Απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος στο διαδίκτυο. Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n μελών του GP. Προβλήματα υπολογισμού ανατοκισμού

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ VI

§ 148. Το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου

Μέχρι τώρα, μιλώντας για αθροίσματα, πάντα υποθέταμε ότι ο αριθμός των όρων σε αυτά τα αθροίσματα είναι πεπερασμένος (για παράδειγμα, 2, 15, 1000 κ.λπ.). Αλλά όταν λύνουμε ορισμένα προβλήματα (ειδικά ανώτερα μαθηματικά), πρέπει να ασχοληθούμε με τα αθροίσματα ενός άπειρου αριθμού όρων

S= ένα 1 + ένα 2 + ... + ένα n + ... . (1)

Ποια είναι αυτά τα ποσά; Α-πριό το άθροισμα ενός άπειρου αριθμού όρων ένα 1 , ένα 2 , ..., ένα n , ... ονομάζεται όριο του αθροίσματος S n πρώτα Π αριθμοί όταν Π -> ∞ :

S=S n = (ένα 1 + ένα 2 + ... + ένα n ). (2)

Το όριο (2), φυσικά, μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει. Κατά συνέπεια, το άθροισμα (1) λέγεται ότι υπάρχει ή δεν υπάρχει.

Πώς να μάθετε εάν το άθροισμα (1) υπάρχει σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση; Μια γενική λύση σε αυτό το ερώτημα υπερβαίνει κατά πολύ το πεδίο του προγράμματός μας. Ωστόσο, υπάρχει μια σημαντική ειδική περίπτωση που πρέπει να εξετάσουμε τώρα. Θα μιλήσουμε για το άθροισμα των όρων μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου.

Αφήνω ένα 1 , ένα 1 q , ένα 1 q 2 , ... είναι μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος. Αυτό σημαίνει ότι | q |< 1. Сумма первых Π μέλη αυτής της προόδου ισούται με

Από τα βασικά θεωρήματα για τα όρια των μεταβλητών (βλ. § 136) προκύπτει:

Αλλά 1 = 1, α q n = 0. Επομένως

Άρα, το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου είναι ίσο με τον πρώτο όρο αυτής της προόδου διαιρεμένο με το ένα μείον τον παρονομαστή αυτής της προόδου.

1) Το άθροισμα της γεωμετρικής προόδου 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... είναι

και το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου είναι 12. -6; 3; - 3 / 2 , ... ισούται

2) Ένα απλό περιοδικό κλάσμα 0,454545 ... μετατρέπεται σε συνηθισμένο.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, αντιπροσωπεύουμε αυτό το κλάσμα ως άπειρο άθροισμα:

Η δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας είναι το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, ο πρώτος όρος της οποίας είναι 45/100 και ο παρονομαστής είναι 1/100. Να γιατί

Με τον τρόπο που περιγράφηκε, μπορεί επίσης να ληφθεί ο γενικός κανόνας για τη μετατροπή απλών περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα (βλ. Κεφάλαιο II, § 38):

Για να μετατρέψετε ένα απλό περιοδικό κλάσμα σε συνηθισμένο, πρέπει να προχωρήσετε ως εξής: βάλτε την περίοδο του δεκαδικού κλάσματος στον αριθμητή και στον παρονομαστή - έναν αριθμό που αποτελείται από εννέα που λαμβάνονται όσες φορές υπάρχουν ψηφία στην περίοδο του δεκαδικού κλάσματος.

3) Μικτό περιοδικό κλάσμα 0,58333 .... μετατρέπεται σε συνηθισμένο κλάσμα.

