojumu:

Šajā gadījumā moduļus būtu iespējams paplašināt, bet mēs apsvērsim vienādojuma specifiku. Ir viegli redzēt, ka šī vienādojuma grafiks ir simetrisks pret abām asīm. Tad, ja punkts (x 0 ; y 0) ir risinājums, tad punkts (x 0 ; -y 0) arī ir atrisinājums, punkti (-x 0 ; y 0) un (-x 0 ; -y 0 ) ir arī risinājums.

Tādējādi pietiek atrast risinājumu, kur abi mainīgie nav negatīvi un ieņem simetriju pret asīm:

Rīsi. 3. Ilustrācija, piemēram, 3

Tātad, kā mēs redzam, vienādojuma risinājums ir kvadrāts.

Apskatīsim tā saukto apgabala metodi, izmantojot konkrētu piemēru.

4. piemērs - attēlojiet nevienlīdzības risinājumu kopu:

Saskaņā ar domēnu metodi, vispirms mēs uzskatām funkciju kreisajā pusē, ja labajā pusē ir nulle. Šī ir divu mainīgo funkcija:

Līdzīgi kā intervālu metode, mēs īslaicīgi attālināmies no nevienlīdzības un pētām saliktās funkcijas pazīmes un īpašības.

ODZ: tas nozīmē, ka tiek pārdurta x ass.

Tagad mēs norādām, ka funkcija ir vienāda ar nulli, ja daļas skaitītājs ir vienāds ar nulli, mums ir:

Mēs veidojam funkcijas grafiku.

Rīsi. 4. Funkcijas grafiks, ņemot vērā ODZ

Tagad apsveriet funkcijas pastāvīgās zīmes apgabalus, kurus veido taisna un lauzta līnija. lauztās līnijas iekšpusē ir laukums D 1. Starp lauztas līnijas segmentu un taisni - apgabals D 2, zem līnijas - apgabals D 3, starp lauztas līnijas segmentu un taisni - apgabals D 4

Katrā no atlasītajiem apgabaliem funkcija saglabā savu zīmi, kas nozīmē, ka pietiek pārbaudīt patvaļīgu pārbaudes punktu katrā apgabalā.

Apgabalā ņemam punktu (0;1). Mums ir:

Apgabalā ņemam punktu (10;1). Mums ir:

Tādējādi viss reģions ir negatīvs un neapmierina doto nevienlīdzību.

Apgabalā ņem punktu (0;-5). Mums ir:

Tādējādi viss reģions ir pozitīvs un apmierina doto nevienlīdzību.

1. Nevienādības ar diviem mainīgajiem. Divu nevienādību sistēmas risināšanas metodes ar diviem mainīgajiem: analītiskā metode un grafiskā metode.

2. Divu nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem: risinājuma rezultāta ierakstīšana.

3. Nevienādību kopas ar diviem mainīgajiem.

NEVIENĀDĪBAS UN NEVIENĀDĪBU SISTĒMAS AR DIVIEM MAINĪGĀM. Formas f₁(x, y)> predikāts< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - tiek izsauktas izteiksmes ar mainīgajiem x un y, kas definēti kopā XxY nevienādība ar diviem mainīgajiem (ar diviem nezināmajiem) x un y. Ir skaidrs, ka formā var ierakstīt jebkuru formas nevienādību ar diviem mainīgajiem f(x, y) > 0, ХОХ, уО U. Nevienlīdzības atrisināšana ar diviem mainīgajiem ir mainīgo vērtību pāris, kas nevienādību pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Ir zināms, ka reālu skaitļu pāris (x, y) unikāli nosaka punktu koordinātu plaknē. Tas dod iespēju ģeometriski attēlot nevienādību risinājumus vai nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem, noteiktas punktu kopas veidā koordinātu plaknē. Ja Eq.

f(x, y)= 0 definē noteiktu taisni koordinātu plaknē, tad plaknes punktu kopa, kas neatrodas uz šīs taisnes, sastāv no ierobežota skaita apgabalu C₁, C 2,..., S p(17.8. att.). Katrā no apgabaliem C funkcija f(x, y) atšķiras no nulles, jo punkti, kuros f(x, y)= 0 pieder pie šo apgabalu robežām.

Risinājums. Pārveidosim nevienādību formā x > y 2 + 2y - 3. Konstruēsim parabolu uz koordinātu plaknes X= g 2 + 2 g - 3. Tas sadalīs plakni divos reģionos G₁ un G 2 (17.9. att.). Tā kā jebkura punkta abscisa, kas atrodas pa labi no parabolas X= g 2 + 2 g- 3, lielāks par tāda punkta abscisu, kuram ir tāda pati ordināta, bet kas atrodas uz parabolas utt. nevienlīdzība x>y g + 2y -3 nav stingra, tad šīs nevienlīdzības risinājumu ģeometriskais attēlojums būs plaknes punktu kopa, kas atrodas uz parabolas X= plkst.2+ 2у - 3 un pa labi no tā (17.9. att.).

