Mitu kombinatsiooni 2 10-st. Kombinatoorika: põhireeglid ja valemid. Permutatsioonid ja tõenäosusteooria

Kõik N elementi ja ükski ei kordu, siis on see permutatsioonide arvu probleem. Lahenduse võib leida lihtsalt. Ükskõik milline N element võib olla reas esikohal, seega saadakse N valikut. Teisel kohal - ükskõik milline, välja arvatud see, mida on juba esikohaks kasutatud. Seetõttu on iga juba leitud N valiku jaoks (N - 1) teise koha valik ja kombinatsioonide koguarvuks saab N*(N - 1).
Sama võib korrata ka sarja ülejäänud elementide puhul. Kõige viimase koha jaoks on jäänud vaid üks võimalus – viimane allesjäänud element. Eelviimase jaoks - kaks võimalust ja nii edasi.
Seetõttu on N mittekorduva elemendi jada korral võimalikud permutatsioonid võrdsed kõigi täisarvude korrutisega 1 kuni N. Seda korrutist nimetatakse N faktoriaaliks ja seda tähistatakse N-ga! (loe "en faktorial").

Eelmisel juhul langesid võimalike elementide arv ja seeria kohtade arv kokku ning nende arv oli võrdne N-ga. Kuid on võimalik olukord, kus seerias on vähem kohti kui võimalikke elemente. Teisisõnu, valimi elementide arv on võrdne mõne arvuga M ja M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Esiteks võib osutuda vajalikuks kokku lugeda võimalike viiside koguarv, kuidas M elementi N-st saab järjestada. Selliseid viise nimetatakse paigutusteks.
Teiseks võib uurijat huvitada mitmel viisil, kuidas M elementi saab N hulgast valida. Sel juhul pole elementide järjekord enam oluline, vaid suvalised kaks valikut peavad üksteisest vähemalt ühe elemendi võrra erinema. . Selliseid meetodeid nimetatakse kombinatsioonideks.

M-elementide paigutuste arvu leidmiseks N-st võib kasutada sama arutlusviisi nagu permutatsioonide puhul. Esiteks võib ikkagi olla N elementi, teises (N - 1) jne. Kuid viimase koha puhul ei ole võimalike valikute arv üks, vaid (N - M + 1), sest paigutuse lõppedes jääb veel kasutamata elemente (N - M).
Seega on paigutuste arv üle M elemendi N-st võrdne kõigi täisarvude korrutisega (N - M + 1) kuni N või samaväärselt jagatisega N!/(N - M)!.

Ilmselgelt on N-st pärit M elemendi kombinatsioonide arv väiksem kui paigutuste arv. Iga võimaliku kombinatsiooni jaoks on M! võimalikud paigutused sõltuvalt selle kombinatsiooni elementide järjestusest. Seetõttu peate selle arvu leidmiseks jagama N-st pärit M elemendi paigutuste arvu N-ga!. Teisisõnu, N-st pärinevate M elementide kombinatsioonide arv on N!/(M!*(N - M)!).

KOMBINAtoorium

Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib teatud põhihulgast elementide valimise ja järjestamise probleeme vastavalt etteantud reeglitele. Kombinatoorika valemeid ja põhimõtteid kasutatakse tõenäosusteoorias juhuslike sündmuste tõenäosuse arvutamiseks ja vastavalt juhuslike suuruste jaotusseaduste saamiseks. See omakorda võimaldab uurida massiliste juhuslike nähtuste seaduspärasusi, mis on väga oluline looduses ja tehnikas avalduvate statistiliste seaduste õigeks mõistmiseks.

Kombinatoorika liitmise ja korrutamise reeglid

Summereegel. Kui kaks toimingut A ja B on üksteist välistavad ning toimingut A saab sooritada m ja B n viisil, siis saab mis tahes neist toimingutest (kas A või B) sooritada n + m viisil.

Näide 1

Klassis on 16 poissi ja 10 tüdrukut. Mitmel viisil saab ühte saatjat määrata?