Ας αντιπροσωπεύσουμε αυτό το κλάσμα ως άπειρο άθροισμα:

Στη δεξιά πλευρά αυτής της ισότητας, όλοι οι όροι, ξεκινώντας από το 3/1000, σχηματίζουν μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο, ο πρώτος όρος της οποίας είναι 3/1000 και ο παρονομαστής είναι 1/10. Να γιατί

Με τον τρόπο που περιγράφηκε, μπορεί επίσης να ληφθεί ο γενικός κανόνας για τη μετατροπή μικτών περιοδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα (βλ. Κεφάλαιο II, § 38). Δεν το συμπεριλαμβάνουμε εσκεμμένα εδώ. Δεν χρειάζεται να απομνημονεύσετε αυτόν τον δυσκίνητο κανόνα. Είναι πολύ πιο χρήσιμο να γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε μικτό περιοδικό κλάσμα μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα μιας άπειρα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου και κάποιου αριθμού. Και η φόρμουλα

για το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου, πρέπει φυσικά να θυμόμαστε.

Ως άσκηση, σας καλούμε, εκτός από τα προβλήματα Νο. 995-1000 παρακάτω, να στραφείτε και πάλι στο πρόβλημα Νο. 301 § 38.

Γυμνάσια

995. Τι ονομάζεται το άθροισμα μιας απείρως φθίνουσας γεωμετρικής προόδου;

996. Βρείτε αθροίσματα άπειρα φθίνουσας γεωμετρικής προόδου:

997. Για ποιες αξίες Χ προχώρηση

μειώνεται απείρως; Βρείτε το άθροισμα μιας τέτοιας προόδου.

998. Σε ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ΕΝΑ ένα νέο τρίγωνο εγγράφεται συνδέοντας τα μέσα των πλευρών του. ένα νέο τρίγωνο εγγράφεται σε αυτό το τρίγωνο με τον ίδιο τρόπο, και ούτω καθεξής ad infinitum.

α) το άθροισμα των περιμέτρων όλων αυτών των τριγώνων.

β) το άθροισμα των εκτάσεών τους.

999. Σε τετράγωνο με πλευρά ΕΝΑ ένα νέο τετράγωνο εγγράφεται συνδέοντας τα μεσαία σημεία των πλευρών του. ένα τετράγωνο εγγράφεται σε αυτό το τετράγωνο με τον ίδιο τρόπο, και ούτω καθεξής ad infinitum. Να βρείτε το άθροισμα των περιμέτρων όλων αυτών των τετραγώνων και το άθροισμα των εμβαδών τους.

1000. Κάντε μια απεριόριστα φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο, έτσι ώστε το άθροισμά της να είναι ίσο με 25 / 4 και το άθροισμα των τετραγώνων των όρων της να είναι ίσο με 625 / 24.

Μια γεωμετρική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία, της οποίας ο πρώτος όρος είναι μη μηδενικός, και κάθε επόμενος όρος είναι ίσος με τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

Η έννοια της γεωμετρικής προόδου

Η γεωμετρική πρόοδος συμβολίζεται με b1,b2,b3, …, bn, ….

Ο λόγος οποιουδήποτε όρου του γεωμετρικού σφάλματος προς τον προηγούμενο όρο του είναι ίσος με τον ίδιο αριθμό, δηλαδή b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/bn = …. Αυτό προκύπτει άμεσα από τον ορισμό μιας αριθμητικής προόδου. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου. Συνήθως ο παρονομαστής μιας γεωμετρικής προόδου συμβολίζεται με το γράμμα q.

Το άθροισμα μιας άπειρης γεωμετρικής προόδου για |q|<1

Ένας τρόπος για να ορίσετε μια γεωμετρική πρόοδο είναι να ορίσετε τον πρώτο όρο της b1 και τον παρονομαστή του γεωμετρικού σφάλματος q. Για παράδειγμα, b1=4, q=-2. Αυτές οι δύο συνθήκες δίνουν μια γεωμετρική πρόοδο 4, -8, 16, -32, ... .

Αν q>0 (q δεν ισούται με 1), τότε η πρόοδος είναι μονοτονική ακολουθία. Για παράδειγμα, η ακολουθία, 2, 4,8,16,32, ... είναι μια μονότονα αυξανόμενη ακολουθία (b1=2, q=2).

Αν ο παρονομαστής q=1 στο γεωμετρικό σφάλμα, τότε όλα τα μέλη της γεωμετρικής προόδου θα είναι ίσα μεταξύ τους. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η εξέλιξη λέγεται ότι είναι μια σταθερή ακολουθία.

