Κατασκευή κανονικού πενταγώνου. Τεχνικό σχέδιο. Κατασκευή κανονικών πολυγώνων Σχέδιο κανονικού πενταγώνου

Αυτό το σχήμα είναι ένα πολύγωνο με τον ελάχιστο αριθμό γωνιών που δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την τοποθέτηση πλακιδίων σε μια περιοχή. Μόνο ένα πεντάγωνο έχει τον ίδιο αριθμό διαγωνίων με τις πλευρές του. Χρησιμοποιώντας τους τύπους για ένα αυθαίρετο κανονικό πολύγωνο, μπορείτε να προσδιορίσετε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους που έχει το πεντάγωνο. Για παράδειγμα, εγγράψτε το σε κύκλο με δεδομένη ακτίνα ή κατασκευάστε το με βάση μια δεδομένη πλευρική πλευρά.

Πώς να σχεδιάσετε σωστά μια δοκό και τι προμήθειες σχεδίασης θα χρειαστείτε; Πάρτε ένα κομμάτι χαρτί και σημειώστε μια κουκκίδα οπουδήποτε. Στη συνέχεια, συνδέστε έναν χάρακα και τραβήξτε μια γραμμή από το υποδεικνυόμενο σημείο μέχρι το άπειρο. Για να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή, πατήστε το πλήκτρο "Shift" και σχεδιάστε μια γραμμή του επιθυμητού μήκους. Αμέσως μετά τη σχεδίαση, θα ανοίξει η καρτέλα "Μορφοποίηση". Καταργήστε την επιλογή της γραμμής και θα δείτε ότι μια κουκκίδα έχει εμφανιστεί στην αρχή της γραμμής. Για να δημιουργήσετε μια επιγραφή, κάντε κλικ στο κουμπί "Σχεδίαση επιγραφής" και δημιουργήστε ένα πεδίο όπου θα βρίσκεται η επιγραφή.

Ο πρώτος τρόπος κατασκευής ενός πενταγώνου θεωρείται πιο «κλασικός». Το σχήμα που προκύπτει θα είναι ένα κανονικό πεντάγωνο. Το δωδεκάγωνο δεν αποτελεί εξαίρεση, επομένως η κατασκευή του θα είναι αδύνατη χωρίς τη χρήση πυξίδας. Το έργο της κατασκευής ενός κανονικού πενταγώνου περιορίζεται στο έργο της διαίρεσης ενός κύκλου σε πέντε ίσα μέρη. Μπορείτε να σχεδιάσετε ένα πεντάγραμμο χρησιμοποιώντας τα πιο απλά εργαλεία.

Αγωνίστηκα για πολύ καιρό προσπαθώντας να το πετύχω και να βρω ανεξάρτητα αναλογίες και εξαρτήσεις, αλλά δεν τα κατάφερα. Αποδείχθηκε ότι υπάρχουν πολλές διαφορετικές επιλογές για την κατασκευή ενός κανονικού πενταγώνου, που αναπτύχθηκε από διάσημους μαθηματικούς. Το ενδιαφέρον σημείο είναι ότι αριθμητικά αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί μόνο κατά προσέγγιση ακριβώς, αφού θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν παράλογοι αριθμοί. Μπορεί όμως να λυθεί γεωμετρικά.

Διαίρεση κύκλων. Τα σημεία τομής αυτών των ευθειών με τον κύκλο είναι οι κορυφές του τετραγώνου. Σε κύκλο ακτίνας R (Βήμα 1) σχεδιάστε μια κατακόρυφη διάμετρο. Στο σημείο σύζευξης Ν μιας ευθείας και ενός κύκλου, η ευθεία εφάπτεται στον κύκλο.

Παραλαβή με μια λωρίδα χαρτιού

Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο Τ και ένα τετράγωνο 30Χ60°. Οι κορυφές ενός τέτοιου τριγώνου μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και ένα τετράγωνο με γωνίες 30 και 60 ° ή μόνο μία πυξίδα. Για να δημιουργήσετε την πλευρά 2-3, ρυθμίστε το τετράγωνο Τ στη θέση που φαίνεται από τις διακεκομμένες γραμμές και σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο σημείο 2, η οποία θα ορίσει την τρίτη κορυφή του τριγώνου. Σημειώνουμε το σημείο 1 στον κύκλο και το παίρνουμε ως μια από τις κορυφές του πενταγώνου. Συνδέουμε τις κορυφές που βρέθηκαν σε σειρά μεταξύ τους. Το επτάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί αντλώντας ακτίνες από τον πόλο F και μέσα από περιττές διαιρέσεις της κατακόρυφης διαμέτρου.

Και στην άλλη άκρη του νήματος, το μολύβι είναι στημένο και με εμμονή. Εάν ξέρετε πώς να σχεδιάζετε ένα αστέρι, αλλά δεν ξέρετε πώς να σχεδιάζετε ένα πεντάγωνο, σχεδιάστε ένα αστέρι με ένα μολύβι, στη συνέχεια συνδέστε τα παρακείμενα άκρα του αστεριού μεταξύ τους και, στη συνέχεια, σβήστε το ίδιο το αστέρι. Στη συνέχεια, βάλτε ένα φύλλο χαρτιού (είναι καλύτερα να το στερεώσετε στο τραπέζι με τέσσερα κουμπιά ή βελόνες). Καρφιτσώστε αυτές τις 5 λωρίδες σε ένα κομμάτι χαρτί με καρφίτσες ή βελόνες έτσι ώστε να παραμείνουν ακίνητες. Στη συνέχεια, κυκλώστε το πεντάγωνο που προκύπτει και αφαιρέστε αυτές τις λωρίδες από το φύλλο.

Για παράδειγμα, πρέπει να σχεδιάσουμε ένα πεντάκτινο αστέρι (πεντάγραμμο) για μια εικόνα για το σοβιετικό παρελθόν ή για το παρόν της Κίνας. Είναι αλήθεια ότι για αυτό πρέπει να μπορείτε να δημιουργήσετε ένα σχέδιο ενός αστεριού σε προοπτική. Ομοίως, θα μπορείτε να σχεδιάσετε μια φιγούρα με ένα μολύβι σε χαρτί. Πώς να σχεδιάσετε σωστά ένα αστέρι, ώστε να φαίνεται ομοιόμορφο και όμορφο, δεν θα απαντήσετε αμέσως.

Από το κέντρο, χαμηλώστε 2 ακτίνες στον κύκλο έτσι ώστε η γωνία μεταξύ τους να είναι 72 μοίρες (μοιρογνωμόνιο). Η διαίρεση ενός κύκλου σε πέντε μέρη πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας μια συνηθισμένη πυξίδα ή μοιρογνωμόνιο. Δεδομένου ότι ένα κανονικό πεντάγωνο είναι ένα από τα σχήματα που περιέχει τις αναλογίες της χρυσής τομής, ζωγράφοι και μαθηματικοί ενδιαφέρονται εδώ και πολύ καιρό για την κατασκευή του. Αυτές οι αρχές κατασκευής με τη χρήση πυξίδας και ευθείας διατυπώθηκαν στα Ευκλείδεια Στοιχεία.