Lahendus

Valvesse saab määrata kas poisi või tüdruku, s.t. 16 poisist või 10 tüdrukust võivad olla valves kõik.

Summareegli järgi saame, et ühele korrapidajale saab määrata 16+10=26 teed.

Toote reegel. Olgu nõutav k toimingu järjestikuse sooritamine. Kui esimest toimingut saab sooritada n 1 viisil, teist toimingut n 2 viisil, kolmandat n 3 viisil ja nii edasi kuni k-nda toiminguni, mida saab teha n k viisil, siis saab kõiki k toimingut koos teha esines:

viise.

Näide 2

Klassis on 16 poissi ja 10 tüdrukut. Mitmel viisil saab määrata kahte saatjat?

Lahendus

Esimene töölkäija võib olla kas poiss või tüdruk. Sest klassis on 16 poissi ja 10 tüdrukut, siis saate määrata esimese korrapidaja 16 + 10 = 26 viisil.

Pärast seda, kui oleme valinud esimese korrapidaja, saame ülejäänud 25 inimese hulgast valida teise, s.o. 25 viisi.

Korrutusteoreemi järgi saab valida kaks saatjat 26*25=650 viisil.

Kombinatsioonid ilma kordusteta. Kombinatsioonid kordustega

Klassikaline kombinatoorika probleem on kordusteta kombinatsioonide arvu probleem, mille sisu saab väljendada küsimusega: kui palju viise Saab vali m kaugusel n erinevat eset?

Näide 3

Kingituseks tuleb valida 10 erinevast raamatust 4. Kui mitmel viisil saab seda teha?

Lahendus

Peame 10-st raamatust valima 4 ja valiku järjekord ei oma tähtsust. Seega peate leidma 10 elemendi kombinatsioonide arvu 4 võrra:

.

Mõelge kordustega kombinatsioonide arvu probleemile: on olemas r identset objekti, iga n erinevat tüüpi; kui palju viise Saab vali m() of need (n*r) üksusi?

.

Näide 4

Kondiitripoes müüdi 4 sorti kooke: napoleonid, ekleerid, purukook ja lehtkook. Mitmel viisil saab osta 7 kooki?

Lahendus

Sest 7 koogi hulgas võib olla sama sorti kooke, siis 7 koogi ostmise viiside arv määratakse kordustega 7 kuni 4 kombinatsioonide arvu järgi.

.

Paigutused ilma kordusteta. Paigutused kordustega

Klassikaline kombinatoorika probleem on kordusteta paigutuste arvu probleem, mille sisu saab väljendada küsimusega: kui palju viise Saab vali Ja koht Kõrval m erinev kohad m kaugusel n erinev esemed?

Näide 5

Mõnes ajalehes on 12 lehekülge. Selle ajalehe lehtedele on vaja paigutada neli fotot. Kui mitmel viisil saab seda teha, kui ühelgi ajalehe leheküljel ei tohi olla rohkem kui üks foto?

Lahendus.

Selle ülesande puhul ei vali me lihtsalt fotosid, vaid asetame need ajalehe teatud lehtedele ja igal ajalehe lehel ei tohi olla rohkem kui ühte fotot. Seega on probleem taandatud klassikalisele probleemile, mille kohaselt määratakse paigutuste arv ilma kordusteta 12 elemendist nelja elemendi võrra:

Seega saab 12 leheküljel 4 fotot järjestada 11880 viisil.

Samuti on kombinatoorika klassikaliseks ülesandeks kordustega paigutuste arvu probleem, mille sisu saab väljendada küsimusega: kui palju viise Saab Sinabarmee Ja koht Kõrval m erinev kohad m kaugusel n esetKoosredi mis Seal on sama?

Näide 6

Poisil olid lauamängu komplektist kaasas templid numbritega 1, 3 ja 7. Ta otsustas nende templite abil panna kõikidele raamatutele viiekohalised numbrid – koostada kataloog. Mitu erinevat viiekohalist numbrit suudab poiss teha?