Rīsi. 17.10

Piemērs 17.15. Uzzīmējiet uz koordinātu plaknes nevienādību sistēmas atrisinājumu kopu

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Risinājums. Nevienādību sistēmas risinājuma ģeometrisks attēlojums x > 0, y > 0 ir pirmā koordinātu leņķa punktu kopa. Nevienādību risinājumu ģeometriskais attēlojums x + y< 6 vai plkst< 6 - X ir punktu kopa, kas atrodas zem līnijas un uz pašas līnijas un kalpo kā funkcijas grafiks y = 6 - X. Nevienādību risinājumu ģeometriskais attēlojums xy > 5 vai tāpēc X> 0 nevienādības y > 5/x ir punktu kopa, kas atrodas virs hiperbolas atzara, kas kalpo kā funkcijas grafiks y = 5/x. Rezultātā iegūstam koordinātu plaknes punktu kopu, kas atrodas pirmajā koordinātu leņķī zem taisnes, kas kalpo par funkcijas y = 6 - x grafiku, un virs hiperbolas atzara, kas kalpo kā funkcijas grafiks y = 5x(17.10. att.).

III nodaļa. DABISKI SKAITĻI UN NULLE

, un vēl jo vairāk nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem, liekas diezgan grūts uzdevums. Tomēr ir vienkāršs algoritms, kas palīdz viegli un bez lielas piepūles atrisināt šķietami ļoti sarežģītas šāda veida problēmas. Mēģināsim to izdomāt.

Ļaujiet mums izveidot nevienādību ar diviem mainīgajiem vienā no šiem veidiem:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Lai koordinātu plaknē attēlotu šādas nevienlīdzības risinājumu kopu, rīkojieties šādi:

1. Mēs izveidojam funkcijas y = f(x) grafiku, kas sadala plakni divos apgabalos.
2. Mēs izvēlamies jebkuru no iegūtajiem apgabaliem un apsveram tajā patvaļīgu punktu. Mēs pārbaudām sākotnējās nevienlīdzības iespējamību šim punktam. Ja testa rezultāts ir pareiza skaitliskā nevienādība, tad secinām, ka sākotnējā nevienādība ir izpildīta visā reģionā, kuram pieder izvēlētais punkts. Tādējādi nevienlīdzības risinājumu kopa ir reģions, kuram pieder izvēlētais punkts. Ja pārbaudes rezultātā tiek iegūta nepareiza skaitliskā nevienādība, tad nevienādības atrisinājumu kopa būs otrais apgabals, kuram nepieder izvēlētais punkts.
3. Ja nevienādība ir stingra, tad apgabala robežas, tas ir, funkcijas y = f(x) grafika punkti, netiek iekļauti risinājumu kopā un robeža ir attēlota ar punktētu līniju. Ja nevienādība nav stingra, tad apgabala robežas, tas ir, funkcijas y = f(x) grafika punkti, tiek iekļauti šīs nevienlīdzības atrisinājumu kopā un robeža šajā gadījumā ir attēlota. kā cieta līnija. Tagad aplūkosim vairākas problēmas par šo tēmu.

1. uzdevums.

Kādu punktu kopu dod nevienādība x · y ≤ 4?

Risinājums.

1) Mēs izveidojam vienādojuma x · y = 4 grafiku. Lai to izdarītu, vispirms mēs to pārveidojam. Acīmredzot x šajā gadījumā nepārvēršas par 0, jo pretējā gadījumā mums būtu 0 · y = 4, kas ir nepareizi. Tas nozīmē, ka mēs varam dalīt mūsu vienādojumu ar x. Mēs iegūstam: y = 4/x. Šīs funkcijas grafiks ir hiperbola. Tas sadala visu plakni divos reģionos: starp diviem hiperbolas zariem un ārpus tiem.

2) Izvēlēsimies patvaļīgu punktu no pirmā apgabala, lai tas būtu punkts (4; 2). Pārbaudīsim nevienādību: 4 · 2 ≤ 4 – nepatiess.

Tas nozīmē, ka šī reģiona punkti neapmierina sākotnējo nevienlīdzību. Tad varam secināt, ka nevienlīdzības atrisinājumu kopa būs otrais apgabals, kuram izvēlētais punkts nepieder.

3) Tā kā nevienādība nav stingra, tad robežas punktus, tas ir, funkcijas y=4/x grafika punktus novelkam ar nepārtrauktu līniju.