Ένα κανονικό πεντάγωνο είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που σχηματίζεται από την τομή πέντε ευθειών που δημιουργούν πέντε πανομοιότυπες γωνίες. Αυτό το σχήμα ονομάζεται Πεντάγωνο. Το έργο των καλλιτεχνών σχετίζεται στενά με το πεντάγωνο - τα σχέδιά τους βασίζονται σε κανονικά γεωμετρικά σχήματα. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να ξέρετε πώς να φτιάξετε γρήγορα ένα πεντάγωνο.

Γιατί είναι ενδιαφέρον αυτό το σχήμα; Το κτίριο έχει σχήμα πεντάγωνου Υπουργείο Άμυνας των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής. Αυτό φαίνεται στις φωτογραφίες που τραβήχτηκαν από το ύψος της πτήσης. Στη φύση, δεν υπάρχουν κρύσταλλοι και πέτρες, το σχήμα των οποίων θα έμοιαζε με πεντάγωνο. Μόνο σε αυτό το σχήμα ο αριθμός των όψεων συμπίπτει με τον αριθμό των διαγωνίων.

Παράμετροι κανονικού πενταγώνου

Ένα ορθογώνιο πεντάγωνο, όπως κάθε σχήμα στη γεωμετρία, έχει τις δικές του παραμέτρους. Γνωρίζοντας τους απαραίτητους τύπους, μπορείτε να υπολογίσετε αυτές τις παραμέτρους, οι οποίες θα διευκολύνουν τη διαδικασία κατασκευής ενός πενταγώνου. Μέθοδοι και τύποι υπολογισμού:

• το άθροισμα όλων των γωνιών στα πολύγωνα είναι 360 μοίρες. Σε ένα κανονικό πεντάγωνο, όλες οι γωνίες είναι ίσες, αντίστοιχα, η κεντρική γωνία βρίσκεται με αυτόν τον τρόπο: 360/5 \u003d 72 μοίρες.
• η εσωτερική γωνία βρίσκεται με αυτόν τον τρόπο: 180*(n -2)/ n = 180*(5−2)/5 = 108 μοίρες. Το άθροισμα όλων των εσωτερικών γωνιών: 108*5 = 540 μοίρες.

Η πλευρά του πενταγώνου βρίσκεται χρησιμοποιώντας τις παραμέτρους που δίνονται ήδη στη δήλωση προβλήματος:

• εάν ένας κύκλος περιγράφεται γύρω από το πεντάγωνο και η ακτίνα του είναι γνωστή, η πλευρά βρίσκεται σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο: a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72/2) \ u003d 1,1756 * R.
• Εάν η ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο πεντάγωνο είναι γνωστή, τότε ο τύπος για τον υπολογισμό της πλευράς του πολυγώνου είναι: 2*r*tg (α/2) = 2*r*tg (α/2) = 1,453*r .
• Με μια γνωστή διαγώνιο του πενταγώνου, η πλευρά του υπολογίζεται ως εξής: a \u003d D / 1.618.

Η περιοχή του πενταγώνου, όπως και η πλευρά του, εξαρτάται από τις παραμέτρους που έχουν ήδη βρεθεί:

• χρησιμοποιώντας τη γνωστή ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου, η περιοχή βρίσκεται ως εξής: S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r.
• ο περιγεγραμμένος κύκλος γύρω από το πεντάγωνο σάς επιτρέπει να βρείτε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: S \u003d (n * R2 * sin α) / 2 \u003d 2,3776 * R2.
• ανάλογα με την πλευρά του πενταγώνου: S = (5*a2*tg 54°)/4 = 1,7205* a2.

Χτίζοντας το Πεντάγωνο

Μπορείτε να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο χρησιμοποιώντας έναν χάρακα και μια πυξίδα, με βάση έναν κύκλο που είναι εγγεγραμμένος σε αυτό ή σε μία από τις πλευρές.

Πώς να σχεδιάσετε ένα πεντάγωνο με βάση έναν εγγεγραμμένο κύκλο; Για να το κάνετε αυτό, εφοδιαστείτε με μια πυξίδα και έναν χάρακα και ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα:

1. Πρώτα πρέπει να σχεδιάσετε έναν κύκλο με κέντρο Ο και, στη συνέχεια, να επιλέξετε ένα σημείο πάνω του, Α - την κορυφή του πενταγώνου. Τραβιέται μια γραμμή από το κέντρο προς την κορυφή.
2. Στη συνέχεια κατασκευάζεται ένα τμήμα κάθετο στην ευθεία ΟΑ, το οποίο επίσης διέρχεται από το Ο - το κέντρο του κύκλου. Η τομή του με τον κύκλο υποδεικνύεται από το σημείο Β. Το τμήμα O.V. διχοτομείται από το σημείο C.
3. Το σημείο Γ θα γίνει το κέντρο ενός νέου κύκλου που διέρχεται από το Α. Το σημείο Δ είναι η τομή του με την ευθεία ΟΒ εντός των ορίων του πρώτου σχήματος.
4. Μετά από αυτό, ένας τρίτος κύκλος σύρεται μέσω του D, το κέντρο του οποίου είναι το σημείο A. Τέμνεται με το πρώτο σχήμα σε δύο σημεία, πρέπει να συμβολίζονται με τα γράμματα E και F.
5. Ο επόμενος κύκλος έχει το κέντρο του στο σημείο Ε και διέρχεται από το Α και η τομή του με τον αρχικό βρίσκεται στο νέο σημείο G.
6. Ο τελευταίος κύκλος σε αυτό το σχήμα σύρεται μέσα από ένα σημείο, το Α με κέντρο F. Το σημείο Η τοποθετείται στην τομή του με το αρχικό.
7. Στον πρώτο κύκλο, μετά από όλα τα βήματα που έγιναν, εμφανίστηκαν πέντε σημεία, τα οποία πρέπει να συνδέονται με τμήματα. Έτσι, λήφθηκε ένα κανονικό πεντάγωνο AE G H F.