Permutatsioonid ilma kordusteta. Permutatsioonid kordustega

Klassikaline kombinatoorika probleem on kordusteta permutatsioonide arvu probleem, mille sisu saab väljendada küsimusega: kui palju viise Saab koht n mitmesugused esemed peal n erinev kohad?

Näide 7

Mitu neljatähelist "sõna" saab teha sõna "abielu" tähtedest?

Lahendus

Üldine komplekt on 4 sõna "abielu" tähte (b, p, a, k). "Sõnade" arv on määratud nende 4 tähe permutatsioonidega, st.

Juhul, kui valitud n elemendi hulgas on samad (valik tagastusega), saab kordustega permutatsioonide arvu probleemi väljendada küsimusega: Mitmel viisil saab n objekti ümber paigutada n erinevas kohas, kui n objekti hulgas on k erinevat tüüpi (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Näide 8

Mitu erinevat tähekombinatsiooni saab teha sõna "Mississippi" tähtedest?

Lahendus

Seal on 1 täht "m", 4 tähte "i", 3 tähte "c" ja 1 täht "p", kokku 9 tähte. Seetõttu on kordustega permutatsioonide arv

TAUSTKOKKUVÕTE JAOTISE "KOMBINAATOORIKA" kohta

Sõbrad! Kuna mul on see surnud märkmik juba olemas, küsin selle abil teie käest probleemi, millega kolm füüsikut, kaks majandusteadlast, üks polütehnikumist ja üks humanitaarteadustest, eile maadelsid. Me murdsime kogu oma aju ja saame pidevalt erinevaid tulemusi. Võib-olla on teie seas programmeerijaid ja matemaatilisi geeniusi, pealegi on probleem üldiselt koolis ja väga lihtne, meil pole lihtsalt valemit. Sest me loobusime täppisteadustest ja millegipärast kirjutame selle asemel raamatuid ja joonistame pilte. Vabandust.

Niisiis, tagalugu.

Mulle anti uus pangakaart ja nagu ikka, arvasin vaevata ära selle pin-koodi. Aga mitte järjest. Ütleme nii, et PIN-kood oli 8794 ja ma helistasin 9748. See tähendab, et ma võidukalt arvas ära kõik numbrid sisaldub antud neljakohalises numbris. Nojah, mitte ainult number, aga lihtsalt selle komponendid aadressil imestas. Kuid kõik numbrid on tõesed! MÄRKUS - tegutsesin juhuslikult, st ma ei pidanud juba teadaolevaid numbreid õigesse järjekorda panema, vaid tegutsesin vaimus: siin on neli minu jaoks tundmatut numbrit ja ma usun, et nende hulgas võib olla olla 9, 7, 4 ja 8 ning nende järjekord pole oluline. Küsisime endalt kohe Mitu võimalust mul oli(ilmselt selleks, et aru saada, kui lahe see on, et võtsin kätte ja arvasin ära). See tähendab, mitme nelja numbri kombinatsiooni vahel pidin valima? Ja siis algas muidugi põrgu. Meie pead plahvatasid terve õhtu ja kõik jõudsid selle tulemusel täiesti erinevate vastusteni! Hakkasin isegi kõiki neid kombinatsioone järjest kasvades märkmikusse kirjutama, aga neljasaja juures sain aru, et neid on üle neljasaja (igatahes lükkas see ümber füüsik Thrashi vastuse, kes mulle kinnitas, et seal oli nelisada kombinatsiooni, kuid siiski pole see päris selge) - ja andis alla.

tegelikult küsimuse olemus. Kui suur on tõenäosus arvata (mis tahes järjekorras) neljakohalises numbris sisalduvad neli numbrit?

Või mitte, sõnastame ümber (olen humanist, vabandust, kuigi mul oli matemaatika suhtes alati tohutu nõrkus), et see oleks selgem ja selgem. Kui palju ei kordu numbrikombinatsioonid, mis sisalduvad järgarvude reas vahemikus 0 kuni 9999? ( palun ärge ajage seda segamini küsimusega "mitu kombinatsiooni ei kordu numbrid"!!! numbreid saab korrata! Ma mõtlen, et 2233 ja 3322 on antud juhul sama kombinatsioon!!).