Punktu kopu, kas nosaka sākotnējo nevienādību, nokrāsosim dzeltenā krāsā (1. att.).

2. uzdevums.

Uzzīmējiet laukumu, ko koordinātu plaknē nosaka sistēma

Risinājums.

Sākumā mēs izveidojam šādu funkciju grafikus (2. att.):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – taisne

x 2 + y 2 = 9 – aplis.

Tagad apskatīsim katru nevienlīdzību atsevišķi.

1) y > x 2 + 2.

Mēs ņemam punktu (0; 5), kas atrodas virs funkcijas grafika. Pārbaudīsim nevienādību: 5 > 0 2 + 2 – taisnība.

Līdz ar to visi punkti, kas atrodas virs dotās parabolas y = x 2 + 2, apmierina sistēmas pirmo nevienādību. Krāsosim tos dzeltenus.

2) y + x > 1.

Mēs ņemam punktu (0; 3), kas atrodas virs funkcijas grafika. Pārbaudīsim nevienādību: 3 + 0 > 1 – taisnība.

Līdz ar to visi punkti, kas atrodas virs taisnes y + x = 1, apmierina sistēmas otro nevienādību. Krāsosim tos ar zaļu ēnojumu.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Ņemam punktu (0; -4), kas atrodas ārpus apļa x 2 + y 2 = 9. Pārbaudām nevienādību: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – nepareizi.

Līdz ar to visi punkti, kas atrodas ārpus apļa x 2 + y 2 = 9, neapmierina sistēmas trešo nevienādību. Tad varam secināt, ka visi punkti, kas atrodas apļa x 2 + y 2 = 9 iekšpusē, apmierina sistēmas trešo nevienādību. Krāsosim tos ar violetu ēnojumu.

Neaizmirstiet, ka, ja nevienlīdzība ir stingra, tad atbilstošā robežlīnija jānovelk ar punktētu līniju. Mēs iegūstam šādu attēlu (3. att.).

Vēlamais laukums ir laukums, kurā visi trīs krāsainie laukumi krustojas viens ar otru (4. att.).

Jautājumi piezīmēm

Uzrakstiet nevienādību, kuras atrisinājums ir aplis un punkti apļa iekšpusē:

Atrodiet punktus, kas atrisina nevienlīdzību:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

Ļaujiet f(x,y) Un g(x, y)- divas izteiksmes ar mainīgajiem X Un plkst un darbības jomu X. Tad formas nevienādības f(x, y) > g(x, y) vai f(x, y) < g(x, y) sauca nevienādība ar diviem mainīgajiem .

Mainīgo nozīme x, y no daudziem X, pie kuras nevienādība pārvēršas patiesā skaitliskā nevienādībā, to sauc lēmumu un ir norādīts (x, y). Atrisiniet nevienlīdzību - tas nozīmē atrast daudzus šādus pārus.

Ja katrs skaitļu pāris (x, y) no risinājumu kopas līdz nevienādībai, saskaņojiet punktu M(x, y), mēs iegūstam punktu kopu plaknē, ko nosaka šī nevienādība. Viņu sauc šīs nevienlīdzības grafiks . Nevienādības grafiks parasti ir plaknes laukums.

Attēlot nevienlīdzības risinājumu kopu f(x, y) > g(x, y), rīkojieties šādi. Vispirms nomainiet nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un atrodiet līniju, kurā ir vienādojums f(x,y) = g(x,y). Šī līnija sadala plakni vairākās daļās. Pēc tam katrā daļā pietiek paņemt vienu punktu un pārbaudīt, vai šajā punktā ir izpildīta nevienlīdzība f(x, y) > g(x, y). Ja tas tiek izpildīts šajā punktā, tad tas tiks izpildīts visā daļā, kurā atrodas šis punkts. Apvienojot šādas detaļas, mēs iegūstam daudz risinājumu.

Uzdevums. y > x.

Risinājums. Pirmkārt, mēs aizvietojam nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un taisnstūra koordinātu sistēmā izveidojam līniju, kurai ir vienādojums y = x.

Šī līnija sadala plakni divās daļās. Pēc tam katrā daļā paņemiet vienu punktu un pārbaudiet, vai šajā punktā ir izpildīta nevienlīdzība y > x.

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību
X 2 + plkst 2 25 £.

Dotas divas nevienādības f 1(x, y) > g 1(x, y) Un f 2(x, y) > g 2(x, y).

Nevienādību kopu sistēmas ar diviem mainīgajiem

Nevienlīdzību sistēma ir sevi šo nevienlīdzību savienojums. Sistēmas risinājums ir katra nozīme (x, y), kas katru no nevienādībām pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi sistēmas nevienādības ir nevienādību risinājumu kopu krustpunkts, kas veido noteiktu sistēmu.