Πώς να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο με διαφορετικό τρόπο; Με τη βοήθεια ενός χάρακα και μιας πυξίδας, το πεντάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί λίγο πιο γρήγορα. Για αυτό χρειάζεστε:

1. Πρώτα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια πυξίδα για να σχεδιάσετε έναν κύκλο, το κέντρο του οποίου είναι το σημείο Ο.
2. Σχεδιάζεται η ακτίνα ΟΑ - ένα τμήμα που απεικονίζεται σε κύκλο. Διχοτομείται από το σημείο Β.
3. Ένα τμήμα OS σχεδιάζεται κάθετα στην ακτίνα OA, τα σημεία B και C συνδέονται με μια ευθεία γραμμή.
4. Το επόμενο βήμα είναι να σχεδιάσετε το μήκος του τμήματος BC με μια πυξίδα στη διαμετρική γραμμή. Το σημείο Δ εμφανίζεται κάθετο στο τμήμα ΟΑ. Τα σημεία Β και Δ συνδέονται, σχηματίζοντας ένα νέο τμήμα.
5. Για να αποκτήσετε το μέγεθος της πλευράς του πενταγώνου, πρέπει να συνδέσετε τα σημεία C και D.
6. Το D με τη βοήθεια μιας πυξίδας μεταφέρεται σε κύκλο και υποδεικνύεται από το σημείο E. Συνδέοντας το E και το C, μπορείτε να πάρετε την πρώτη πλευρά ενός κανονικού πενταγώνου. Ακολουθώντας αυτήν την οδηγία, μπορείτε να μάθετε πώς να χτίζετε γρήγορα ένα πεντάγωνο με ίσες πλευρές, συνεχίζοντας να χτίζετε τις άλλες πλευρές του όπως η πρώτη.

Σε ένα πεντάγωνο με τις ίδιες πλευρές, οι διαγώνιοι είναι ίσες και σχηματίζουν ένα πεντάκτινο αστέρι, το οποίο ονομάζεται πεντάγραμμο. Η χρυσή τομή είναι η αναλογία του μεγέθους της διαγωνίου προς την πλευρά του πενταγώνου.

Το Πεντάγωνο δεν είναι κατάλληλο για πλήρη πλήρωση του αεροπλάνου. Η χρήση οποιουδήποτε υλικού σε αυτή τη μορφή αφήνει κενά ή σχηματίζει επικαλύψεις. Αν και φυσικοί κρύσταλλοι αυτής της μορφής δεν υπάρχουν στη φύση, όταν σχηματίζεται πάγος στην επιφάνεια λείων προϊόντων χαλκού, εμφανίζονται μόρια με τη μορφή πενταγώνου, τα οποία συνδέονται σε αλυσίδες.

Ο ευκολότερος τρόπος για να πάρετε ένα κανονικό πεντάγωνο από μια λωρίδα χαρτιού είναι να το δέσετε σε έναν κόμπο και να το πιέσετε λίγο προς τα κάτω. Αυτή η μέθοδος είναι χρήσιμη για γονείς παιδιών προσχολικής ηλικίας που θέλουν να μάθουν στα νήπια τους να αναγνωρίζουν γεωμετρικά σχήματα.

βίντεο

Δείτε πώς μπορείτε να σχεδιάσετε γρήγορα ένα πεντάγωνο.

Κατασκευή κανονικού εξαγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο.

Η κατασκευή ενός εξαγώνου βασίζεται στο γεγονός ότι η πλευρά του είναι ίση με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. Επομένως, για να χτίσετε, αρκεί να χωρίσετε τον κύκλο σε έξι ίσα μέρη και να συνδέσετε τα σημεία που βρέθηκαν μεταξύ τους.

Ένα κανονικό εξάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο Τ και ένα τετράγωνο 30Χ60°. Για να εκτελέσουμε αυτήν την κατασκευή, παίρνουμε την οριζόντια διάμετρο του κύκλου ως διχοτόμο των γωνιών 1 και 4, χτίζουμε τις πλευρές 1 - 6, 4 - 3, 4 - 5 και 7 - 2, μετά από την οποία σχεδιάζουμε τις πλευρές 5 - 6 και 3 - 2.

Οι κορυφές ενός τέτοιου τριγώνου μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και ένα τετράγωνο με γωνίες 30 και 60 ° ή μόνο μία πυξίδα. Εξετάστε δύο τρόπους για να κατασκευάσετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο.

Πρώτος τρόπος(Εικ. 61, α) βασίζεται στο γεγονός ότι και οι τρεις γωνίες του τριγώνου 7, 2, 3 περιέχουν 60 ° η καθεμία και η κατακόρυφη γραμμή που διασχίζεται από το σημείο 7 είναι και το ύψος και η διχοτόμος της γωνίας 1. η γωνία 0 - 1 - 2 είναι ίση με 30°, τότε για να βρείτε την πλευρά 1 - 2 αρκεί να κατασκευάσετε μια γωνία 30° από το σημείο 1 και την πλευρά 0 - 1. Για να το κάνετε αυτό, ορίστε το τετράγωνο Τ και το τετράγωνο όπως φαίνεται στο σχήμα, σχεδιάστε μια γραμμή 1 - 2, η οποία θα είναι μία από τις πλευρές του επιθυμητού τριγώνου. Για να δημιουργήσετε την πλευρά 2 - 3, ρυθμίστε το τετράγωνο Τ στη θέση που φαίνεται από τις διακεκομμένες γραμμές και σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στο σημείο 2, η οποία θα ορίσει την τρίτη κορυφή του τριγώνου.

Δεύτερος τρόποςβασίζεται στο γεγονός ότι αν φτιάξετε ένα κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο και στη συνέχεια συνδέσετε τις κορυφές του μέσω ενός, θα έχετε ένα ισόπλευρο τρίγωνο.

Για να φτιάξουμε ένα τρίγωνο, σημειώνουμε το σημείο κορυφής 1 στη διάμετρο και σχεδιάζουμε μια διαμετρική γραμμή 1 - 4. Περαιτέρω, από το σημείο 4 με ακτίνα ίση με D / 2, περιγράφουμε το τόξο μέχρι να τέμνεται με τον κύκλο στα σημεία 3 και 2. Τα σημεία που θα προκύψουν θα είναι δύο άλλες κορυφές του επιθυμητού τριγώνου.

Αυτή η κατασκευή μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο και μια πυξίδα.

Πρώτος τρόποςβασίζεται στο γεγονός ότι οι διαγώνιοι του τετραγώνου τέμνονται στο κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και έχουν κλίση προς τους άξονές του υπό γωνία 45°. Με βάση αυτό, εγκαθιστούμε ένα τετράγωνο Τ και ένα τετράγωνο με γωνίες 45 ° όπως φαίνεται στο Σχ. 62, α, και σημειώστε τα σημεία 1 και 3. Περαιτέρω, μέσα από αυτά τα σημεία, σχεδιάζουμε τις οριζόντιες πλευρές του τετραγώνου 4 - 1 και 3 -2 με τη βοήθεια ενός τετραγώνου Τ. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας ένα τετράγωνο Τ κατά μήκος του σκέλους του τετραγώνου, σχεδιάζουμε τις κάθετες πλευρές του τετραγώνου 1 - 2 και 4 - 3.

Δεύτερος τρόποςβασίζεται στο γεγονός ότι οι κορυφές του τετραγώνου διχοτομούν τα τόξα του κύκλου που περικλείονται μεταξύ των άκρων της διαμέτρου. Σημειώνουμε τα σημεία Α, Β και Γ στα άκρα δύο μεταξύ τους κάθετων διαμέτρων και από αυτά με ακτίνα y περιγράφουμε τα τόξα μέχρι να τέμνονται.