Või täpsemalt. Ma pean ära arvama ühe arvu kümnest neljast korrast. Aga mitte järjest.

No või midagi muud. Üldiselt peate välja selgitama, kui palju valikuid mul oli numbrikombinatsioonil, mis moodustas kaardi PIN-koodi. Aidake, head inimesed! Lihtsalt palun, aidake, ärge hakake kohe kirjutama, et nende jaoks on 9999 varianti(eile tuli see kõigile esmalt meelde) sest see on jama – meid murettekitavas perspektiivis on ju number 1234, number 3421, number 4312 ja nii edasi üks ja see sama! No jah, numbreid võib korrata, sest seal on pin-kood 1111 või seal näiteks 0007. Pin koodi asemel võib ette kujutada autonumbrit. Oletame, kui suur on tõenäosus arvata ära kõik auto numbri moodustavad üksiknumbrid? Või selleks, et tõenäosusteooria üldse ära kaotada – mitme numbrikombinatsiooni hulgast pidin ühe valima?

Palun toetage oma vastuseid ja põhjendusi mõne täpse valemiga, sest eile kaotasime peaaegu mõistuse. Suur tänu juba ette kõigile!

P.S. Üks tark inimene, programmeerija, kunstnik ja leiutaja, pakkus lihtsalt väga õigesti probleemile õige lahenduse, andes mulle mõne minuti suurepärase tuju: " probleemi lahendus on järgmine: tal on obsessiiv-kompulsiivne häire, ravi on järgmine: abielluge ja tomateid külvake. Kui ma oleksin tema asemel, ei muretseks mind rohkem mitte küsimus "mis on tõenäosus", vaid küsimus "kas ma pööran kõigile neile numbritele tähelepanu"?Üldiselt pole midagi lisada :)

Allolev kalkulaator on loodud kõigi n x m elementide kombinatsioonide genereerimiseks.
Selliste kombinatsioonide arvu saab arvutada Combinatorics elementide kalkulaatori abil. Permutatsioonid, paigutused, kombinatsioonid.

Kalkulaatori all oleva genereerimisalgoritmi kirjeldus.

Algoritm

Kombinatsioonid genereeritakse leksikograafilises järjekorras. Algoritm töötab hulga elementide järguindeksitega.
Vaatleme algoritmi näitega.
Esitamise hõlbustamiseks kaaluge viiest elemendist koosnevat komplekti, mille indeksid algavad 1-ga, nimelt 1 2 3 4 5.
Tuleb luua kõik kombinatsioonid suurusega m = 3.
Esmalt initsialiseeritakse etteantud suurusega m esimene kombinatsioon – indeksid kasvavas järjekorras
1 2 3
Järgmisena kontrollitakse viimast elementi, st i = 3. Kui selle väärtus on väiksem kui n - m + i, siis suurendatakse seda 1 võrra.
1 2 4
Viimast elementi kontrollitakse uuesti ja seda suurendatakse uuesti.
1 2 5
Nüüd on elemendi väärtus võrdne maksimaalse võimalikuga: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, kontrollitakse eelmist elementi, mille i = 2.
Kui selle väärtus on väiksem kui n - m + i, siis suurendatakse seda 1 võrra ja kõigi sellele järgnevate elementide puhul on väärtus võrdne eelmise elemendi väärtusega pluss 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Seejärel kontrollime uuesti, kas i = 3.
1 3 5
Seejärel kontrollige, kas i = 2.
1 4 5
Siis tuleb pööre i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
Ja edasi,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - viimane kombinatsioon, kuna kõik selle elemendid on võrdsed n - m + i.

Vaatamata PIN-koodide olulisele rollile maailma infrastruktuuris, ei ole seni tehtud akadeemilisi uuringuid selle kohta, kuidas inimesed tegelikult PIN-koode valivad.