Για να είναι η αριθμητική ακολουθία (bn) γεωμετρική πρόοδος, είναι απαραίτητο κάθε μέλος της, ξεκινώντας από το δεύτερο, να είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των γειτονικών μελών. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να εκπληρωθεί η ακόλουθη εξίσωση
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), για οποιοδήποτε n>0, όπου το n ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N.

Τώρα ας βάλουμε (Xn) - μια γεωμετρική πρόοδο. Ο παρονομαστής της γεωμετρικής προόδου q, με |q|∞).
Αν τώρα υποδηλώσουμε με S το άθροισμα μιας άπειρης γεωμετρικής προόδου, τότε ισχύει ο ακόλουθος τύπος:
S=x1/(1-q).

Εξετάστε ένα απλό παράδειγμα:

Βρείτε το άθροισμα μιας άπειρης γεωμετρικής προόδου 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

Για να βρούμε το S, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα μιας άπειρης αριθμητικής προόδου. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Η γεωμετρική πρόοδος συμβολίζεται b1,b2,b3, …, bn, ….

Μονοτονική και σταθερή ακολουθία

Αν q>0 (q δεν ισούται με 1), τότε η πρόοδος είναι μονότονη ακολουθία.Για παράδειγμα, η ακολουθία, 2, 4,8,16,32, ... είναι μια μονότονα αυξανόμενη ακολουθία (b1=2, q=2).

Αν ο παρονομαστής q=1 στο γεωμετρικό σφάλμα, τότε όλα τα μέλη της γεωμετρικής προόδου θα είναι ίσα μεταξύ τους. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η εξέλιξη λέγεται ότι είναι σταθερή ακολουθία.

Τύπος του ν' μέλους μιας γεωμετρικής προόδου

Ο τύπος για το nο μέλος μιας γεωμετρικής προόδου είναι:

bn=b1*q^(n-1),

όπου το n ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N.

Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδου

Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδου είναι:

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) όπου το q δεν είναι ίσο με 1.

Εξετάστε ένα απλό παράδειγμα:

Στη γεωμετρική πρόοδο b1=6, q=3, n=8 βρείτε Sn.

Για να βρούμε το S8, χρησιμοποιούμε τον τύπο για το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας γεωμετρικής προόδου.

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

Ο τύπος για το ντο μέλος μιας γεωμετρικής προόδου είναι πολύ απλό πράγμα. Και στο νόημα και γενικά. Αλλά υπάρχουν κάθε λογής προβλήματα για τον τύπο του ντος μέλους - από πολύ πρωτόγονα έως αρκετά σοβαρά. Και στη διαδικασία της γνωριμίας μας, σίγουρα θα εξετάσουμε και τους δύο. Λοιπόν, ας βρεθούμε;)

Έτσι, για αρχή, στην πραγματικότητα τύποςn

Εδώ είναι αυτή:

b n = σι 1 · q n -1

Φόρμουλα ως φόρμουλα, τίποτα υπερφυσικό. Φαίνεται ακόμη πιο απλό και συμπαγές από την παρόμοια φόρμουλα για το . Η έννοια της φόρμουλας είναι επίσης απλή, σαν μπότα από τσόχα.

Αυτός ο τύπος σάς επιτρέπει να βρείτε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ μέλος μιας γεωμετρικής προόδου ΑΝΑ ΤΟΝ ΑΡΙΘΜΟ ΤΟΥ " n".

Όπως μπορείτε να δείτε, το νόημα είναι μια πλήρης αναλογία με μια αριθμητική πρόοδο. Γνωρίζουμε τον αριθμό n - μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε τον όρο κάτω από αυτόν τον αριθμό. Τι θέλουμε. Δεν πολλαπλασιάζεται διαδοχικά με το "q" πολλές, πολλές φορές. Αυτό είναι όλο το νόημα.)