Περαιτέρω, μέσω των σημείων τομής των τόξων, σχεδιάζουμε βοηθητικές γραμμές, σημειωμένες στο σχήμα με συμπαγείς γραμμές. Τα σημεία τομής τους με τον κύκλο θα ορίσουν τις κορυφές 1 και 3. 4 και 2. Οι κορυφές του επιθυμητού τετραγώνου που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο συνδέονται σε σειρά μεταξύ τους.

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο.

Για να εγγράψουμε ένα κανονικό πεντάγωνο σε κύκλο, κάνουμε τις παρακάτω κατασκευές. Σημειώνουμε το σημείο 1 στον κύκλο και το παίρνουμε ως μια από τις κορυφές του πενταγώνου. Διαιρέστε το τμήμα AO στο μισό. Για να γίνει αυτό, με την ακτίνα AO από το σημείο Α, περιγράφουμε το τόξο στην τομή με τον κύκλο στα σημεία Μ και Β. Συνδέοντας αυτά τα σημεία με μια ευθεία γραμμή, παίρνουμε το σημείο Κ, το οποίο στη συνέχεια συνδέουμε στο σημείο 1. Με ακτίνα ίση με το τμήμα Α7, περιγράφουμε το τόξο από το σημείο Κ έως την τομή με τη διαμετρική γραμμή ΑΟ στο σημείο Η. Συνδέοντας το σημείο 1 με το σημείο Η, παίρνουμε την πλευρά του πενταγώνου. Στη συνέχεια, με ένα άνοιγμα πυξίδας ίσο με το τμήμα 1Η, που περιγράφει το τόξο από την κορυφή 1 έως την τομή με τον κύκλο, βρίσκουμε τις κορυφές 2 και 5. Έχοντας κάνει εγκοπές από τις κορυφές 2 και 5 με το ίδιο άνοιγμα πυξίδας, λαμβάνουμε το υπόλοιπο κορυφές 3 και 4. Συνδέουμε τα σημεία που βρέθηκαν διαδοχικά μεταξύ τους.

Κατασκευή κανονικού πενταγώνου δεδομένης της πλευράς του.

Για να κατασκευάσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο κατά μήκος της δεδομένης πλευράς του (Εικ. 64), διαιρούμε το τμήμα ΑΒ σε έξι ίσα μέρη. Από τα σημεία Α και Β με ακτίνα ΑΒ περιγράφουμε τόξα, η τομή των οποίων θα δώσει το σημείο Κ. Μέσα από αυτό το σημείο και διαίρεση 3 στην ευθεία ΑΒ χαράσσουμε μια κάθετη γραμμή. Περαιτέρω από το σημείο Κ σε αυτή την ευθεία, παραμερίζουμε ένα τμήμα ίσο με 4/6 ΑΒ. Παίρνουμε το σημείο 1 - την κορυφή του πενταγώνου. Στη συνέχεια, με ακτίνα ίση με ΑΒ, από το σημείο 1 περιγράφουμε το τόξο στη τομή με τα τόξα που σχεδιάστηκαν προηγουμένως από τα σημεία Α και Β. Τα σημεία τομής των τόξων καθορίζουν τις κορυφές του πενταγώνου 2 και 5. Συνδέουμε τα κορυφές σε σειρά μεταξύ τους.

Κατασκευή κανονικού επτάγωνου εγγεγραμμένου σε κύκλο.

Έστω ένας κύκλος διαμέτρου D. πρέπει να εγγράψετε ένα κανονικό επτάγωνο σε αυτό (Εικ. 65). Διαχωρίστε την κατακόρυφη διάμετρο του κύκλου σε επτά ίσα μέρη. Από το σημείο 7 με ακτίνα ίση με τη διάμετρο του κύκλου D, περιγράφουμε το τόξο μέχρι να τέμνεται με τη συνέχεια της οριζόντιας διαμέτρου στο σημείο F. Το σημείο F ονομάζεται πόλος του πολυγώνου. Λαμβάνοντας το σημείο VII ως μία από τις κορυφές του επτάγωνου, σχεδιάζουμε ακτίνες από τον πόλο F μέσω άρτιων διαιρέσεων της κατακόρυφης διαμέτρου, η τομή των οποίων με τον κύκλο θα καθορίσει τις κορυφές VI, V και IV του επτάγωνου. Για να λάβουμε κορυφές / - // - /// από τα σημεία IV, V και VI, σχεδιάζουμε οριζόντιες γραμμές μέχρι να τέμνονται με τον κύκλο. Συνδέουμε τις κορυφές που βρέθηκαν σε σειρά μεταξύ τους. Το επτάγωνο μπορεί να κατασκευαστεί αντλώντας ακτίνες από τον πόλο F και μέσα από περιττές διαιρέσεις της κατακόρυφης διαμέτρου.

Η παραπάνω μέθοδος είναι κατάλληλη για την κατασκευή κανονικών πολυγώνων με οποιοδήποτε αριθμό πλευρών.

Η διαίρεση ενός κύκλου σε οποιοδήποτε αριθμό ίσων μερών μπορεί επίσης να γίνει χρησιμοποιώντας τα δεδομένα στον Πίνακα. 2, το οποίο δείχνει τους συντελεστές που καθιστούν δυνατό τον προσδιορισμό των διαστάσεων των πλευρών των κανονικών εγγεγραμμένων πολυγώνων.

Μήκη πλευρών κανονικών εγγεγραμμένων πολυγώνων.

Η πρώτη στήλη αυτού του πίνακα δείχνει τον αριθμό των πλευρών ενός κανονικού εγγεγραμμένου πολυγώνου και η δεύτερη στήλη δείχνει τους συντελεστές. Το μήκος μιας πλευράς ενός δεδομένου πολυγώνου προκύπτει πολλαπλασιάζοντας την ακτίνα ενός δεδομένου κύκλου με έναν παράγοντα που αντιστοιχεί στον αριθμό των πλευρών αυτού του πολυγώνου.

Το επεξηγηματικό λεξικό του Ozhegov λέει ότι ένα πεντάγωνο είναι ένα οριοθετημένο από πέντε τεμνόμενες ευθείες που σχηματίζουν πέντε εσωτερικές γωνίες, καθώς και οποιοδήποτε αντικείμενο παρόμοιου σχήματος. Αν ένα δεδομένο πολύγωνο έχει όλες τις ίδιες πλευρές και γωνίες, τότε ονομάζεται κανονικό (πεντάγωνο).

Τι είναι ενδιαφέρον για ένα κανονικό πεντάγωνο;

Με αυτή τη μορφή χτίστηκε το γνωστό κτίριο του Υπουργείου Άμυνας των Ηνωμένων Πολιτειών. Από τα ογκώδη κανονικά πολύεδρα, μόνο το δωδεκάεδρο έχει όψεις πενταγώνου. Και στη φύση, οι κρύσταλλοι απουσιάζουν εντελώς, οι όψεις των οποίων θα έμοιαζαν με ένα κανονικό πεντάγωνο. Επιπλέον, αυτό το σχήμα είναι ένα πολύγωνο με ελάχιστο αριθμό γωνιών που δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την τοποθέτηση πλακιδίων σε μια περιοχή. Μόνο ένα πεντάγωνο έχει τον ίδιο αριθμό διαγωνίων με τις πλευρές του. Συμφωνώ, είναι ενδιαφέρον!