Cambridge'i ülikooli teadlased Sören Preibusch ja Ross Anderson parandasid olukorra, avaldades maailmas esimese kvantitatiivse analüüsi 4-kohalise panga PIN-koodi äraarvamise raskuste kohta.

Pangavälistest allikatest ja veebiküsitlustest saadud paroolilekete andmeid kasutades leidsid teadlased, et kasutajad võtavad PIN-koodide valikut palju tõsisemalt kui veebisaitide paroolide valikut: enamik koode sisaldab peaaegu juhuslikku numbrite komplekti. Sellegipoolest on algandmete hulgas nii lihtsaid kombinatsioone kui ka sünnipäevi - see tähendab, et mõne õnne korral võib ründaja ihaldatud koodi lihtsalt ära arvata.

Uuringu lähtepunktiks oli 4-kohaliste paroolijadade komplekt RockYou andmebaasist (1,7 miljonit) ja iPhone'i ekraaniluku programmi 200 tuhande PIN-koodi andmebaas (andmebaasi andis rakenduste arendaja Daniel Amitay) . Nendele andmetele koostatud graafikud näitavad huvitavaid mustreid – kuupäevi, aastaid, korduvaid numbreid ja isegi PIN-koode, mis lõppevad numbriga 69. Nende tähelepanekute põhjal koostasid teadlased lineaarse regressioonimudeli, mis hindab iga PIN-koodi populaarsust sõltuvalt 25 faktorist, nagu näiteks: kas kood on kuupäev DDMM-vormingus, kas see on tõusev jada jne. Nendele üldtingimustele vastavad 79% ja 93% iga komplekti PIN-koodidest.

Seega valivad kasutajad 4-kohalised koodid vaid mõne lihtsa teguri põhjal. Kui panga PIN-koodid oleks niimoodi valitud, võis neist 8-9% ära arvata vaid kolmel katsel! Kuid loomulikult on inimesed pangakoodide suhtes palju tähelepanelikumad. Suure hulga tegelike pangandusandmete puudumisel küsitlesid teadlased enam kui 1300 inimest, et hinnata, kuidas tegelikud PIN-koodid erinevad juba kaalutletutest. Arvestades uuringu spetsiifikat, ei küsitud vastajatelt koodide endi kohta, vaid ainult nende vastavuse kohta mõnele ülaltoodud faktorile (kasv, DDMM-i formaat jne).

Selgus, et inimesed on tõesti panga PIN-koodide valikul palju hoolikamad. Ligikaudu veerand vastajatest kasutab juhuslikku panga genereeritud PIN-koodi. Rohkem kui kolmandik valib oma PIN-koodi vana telefoninumbri, õpilase ID numbri või mõne muu juhusliku välimusega numbrikomplekti abil. Tulemuste järgi kasutab pseudojuhuslikku PIN-koodi 64% kaardiomanikest, mis on varasemate pangaväliste koodidega tehtud katsetest tunduvalt rohkem kui 23-27%. Veel 5% kasutab numbrimustrit (nt 4545) ja 9% eelistab klaviatuurimustrit (nt 2684). Üldjuhul on kuue katsega (kolm sularahaautomaadi ja kolm makseterminaliga) ründajal vähem kui 2% võimalus arvata ära kellegi teise kaardi PIN-kood.

100 populaarseimat PIN-koodi

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

P.S. Praktikas on ründajal muidugi palju lihtsam teie PIN-koodi luurata, kui seda ära arvata. Kuid võite end ka piilumise eest kaitsta - isegi näib, et lootusetus olukorras:

Kombinatoorika on matemaatika haru, mis uurib küsimusi selle kohta, kui palju erinevaid kombinatsioone saab teatud tingimustel teha antud objektidest. Kombinatoorika põhitõed on juhuslike sündmuste tõenäosuste hindamisel väga olulised, sest just need võimaldavad arvutada sündmuste arengu erinevate stsenaariumide põhimõtteliselt võimaliku arvu.