Nevienādību kopa ir sevi šo atdalīšana nevienlīdzības Iestatiet risinājumu ir katra nozīme (x, y), kas vismaz vienu no nevienādību kopas pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi kopums ir nevienādību risinājumu kopu savienība, kas veido kopu.

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmu

Risinājums. y = x Un X 2 + plkst 2 = 25. Atrisinām katru sistēmas nevienādību.

Sistēmas grafiks būs plaknes punktu kopa, kas ir pirmās un otrās nevienādības atrisinājumu kopu krustpunkts (dubultā izšķilšanās).

Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību kopu

Vingrinājumi patstāvīgam darbam

1. Grafiski atrisiniet nevienādības: a) plkst> 2x; b) plkst< 2x + 3;

V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 4 £.

2. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmas:

a) b)

Video nodarbība “Nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem” satur vizuāli izglītojošu materiālu par šo tēmu. Nodarbība ietver nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem risināšanas jēdziena izskatīšanu, šādu sistēmu grafiskās risināšanas piemēri. Šīs video nodarbības mērķis ir attīstīt studentu spēju grafiski atrisināt nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem, lai atvieglotu izpratni par šādu sistēmu risinājumu meklēšanas procesu un risināšanas metodes iegaumēšanu.

Katram risinājuma aprakstam ir pievienoti rasējumi, kas parāda problēmas risinājumu koordinātu plaknē. Šādi skaitļi skaidri parāda grafiku konstruēšanas iezīmes un risinājumam atbilstošo punktu izvietojumu. Visas svarīgās detaļas un koncepcijas ir izceltas, izmantojot krāsu. Tādējādi video stunda ir ērts rīks skolotāju problēmu risināšanai klasē un atbrīvo skolotāju no standarta materiāla bloka prezentācijas individuālajam darbam ar skolēniem.

Video nodarbība sākas ar tēmas ievadu un piemēru, kā atrast risinājumus sistēmai, kas sastāv no nevienādībām x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Izpratne par izdarītajiem secinājumiem par nevienlīdzību sistēmas risināšanu tiek stiprināta, aplūkojot piemērus. Vispirms tiek aplūkots nevienādību sistēmas x 2 + y 2 risinājums<=9 и x+y>=2. Acīmredzot pirmās nevienādības risinājumi koordinātu plaknē ietver apli x 2 + y 2 = 9 un apgabalu tajā. Šī zona attēlā ir piepildīta ar horizontālu ēnojumu. Nevienādības x+y>=2 atrisinājumu kopa ietver taisni x+y=2 un augšpusē esošo pusplakni. Šo apgabalu plaknē norāda arī ar sitieniem citā virzienā. Tagad attēlā varam noteikt divu risinājumu kopu krustpunktu. Tas atrodas apļa segmentā x 2 + y 2<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Tālāk mēs analizējam lineāro nevienādību sistēmas y>=x-3 un y>=-2x+4 risinājumu. Attēlā blakus uzdevuma nosacījumam ir konstruēta koordinātu plakne. Uz tā tiek konstruēta taisne, kas atbilst vienādojuma y=x-3 atrisinājumiem. Nevienādības y>=x-3 atrisinājuma laukums būs laukums, kas atrodas virs šīs līnijas. Viņa ir noēnota. Otrās nevienādības atrisinājumu kopa atrodas virs taisnes y=-2x+4. Arī šī taisne tiek konstruēta tajā pašā koordinātu plaknē un risinājuma laukums ir izsvītrots. Divu kopu krustpunkts ir leņķis, ko veido divas taisnas līnijas kopā ar tā iekšējo reģionu. Nevienādību sistēmas risinājuma laukums ir piepildīts ar dubultu ēnojumu.

Aplūkojot trešo piemēru, aprakstīts gadījums, kad sistēmas nevienādībām atbilstošo vienādojumu grafiki ir paralēlas taisnes. Nepieciešams atrisināt nevienādību sistēmu y<=3x+1 и y>=3x-2. Uz koordinātu plaknes, kas atbilst vienādojumam y=3x+1, tiek konstruēta taisne. Vērtību diapazons, kas atbilst nevienādības y risinājumiem<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

Video nodarbību “Nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem” var izmantot kā uzskates līdzekli stundā skolā vai aizstāt skolotāja skaidrojumu, patstāvīgi apgūstot materiālu. Detalizēts, saprotams skaidrojums par nevienādību sistēmu risināšanu koordinātu plaknē var palīdzēt prezentēt materiālu tālmācības laikā.