Βασικές ιδιότητες και τύποι

Χρησιμοποιώντας τους τύπους για ένα αυθαίρετο κανονικό πολύγωνο, μπορείτε να προσδιορίσετε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους που έχει το πεντάγωνο.

• Κεντρική γωνία α = 360 / n = 360/5 = 72°.
• Εσωτερική γωνία β = 180° * (n-2)/n = 180° * 3/5 = 108°. Αντίστοιχα, το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 540°.
• Ο λόγος της διαγωνίου προς την πλευρά είναι (1+√5)/2, δηλαδή (περίπου 1,618).
• Το μήκος της πλευράς που έχει ένα κανονικό πεντάγωνο μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας έναν από τους τρεις τύπους, ανάλογα με το ποια παράμετρος είναι ήδη γνωστή:

• εάν ένας κύκλος περιγράφεται γύρω του και η ακτίνα του R είναι γνωστή, τότε a = 2*R*sin (α/2) = 2*R*sin(72°/2) ≈1,1756*R;
• στην περίπτωση που ένας κύκλος με ακτίνα r εγγράφεται σε κανονικό πεντάγωνο, a = 2*r*tg(α/2) = 2*r*tg(α/2) ≈ 1,453*r;
• συμβαίνει αντί για ακτίνες να είναι γνωστή η τιμή της διαγωνίου D, τότε η πλευρά προσδιορίζεται ως εξής: a ≈ D / 1,618.

• Το εμβαδόν ενός κανονικού πενταγώνου προσδιορίζεται, πάλι, ανάλογα με την παράμετρο που γνωρίζουμε:
• εάν υπάρχει εγγεγραμμένος ή περιγεγραμμένος κύκλος, τότε χρησιμοποιείται ένας από τους δύο τύπους:

S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r ή S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,3776 * R 2;

• η περιοχή μπορεί επίσης να προσδιοριστεί, γνωρίζοντας μόνο το μήκος της πλευράς α:

S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.

Κανονικό πεντάγωνο: κατασκευή

Αυτό το γεωμετρικό σχήμα μπορεί να κατασκευαστεί με διαφορετικούς τρόπους. Για παράδειγμα, εγγράψτε το σε κύκλο με δεδομένη ακτίνα ή κατασκευάστε το με βάση μια δεδομένη πλευρική πλευρά. Η αλληλουχία των ενεργειών περιγράφηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη γύρω στο 300 π.Χ. Σε κάθε περίπτωση χρειαζόμαστε πυξίδα και χάρακα. Εξετάστε τη μέθοδο κατασκευής χρησιμοποιώντας έναν δεδομένο κύκλο.

1. Επιλέξτε μια αυθαίρετη ακτίνα και σχεδιάστε έναν κύκλο, σημειώνοντας το κέντρο του με το σημείο Ο.

2. Στην κυκλική γραμμή, επιλέξτε ένα σημείο που θα χρησιμεύσει ως μία από τις κορυφές του πενταγώνου μας. Έστω αυτό το σημείο Α. Συνδέστε τα σημεία Ο και Α με μια ευθεία γραμμή.

3. Σχεδιάστε μια ευθεία στο σημείο Ο κάθετο στην ευθεία ΟΑ. Σημειώστε το σημείο όπου αυτή η ευθεία τέμνεται με την κυκλική γραμμή ως σημείο Β.

4. Στη μέση της απόστασης μεταξύ των σημείων Ο και Β, χτίστε το σημείο Γ.

5. Τώρα σχεδιάστε έναν κύκλο, το κέντρο του οποίου θα είναι στο σημείο Γ και που θα διέρχεται από το σημείο Α. Η θέση της τομής του με την ευθεία ΟΒ (θα είναι μέσα στον πρώτο κιόλας κύκλο) θα είναι το σημείο Δ.

6. Κατασκευάστε έναν κύκλο που διέρχεται από το Δ, το κέντρο του οποίου θα είναι στο Α. Οι θέσεις της τομής του με τον αρχικό κύκλο πρέπει να σημειωθούν με τα σημεία Ε και ΣΤ.

7. Τώρα φτιάξτε έναν κύκλο, το κέντρο του οποίου θα είναι στο Ε. Πρέπει να το κάνετε έτσι ώστε να περάσει από το Α. Πρέπει να υποδεικνύεται η άλλη τομή του με τον αρχικό κύκλο

8. Τέλος, σχεδιάστε έναν κύκλο μέσω του A με κέντρο στο σημείο F. Σημειώστε μια άλλη τομή του αρχικού κύκλου με το σημείο H.

9. Τώρα μένει μόνο να συνδέσουμε τις κορυφές A, E, G, H, F. Το κανονικό μας πεντάγωνο θα είναι έτοιμο!

5.3. χρυσό πεντάγωνο? κατασκευή του Ευκλείδη.

Ένα υπέροχο παράδειγμα της «χρυσής τομής» είναι ένα κανονικό πεντάγωνο - κυρτό και σε σχήμα αστεριού (Εικ. 5).

Για να φτιάξετε ένα πεντάγραμμο, πρέπει να φτιάξετε ένα κανονικό πεντάγωνο.

Έστω Ο το κέντρο του κύκλου, Α ένα σημείο του κύκλου και Ε το μέσο του τμήματος ΟΑ. Η κάθετη στην ακτίνα ΟΑ, που αποκαταστάθηκε στο σημείο Ο, τέμνεται με τον κύκλο στο σημείο Δ. Χρησιμοποιώντας μια πυξίδα, σημειώστε το τμήμα CE = ED στη διάμετρο. Το μήκος μιας πλευράς ενός κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο είναι DC. Αφήνουμε στην άκρη τμήματα DC στον κύκλο και παίρνουμε πέντε βαθμούς για να σχεδιάσουμε ένα κανονικό πεντάγωνο. Συνδέουμε τις γωνίες του πενταγώνου μέσω μιας διαγώνιου και παίρνουμε ένα πεντάγραμμο. Όλες οι διαγώνιοι του πενταγώνου χωρίζονται μεταξύ τους σε τμήματα που συνδέονται με τη χρυσή τομή.

Κάθε άκρο του πενταγωνικού αστέρα είναι ένα χρυσό τρίγωνο. Οι πλευρές του σχηματίζουν γωνία 36° στην κορυφή και η βάση που βρίσκεται στο πλάι το χωρίζει αναλογικά με τη χρυσή τομή.

Υπάρχει επίσης ένα χρυσό κυβοειδές - αυτό είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με άκρες που έχουν μήκη 1.618, 1 και 0.618.

Τώρα εξετάστε την απόδειξη που προσφέρει ο Ευκλείδης στα Στοιχεία.