Καταλαβαίνω ότι σε αυτό το επίπεδο εργασίας με προόδους, όλες οι ποσότητες που περιλαμβάνονται στη φόρμουλα θα πρέπει να είναι ήδη σαφείς σε εσάς, αλλά θεωρώ καθήκον μου να αποκρυπτογραφήσω την καθεμία. Για παν ενδεχόμενο.

Λοιπόν πάμε:

σι 1 – πρώταμέλος μιας γεωμετρικής προόδου.

q – ;

n- αριθμός μέλους;

b n – ντος (nου)μέλος μιας γεωμετρικής προόδου.

Αυτός ο τύπος συνδέει τις τέσσερις κύριες παραμέτρους οποιασδήποτε γεωμετρικής προόδου - σιn, σι 1 , qΚαι n. Και γύρω από αυτά τα τέσσερα βασικά στοιχεία, όλες οι εργασίες σε εξέλιξη περιστρέφονται.

"Και πώς εμφανίζεται;"- Ακούω μια περίεργη ερώτηση ... Δημοτικό! Κοίτα!

Τι ισούται με δεύτεροςμέλος της προόδου; Κανένα πρόβλημα! Γράφουμε απευθείας:

b 2 = b 1 q

Και το τρίτο μέλος; Ούτε πρόβλημα! Πολλαπλασιάζουμε τον δεύτερο όρο πάλι επάνωq.

Σαν αυτό:

B 3 \u003d b 2 q

Θυμηθείτε τώρα ότι ο δεύτερος όρος, με τη σειρά του, είναι ίσος με b 1 q και αντικαταστήστε αυτήν την έκφραση στην ισότητά μας:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Παίρνουμε:

σι 3 = b 1 q 2

Τώρα ας διαβάσουμε την καταχώρισή μας στα ρωσικά: τρίτοςο όρος είναι ίσος με τον πρώτο όρο πολλαπλασιασμένο επί q in δεύτεροςβαθμός. Τόπιασες? Οχι ακόμα? Εντάξει, ένα ακόμη βήμα.

Ποιος είναι ο τέταρτος όρος; Ολα τα ίδια! Πολλαπλασιάζω προηγούμενος(δηλαδή ο τρίτος όρος) στο q:

B 4 \u003d b 3 q \u003d (b 1 q 2) q \u003d b 1 q 2 q \u003d b 1 q 3

Σύνολο:

σι 4 = b 1 q 3

Και πάλι μεταφράζουμε στα ρωσικά: τέταρτοςο όρος είναι ίσος με τον πρώτο όρο πολλαπλασιασμένο επί q in τρίτοςβαθμός.

Και ούτω καθεξής. Πώς είναι λοιπόν; Έπιασες το μοτίβο; Ναί! Για οποιονδήποτε όρο με οποιονδήποτε αριθμό, ο αριθμός των ίσων παραγόντων q (δηλαδή η ισχύς του παρονομαστή) θα είναι πάντα ένα λιγότερο από τον αριθμό του επιθυμητού μέλουςn.

Επομένως, ο τύπος μας θα είναι, χωρίς επιλογές:

b n =σι 1 · q n -1

Αυτό είναι όλο.)

Λοιπόν, ας λύσουμε τα προβλήματα, έτσι δεν είναι;)

Επίλυση προβλημάτων σε τύποnο όρος μιας γεωμετρικής προόδου.

Ας ξεκινήσουμε, ως συνήθως, με μια άμεση εφαρμογή του τύπου. Εδώ είναι ένα τυπικό πρόβλημα:

Είναι γνωστό εκθετικά ότι σι 1 = 512 και q = -1/2. Να βρείτε τον δέκατο όρο της προόδου.

Φυσικά, αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χωρίς καθόλου τύπους. Ακριβώς όπως μια γεωμετρική πρόοδος. Αλλά πρέπει να ζεσταθούμε με τον τύπο του nου όρου, σωστά; Εδώ χωρίζουμε.

Τα δεδομένα μας για την εφαρμογή του τύπου είναι τα εξής.

Ο πρώτος όρος είναι γνωστός. Αυτό είναι 512.

σι 1 = 512.

Ο παρονομαστής της προόδου είναι επίσης γνωστός: q = -1/2.