Kombinatoorika põhivalem

Olgu elemente k rühma ja i-s rühm koosneb n i elemendist. Valime igast rühmast ühe elemendi. Siis määratakse sellise valiku tegemise viiside koguarv N seosega N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Näide 1 Selgitame seda reeglit lihtsa näitega. Olgu kaks elementide rühma, esimene rühm koosneb n 1 elemendist ja teine ​​- n 2 elemendist. Mitu erinevat elemendipaari saab nendest kahest rühmast teha nii, et paar sisaldaks igast rühmast ühte elementi? Oletame, et võtsime esimesest rühmast esimese elemendi ja, muutmata seda, käisime läbi kõik võimalikud paarid, muutes ainult teise rühma elemente. Selle elemendi jaoks on n 2 sellist paari. Seejärel võtame esimesest rühmast teise elemendi ja teeme selle jaoks ka kõik võimalikud paarid. Samuti tuleb n 2 sellist paari. Kuna esimeses rühmas on ainult n 1 elementi, on võimalikke valikuid n 1 *n 2.

Näide 2 Mitu kolmekohalist paarisarvu saab numbritest 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 teha, kui numbrid on korduvad?
Lahendus: n 1 \u003d 6 (kuna esimeseks numbriks võite võtta mis tahes numbri 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 \u003d 7 (kuna teiseks numbriks võite võtta mis tahes numbri alates 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (kuna kolmanda numbrina võite võtta mis tahes numbri 0, 2, 4, 6).
Niisiis, N = n 1 * n 2 * n 3 = 6 * 7 * 4 = 168.

Juhul, kui kõik rühmad koosnevad samast arvust elementidest, s.o. n 1 =n 2 =...n k =n võib eeldada, et iga valik tehakse samast grupist ja element naaseb peale valikut rühma. Siis on kõigi valikuviiside arv võrdne n k . Sellist kombinatoorika valikuviisi nimetatakse proovid tagastada.

Näide 3 Mitu neljakohalist arvu saab arvudest 1, 5, 6, 7, 8 teha?
Lahendus. Neljakohalise arvu iga numbri jaoks on viis võimalust, seega N=5*5*5*5=5 4 =625.

Vaatleme hulka, mis koosneb n elemendist. Seda komplekti kombinatoorikas nimetatakse üldine elanikkond.

Paigutuste arv n elemendist m võrra

Definitsioon 1. Majutus alates n elemendid poolt m kombinatoorikas nimetatakse mistahes tellitud komplekt alates m mitmesugused elemendid, mis on valitud üldpopulatsioonist aastal n elemendid.

Näide 4 Kolme elemendi (1, 2, 3) kahekaupa erinevad paigutused on komplektid (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2). Paigutused võivad üksteisest erineda nii elementide kui ka järjestuse poolest.

Paigutuste arv kombinatoorikas on tähistatud tähega A n m ja arvutatakse järgmise valemiga:

Kommentaar: n!=1*2*3*...*n (loe: "en faktoriaal"), lisaks eeldatakse, et 0!=1.

Näide 5. Mitu kahekohalist arvu on, milles kümnend ja ühikute arv on erinevad ja paaritud?
Lahendus: sest seal on viis paaritut numbrit, nimelt 1, 3, 5, 7, 9, siis taandub see probleem viiest erinevast numbrist kahe valimiseks ja paigutamiseks kahele erinevale positsioonile, st. antud numbrid on järgmised:

Definitsioon 2. Kombinatsioon alates n elemendid poolt m kombinatoorikas nimetatakse mistahes tellimata komplekt alates m mitmesugused elemendid, mis on valitud üldpopulatsioonist aastal n elemendid.

Näide 6. Komplekti (1, 2, 3) jaoks on kombinatsioonid (1, 2), (1, 3), (2, 3).

N elemendi kombinatsioonide arv m võrra

Kombinatsioonide arv on tähistatud tähega C n m ja arvutatakse järgmise valemiga:

Näide 7 Kui mitmel viisil saab lugeja kuuest saadaolevast raamatust kaks valida?