από το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου. Ας ξεκινήσουμε με

τμήμα ΑΒΕ, χωρισμένο στη μέση και

Έστω λοιπόν AC = AE. Να συμβολίσετε με α τις ίσες γωνίες EBC και CEB. Εφόσον AC=AE, η γωνία ACE είναι επίσης ίση με a. Το θεώρημα ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες σας επιτρέπει να βρείτε τη γωνία ALL: είναι 180-2a, και η γωνία EAC είναι 3a - 180. Αλλά τότε η γωνία ABC είναι 180-a. Συνοψίζοντας τις γωνίες του τριγώνου ABC, παίρνουμε

180=(3a -180) + (3a-180) + (180 - a)

Από όπου 5a=360, άρα a=72.

Έτσι, κάθε μία από τις γωνίες στη βάση του τριγώνου BEC είναι διπλάσια από τη γωνία στην κορυφή, ίση με 36 μοίρες. Επομένως, για να κατασκευαστεί ένα κανονικό πεντάγωνο, είναι απαραίτητο μόνο να σχεδιάσουμε οποιονδήποτε κύκλο με κέντρο στο σημείο Ε, που τέμνει EC στο σημείο X και πλευρά EB στο σημείο Y: το τμήμα XY είναι μία από τις πλευρές του κανονικού πενταγώνου που εγγράφεται στο κύκλος; Περνώντας σε ολόκληρο τον κύκλο, μπορείτε να βρείτε όλες τις άλλες πλευρές.

Αποδεικνύουμε τώρα ότι AC=AE. Έστω ότι η κορυφή C συνδέεται με ευθύγραμμο τμήμα με το μέσο Ν του τμήματος ΒΕ. Σημειώστε ότι εφόσον CB = CE, τότε η γωνία CNE είναι ορθή γωνία. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)

Άρα έχουμε (AC/a) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2

Άρα, AC = ja = jAB = AE, που έπρεπε να αποδειχθεί

5.4 Σπείρα του Αρχιμήδη.

Κόβοντας διαδοχικά τετράγωνα από χρυσά ορθογώνια στο άπειρο, κάθε φορά συνδέοντας αντίθετα σημεία με το ένα τέταρτο του κύκλου, έχουμε μια μάλλον κομψή καμπύλη. Την πρώτη προσοχή τράβηξε ο αρχαίος Έλληνας επιστήμονας Αρχιμήδης, το όνομα του οποίου φέρει. Το μελέτησε και συνήγαγε την εξίσωση αυτής της σπείρας.

Επί του παρόντος, η σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιείται ευρέως στην τεχνολογία.

6. Αριθμοί Fibonacci.

Το όνομα του Ιταλού μαθηματικού Λεονάρντο από την Πίζα, ο οποίος είναι περισσότερο γνωστός με το παρατσούκλι του Φιμπονάτσι (Φιμπονάτσι είναι συντομογραφία του filius Bonacci, δηλαδή ο γιος του Μπονάτσι), συνδέεται έμμεσα με τη χρυσή τομή.

Το 1202 έγραψε το βιβλίο «Liber abacci», δηλαδή «Το βιβλίο του άβακα». Το "Liber abacci" είναι ένα ογκώδες έργο που περιέχει σχεδόν όλες τις αριθμητικές και αλγεβρικές γνώσεις εκείνης της εποχής και έπαιξε σημαντικό ρόλο στην ανάπτυξη των μαθηματικών στη Δυτική Ευρώπη τους επόμενους αιώνες. Συγκεκριμένα, από αυτό το βιβλίο οι Ευρωπαίοι εξοικειώθηκαν με τους ινδουιστικούς ("αραβικούς") αριθμούς.

Το υλικό που αναφέρεται στο βιβλίο εξηγείται σε μεγάλο αριθμό προβλημάτων που αποτελούν σημαντικό μέρος αυτής της πραγματείας.

Σκεφτείτε ένα τέτοιο πρόβλημα:

Πόσα ζευγάρια κουνελιών γεννιούνται από ένα ζευγάρι σε ένα χρόνο;

Κάποιος τοποθέτησε ένα ζευγάρι κουνέλια σε ένα συγκεκριμένο μέρος, κλεισμένο από όλες τις πλευρές σε έναν τοίχο, για να μάθει πόσα ζευγάρια κουνελιών θα γεννηθούν κατά τη διάρκεια αυτού του έτους, εάν η φύση των κουνελιών είναι τέτοια που σε ένα μήνα ένα ζευγάρι τα κουνέλια θα αναπαράγουν ένα άλλο και τα κουνέλια γεννούν από τον δεύτερο μήνα μετά τη γέννησή τους».

Τώρα ας περάσουμε από τα κουνέλια στους αριθμούς και ας εξετάσουμε την ακόλουθη αριθμητική ακολουθία:

u 1 , u 2 … u n

στην οποία κάθε όρος είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων, δηλ. για οποιοδήποτε n>2

u n \u003d u n -1 + u n -2.

Αυτή η ακολουθία ασυμπτωτικά (προσεγγίζει όλο και πιο αργά) τείνει σε κάποια σταθερή σχέση. Ωστόσο, αυτός ο λόγος είναι παράλογος, είναι δηλαδή ένας αριθμός με άπειρη, απρόβλεπτη ακολουθία δεκαδικών ψηφίων στο κλασματικό μέρος. Δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς.

Εάν οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας Fibonacci διαιρεθεί με αυτό που προηγείται (για παράδειγμα, 13:8), το αποτέλεσμα θα είναι μια τιμή που κυμαίνεται γύρω από την παράλογη τιμή 1,61803398875... και μερικές φορές την υπερβαίνει, μερικές φορές δεν την φτάνει.

Η ασυμπτωτική συμπεριφορά της ακολουθίας, οι αποσβεσμένες διακυμάνσεις του λόγου της γύρω από έναν παράλογο αριθμό Φ μπορούν να γίνουν πιο κατανοητές αν δείξουμε τους λόγους αρκετών πρώτων όρων της ακολουθίας. Αυτό το παράδειγμα δείχνει τη σχέση του δεύτερου όρου με τον πρώτο, του τρίτου με τον δεύτερο, του τέταρτου με τον τρίτο και ούτω καθεξής:

1:1 = 1,0000, που είναι μικρότερο από το ph κατά 0,6180

2:1 = 2,0000, που είναι 0,3820 περισσότερο phi

3:2 = 1,5000, που είναι μικρότερο από το phi κατά 0,1180

5:3 = 1,6667, που είναι 0,0486 περισσότερο phi

8:5 = 1,6000, που είναι μικρότερο από το phi κατά 0,0180

Καθώς κινείστε κατά μήκος της αθροιστικής ακολουθίας Fibonacci, κάθε νέος όρος θα διαιρεί τον επόμενο με όλο και μεγαλύτερη προσέγγιση στο ανέφικτο F.

Ένα άτομο υποσυνείδητα αναζητά τη Θεία αναλογία: χρειάζεται για να ικανοποιήσει την ανάγκη του για άνεση.

Όταν διαιρούμε οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας Fibonacci με το επόμενο, παίρνουμε ακριβώς το αντίστροφο του 1,618 (1: 1,618=0,618). Αλλά αυτό είναι επίσης ένα πολύ ασυνήθιστο, ακόμη και αξιοσημείωτο φαινόμενο. Δεδομένου ότι ο αρχικός λόγος είναι ένα άπειρο κλάσμα, αυτός ο λόγος δεν πρέπει επίσης να έχει τέλος.

Διαιρώντας κάθε αριθμό με τον επόμενο μετά από αυτόν, παίρνουμε τον αριθμό 0,382

Επιλέγοντας τις αναλογίες με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνουμε το κύριο σύνολο των συντελεστών Fibonacci: 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236 Αναφέρουμε επίσης το 0,5. Όλοι αυτοί παίζουν ιδιαίτερο ρόλο στη φύση και ιδιαίτερα στην τεχνική ανάλυση.

Ας σημειωθεί εδώ ότι ο Φιμπονάτσι θύμισε στην ανθρωπότητα μόνο την ακολουθία του, αφού ήταν γνωστή στην αρχαιότητα με το όνομα Χρυσή Τομή.

Η χρυσή τομή, όπως είδαμε, προκύπτει σε σχέση με το κανονικό πεντάγωνο, επομένως οι αριθμοί Fibonacci παίζουν ρόλο σε οτιδήποτε έχει να κάνει με κανονικά πεντάγωνα - κυρτά και σε σχήμα αστεριού.

Η σειρά Fibonacci θα μπορούσε να είχε παραμείνει μόνο ένα μαθηματικό περιστατικό αν δεν υπήρχε το γεγονός ότι όλοι οι ερευνητές της χρυσής διαίρεσης στον κόσμο των φυτών και των ζώων, για να μην αναφέρουμε την τέχνη, κατέληξαν πάντα σε αυτήν τη σειρά ως αριθμητική έκφραση του νόμου της χρυσής διαίρεσης . Οι επιστήμονες συνέχισαν να αναπτύσσουν ενεργά τη θεωρία των αριθμών Fibonacci και τη χρυσή τομή. Ο Yu. Matiyasevich χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci λύνει το 10ο πρόβλημα του Hilbert (για τη λύση των εξισώσεων Διοφαντίνων). Υπάρχουν κομψές μέθοδοι για την επίλυση ενός αριθμού κυβερνητικών προβλημάτων (θεωρία αναζήτησης, παιχνίδια, προγραμματισμός) χρησιμοποιώντας αριθμούς Fibonacci και τη χρυσή τομή. Στις ΗΠΑ δημιουργείται ακόμη και η Mathematical Fibonacci Association, η οποία εκδίδει ειδικό περιοδικό από το 1963.

Ένα από τα επιτεύγματα σε αυτόν τον τομέα είναι η ανακάλυψη γενικευμένων αριθμών Fibonacci και γενικευμένων χρυσών αναλογιών. Η σειρά Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) και η «δυαδική» σειρά αριθμών που ανακάλυψε ο ίδιος 1, 2, 4, 8, 16 ... (δηλαδή μια σειρά αριθμών μέχρι το n , όπου οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μικρότερος από n μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ορισμένων αριθμών αυτής της σειράς) με την πρώτη ματιά, είναι εντελώς διαφορετικοί. Αλλά οι αλγόριθμοι για την κατασκευή τους είναι πολύ παρόμοιοι μεταξύ τους: στην πρώτη περίπτωση, κάθε αριθμός είναι το άθροισμα του προηγούμενου αριθμού με τον εαυτό του 2 = 1 + 1. 4 \u003d 2 + 2 ..., στο δεύτερο - αυτό είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων αριθμών 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Είναι δυνατόν να βρείτε έναν γενικό μαθηματικό τύπο από ποιον και " δυαδική σειρά, και τη σειρά Fibonacci;

Πράγματι, ας ορίσουμε μια αριθμητική παράμετρο S, η οποία μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε τιμές: 0, 1, 2, 3, 4, 5... διαχωρισμένες από την προηγούμενη με βήματα S. Αν συμβολίσουμε το nο μέλος αυτής της σειράς με S (n), τότε λαμβάνουμε τον γενικό τύπο S (n) = S (n - 1) + S (n - S - 1).

Προφανώς, με S = 0, από αυτόν τον τύπο θα πάρουμε μια «δυαδική» σειρά, με S = 1 - μια σειρά Fibonacci, με S = 2, 3, 4. νέες σειρές αριθμών, οι οποίοι ονομάζονται αριθμοί S-Fibonacci.

Σε γενικές γραμμές, η χρυσή αναλογία S είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης της χρυσής διατομής x S+1 – x S – 1 = 0.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι στο S = 0, προκύπτει η διαίρεση του τμήματος στο μισό, και στο S = 1, προκύπτει η γνωστή κλασική χρυσή αναλογία.

Οι αναλογίες των γειτονικών αριθμών S Fibonacci με απόλυτη μαθηματική ακρίβεια συμπίπτουν στο όριο με τις χρυσές αναλογίες S! Δηλαδή, οι χρυσές τομές S είναι αριθμητικές αναλλοίωτες των αριθμών S Fibonacci.

7. Χρυσή τομή στην τέχνη.

7.1. Χρυσή τομή στη ζωγραφική.

Περνώντας σε παραδείγματα της «χρυσής τομής» στη ζωγραφική, δεν μπορεί κανείς παρά να σταματήσει την προσοχή του στο έργο του Λεονάρντο ντα Βίντσι. Η ταυτότητά του είναι ένα από τα μυστήρια της ιστορίας. Ο ίδιος ο Λεονάρντο ντα Βίντσι είπε: «Κανείς που δεν είναι μαθηματικός να μην τολμήσει να διαβάσει τα έργα μου».

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ο Λεονάρντο ντα Βίντσι ήταν ένας σπουδαίος καλλιτέχνης, οι σύγχρονοί του το είχαν ήδη αναγνωρίσει, αλλά η προσωπικότητα και οι δραστηριότητές του θα παραμείνουν τυλιγμένες στο μυστήριο, αφού άφησε στους επόμενους όχι μια συνεκτική παρουσίαση των ιδεών του, αλλά μόνο πολλά χειρόγραφα σκίτσα, σημειώσεις που λένε «και όλοι στον κόσμο».

Το πορτρέτο της Μόνα Λίζα (Τζοκόντα) έχει τραβήξει την προσοχή των ερευνητών εδώ και πολλά χρόνια, οι οποίοι διαπίστωσαν ότι η σύνθεση του σχεδίου βασίζεται σε χρυσά τρίγωνα που αποτελούν μέρη ενός κανονικού αστρικού πενταγώνου.