Lahendus: Võimaluste arv võrdub kuue raamatu kombinatsioonide arvuga kahega, s.o. võrdub:

N elemendi permutatsioonid

Definitsioon 3. Permutatsioon alates n elemente nimetatakse mis tahes tellitud komplekt need elemendid.

Näide 7a. Kolmest elemendist (1, 2, 3) koosneva hulga kõikvõimalikud permutatsioonid on: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

N elemendi erinevate permutatsioonide arv on tähistatud P n-ga ja arvutatakse valemiga P n =n!.

Näide 8 Kui mitmel viisil saab seitset eri autorite raamatut riiulil ritta paigutada?

Lahendus: see probleem on seotud seitsme erineva raamatu permutatsioonide arvuga. Raamatute paigutamiseks on P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 võimalust.

Arutelu. Näeme, et võimalike kombinatsioonide arvu saab arvutada erinevate reeglite järgi (permutatsioonid, kombinatsioonid, paigutused) ja tulemus on erinev, sest loendamise põhimõte ja valemid ise on erinevad. Definitsioone tähelepanelikult vaadates on näha, et tulemus sõltub korraga mitmest tegurist.

Esiteks, mitme elemendi põhjal saame nende hulki kombineerida (kui suur on elementide üldpopulatsioon).

Teiseks sõltub tulemus sellest, millise suurusega elementide komplekte me vajame.

Lõpuks on oluline teada, kas elementide järjekord komplektis on meie jaoks oluline. Selgitame viimast tegurit järgmise näitega.

Näide 9 Lastevanemate koosolekul on 20 inimest. Kui palju erinevaid variante on lastevanemate komisjoni koosseisus, kui sinna peaks kuuluma 5 inimest?
Lahendus: Selles näites ei huvita meid komisjonide nimekirjas olevate nimede järjekord. Kui selle tulemusena ilmuvad selle koosseisus samad inimesed, siis meie jaoks on see tähenduse poolest sama variant. Seetõttu saame arvu arvutamiseks kasutada valemit kombinatsioonid 20 elemendist 5.

Asjad on teisiti, kui iga komitee liige vastutab algselt teatud töövaldkonna eest. Siis on sama komitee palgal selle sees 5 võimalik! valikuid permutatsioonid see asi. Erinevate (nii koosseisu kui ka vastutusala poolest) valikute arvu määrab sel juhul arv paigutused 20 elemendist 5.

Enesekontrolli ülesanded
1. Mitu kolmekohalist paarisarvu saab arvudest 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 teha, kui arve saab korrata?
Sest paarisarv kolmandal kohal võib olla 0, 2, 4, 6, s.o. neli numbrit. Teine koht võib olla ükskõik milline seitsmest numbrist. Esimene koht võib olla ükskõik milline seitsmest numbrist peale nulli, st. 6 võimalust. Tulemus =4*7*6=168.
2. Mitu viiekohalist numbrit on samamoodi vasakult paremale ja paremalt vasakule?
Esikohal võib olla suvaline arv peale 0, s.t. 9 võimalust. Teine koht võib olla suvaline arv, s.t. 10 võimalust. Kolmas koht võib olla ka suvaline number alates, s.t. 10 võimalust. Neljas ja viies number on ette määratud, need langevad kokku esimese ja teisega, seetõttu on selliste numbrite arv 9*10*10=900.
3. Klassis on kümme ainet ja viis tundi päevas. Kui mitmel viisil saate ühe päeva ajakava koostada?

4. Mitmel viisil saab konverentsile valida 4 delegaati, kui rühmas on 20 inimest?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Mitmel viisil saab kaheksa erinevat tähte panna kaheksasse erinevasse ümbrikusse, kui igasse ümbrikusse on pandud ainult üks täht?
Esimesse ümbrikusse saab panna 1 tähe kaheksast, teise seitsmest allesjäänud tähest, kolmandasse kuuest jne. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Kolmest matemaatikust ja kümnest majandusteadlasest on vaja teha komisjon, mis koosneb kahest matemaatikust ja kuuest majandusteadlasest. Kui mitmel viisil saab seda teha?