Επίσης, η αναλογία της χρυσής τομής εμφανίζεται στον πίνακα του Shishkin. Σε αυτόν τον διάσημο πίνακα του I. I. Shishkin, τα μοτίβα της χρυσής τομής είναι ευδιάκριτα. Το φωτεινό πεύκο (που στέκεται στο προσκήνιο) διαιρεί το μήκος της εικόνας σύμφωνα με τη χρυσή τομή. Στα δεξιά του πεύκου είναι ένας λόφος που φωτίζεται από τον ήλιο. Χωρίζει τη δεξιά πλευρά της εικόνας οριζόντια σύμφωνα με τη χρυσή τομή.

Ο πίνακας του Ραφαήλ «Η σφαγή των αθώων» δείχνει ένα άλλο στοιχείο της χρυσής τομής - τη χρυσή σπείρα. Στο προπαρασκευαστικό σκίτσο του Ραφαήλ, σχεδιάζονται κόκκινες γραμμές που τρέχουν από το σημασιολογικό κέντρο της σύνθεσης - το σημείο όπου τα δάχτυλα του πολεμιστή έκλεισαν γύρω από τον αστράγαλο του παιδιού - κατά μήκος των φιγούρων του παιδιού, της γυναίκας που το σφίγγει στον εαυτό της, του πολεμιστή με ένα υψωμένο ξίφος και στη συνέχεια κατά μήκος των φιγούρων της ίδιας ομάδας στη δεξιά πλευρά του σκίτσου. Δεν είναι γνωστό αν ο Ραφαήλ κατασκεύασε τη χρυσή σπείρα ή την ένιωσε.

Ο T. Cook χρησιμοποίησε τη χρυσή τομή κατά την ανάλυση του πίνακα του Sandro Botticelli «The Birth of Venus».

7.2. Πυραμίδες της χρυσής τομής.

Οι ιατρικές ιδιότητες των πυραμίδων, ιδιαίτερα η χρυσή τομή, είναι ευρέως γνωστές. Σύμφωνα με μερικές από τις πιο κοινές απόψεις, το δωμάτιο στο οποίο βρίσκεται μια τέτοια πυραμίδα φαίνεται μεγαλύτερο και ο αέρας είναι πιο διαφανής. Τα όνειρα αρχίζουν να θυμούνται καλύτερα. Είναι επίσης γνωστό ότι η χρυσή τομή χρησιμοποιήθηκε ευρέως στην αρχιτεκτονική και τη γλυπτική. Ένα παράδειγμα αυτού ήταν: το Πάνθεον και ο Παρθενώνας στην Ελλάδα, τα κτίρια των αρχιτεκτόνων Bazhenov και Malevich

8. Συμπέρασμα.

Πρέπει να πούμε ότι η χρυσή τομή έχει μεγάλη εφαρμογή στη ζωή μας.

Έχει αποδειχθεί ότι το ανθρώπινο σώμα διαιρείται αναλογικά με τη χρυσή τομή από τη γραμμή της ζώνης.

Το κέλυφος του ναυτίλου είναι στριμμένο σαν χρυσή σπείρα.

Χάρη στη χρυσή τομή, ανακαλύφθηκε η ζώνη αστεροειδών μεταξύ του Άρη και του Δία - αναλογικά θα έπρεπε να υπάρχει ένας άλλος πλανήτης εκεί.

Η διέγερση της χορδής στο σημείο που τη χωρίζει σε σχέση με τη χρυσή διαίρεση δεν θα προκαλέσει τη δόνηση της χορδής, δηλαδή αυτό είναι το σημείο αντιστάθμισης.

Σε αεροσκάφη με πηγές ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας, δημιουργούνται ορθογώνια στοιχεία με την αναλογία της χρυσής τομής.

Η Τζοκόντα είναι χτισμένη πάνω σε χρυσά τρίγωνα, η χρυσή σπείρα υπάρχει στον πίνακα του Ραφαήλ «Σφαγή των Αθώων».

Αναλογία που βρέθηκε στον πίνακα του Sandro Botticelli "The Birth of Venus"

Υπάρχουν πολλά αρχιτεκτονικά μνημεία που χτίστηκαν με τη χρυσή τομή, όπως το Πάνθεον και ο Παρθενώνας στην Αθήνα, τα κτίρια των αρχιτεκτόνων Bazhenov και Malevich.

Ο Τζον Κέπλερ, ο οποίος έζησε πριν από πέντε αιώνες, κατέχει τη δήλωση: "Η γεωμετρία έχει δύο μεγάλους θησαυρούς. Ο πρώτος είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, ο δεύτερος είναι η διαίρεση ενός τμήματος στην ακραία και μέση αναλογία".

Βιβλιογραφία

1. D. Pidow. Γεωμετρία και τέχνη. – Μ.: Μιρ, 1979.

2. Περιοδικό "Επιστήμη και τεχνολογία"

3. Περιοδικό «Quantum», 1973, Νο 8.

4. Περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Σχολείο», 1994, Νο. 2; Νο. 3.

5. Kovalev F.V. Χρυσή τομή στη ζωγραφική. Κ .: Σχολείο Vyscha, 1989.

6. Stakhov A. Κώδικες της χρυσής τομής.

7. Vorobyov N.N. "Αριθμοί Fibonacci" - Μ.: Nauka 1964

8. "Μαθηματικά - Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά" Μ .: Avanta +, 1998

9. Πληροφορίες από το Διαδίκτυο.

Πίνακες Fibonacci και οι λεγόμενοι «χρυσοί» πίνακες, νέα αριθμητική υπολογιστών, μια νέα θεωρία κωδικοποίησης και μια νέα θεωρία κρυπτογραφίας. Η ουσία της νέας επιστήμης είναι η αναθεώρηση όλων των μαθηματικών από τη σκοπιά της χρυσής τομής, ξεκινώντας από τον Πυθαγόρα, που φυσικά θα συνεπάγεται νέα και σίγουρα πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά αποτελέσματα στη θεωρία. Με πρακτικούς όρους - "χρυσή" μηχανογράφηση. Και επειδή...

Αυτό το αποτέλεσμα δεν θα επηρεαστεί. Η βάση της χρυσής τομής είναι αμετάβλητη των αναδρομικών αναλογιών 4 και 6. Αυτό δείχνει τη «σταθερότητα» της χρυσής τομής, μια από τις αρχές της οργάνωσης της ζωντανής ύλης. Επίσης, η βάση της χρυσής τομής είναι η λύση δύο εξωτικών αναδρομικών ακολουθιών (Εικ. 4.) Εικ. 4 αναδρομικές ακολουθίες Fibonacci Έτσι...

Το αυτί είναι j5 και η απόσταση από το αυτί στο στέμμα είναι j6. Έτσι, σε αυτό το άγαλμα βλέπουμε μια γεωμετρική πρόοδο με παρονομαστή j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (Εικ. 9). Έτσι, η χρυσή τομή είναι μια από τις θεμελιώδεις αρχές στην τέχνη της αρχαίας Ελλάδας. Ρυθμοί της καρδιάς και του εγκεφάλου. Η ανθρώπινη καρδιά χτυπά ομοιόμορφα - περίπου 60 παλμούς το λεπτό σε ηρεμία. Η καρδιά συμπιέζεται σαν έμβολο...