Απομένει μόνο να καταλάβουμε με ποιον αριθμό ισούται ο όρος n. Κανένα πρόβλημα! Μας ενδιαφέρει η δέκατη θητεία; Αντικαθιστούμε λοιπόν δέκα αντί για n στον γενικό τύπο.

Και υπολογίστε προσεκτικά την αριθμητική:

Απάντηση: -1

Όπως μπορείτε να δείτε, η δέκατη περίοδος της εξέλιξης αποδείχθηκε με ένα μείον. Δεν είναι περίεργο: ο παρονομαστής της προόδου είναι -1/2, δηλ. αρνητικόςαριθμός. Και αυτό μας λέει ότι τα σημάδια της εξέλιξής μας εναλλάσσονται, ναι.)

Όλα είναι απλά εδώ. Και εδώ υπάρχει ένα παρόμοιο πρόβλημα, αλλά λίγο πιο περίπλοκο όσον αφορά τους υπολογισμούς.

Στη γεωμετρική πρόοδο, γνωρίζουμε ότι:

σι 1 = 3

Βρείτε τον δέκατο τρίτο όρο της προόδου.

Όλα είναι ίδια, μόνο που αυτή τη φορά ο παρονομαστής της εξέλιξης - παράλογος. Ρίζα δύο. Λοιπόν, τίποτα σπουδαίο. Ο τύπος είναι ένα καθολικό πράγμα, αντιμετωπίζει οποιουσδήποτε αριθμούς.

Εργαζόμαστε απευθείας σύμφωνα με τον τύπο:

Η φόρμουλα, φυσικά, λειτούργησε όπως έπρεπε, αλλά ... εδώ θα κολλήσουν κάποιοι. Τι να κάνετε μετά με τη ρίζα; Πώς να σηκώσετε μια ρίζα στη δωδέκατη δύναμη;

Πώς-πώς... Πρέπει να καταλάβετε ότι οποιοσδήποτε τύπος, φυσικά, είναι καλός, αλλά η γνώση όλων των προηγούμενων μαθηματικών δεν ακυρώνεται! Πώς να αυξήσετε; Ναι, θυμηθείτε τις ιδιότητες των μοιρών! Ας αλλάξουμε τη ρίζα σε κλασματικός βαθμόςκαι - με τον τύπο της ανύψωσης μιας δύναμης σε μια δύναμη.

Σαν αυτό:

Απάντηση: 192

Και όλα τα πράγματα.)

Ποια είναι η κύρια δυσκολία στην άμεση εφαρμογή του τύπου του ν. όρου; Ναί! Η κύρια δυσκολία είναι δουλέψτε με πτυχία!Δηλαδή, η εκτίμηση αρνητικών αριθμών, κλασμάτων, ριζών και παρόμοιων κατασκευών. Όσοι λοιπόν έχουν προβλήματα με αυτό, επείγον αίτημα επανάληψης των πτυχίων και των ιδιοτήτων τους! Διαφορετικά, θα επιβραδύνετε σε αυτό το θέμα, ναι ...)

Τώρα ας λύσουμε τυπικά προβλήματα αναζήτησης ένα από τα στοιχεία του τύπουαν δοθούν όλα τα άλλα. Για την επιτυχή επίλυση τέτοιων προβλημάτων, η συνταγή είναι απλή και απλή έως φρίκη - γράψτε τον τύποnτο μέλος γενικά!Ακριβώς στο σημειωματάριο δίπλα στην κατάσταση. Και μετά, από τη συνθήκη, καταλαβαίνουμε τι μας δίνεται και τι δεν είναι αρκετό. Και εκφράζουμε την επιθυμητή τιμή από τον τύπο. Ολα!

Για παράδειγμα, ένα τέτοιο αβλαβές πρόβλημα.

Ο πέμπτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου με παρονομαστή 3 είναι 567. Βρείτε τον πρώτο όρο αυτής της προόδου.

Τίποτα περίπλοκο. Δουλεύουμε απευθείας σύμφωνα με το ξόρκι.

Γράφουμε τον τύπο του ν ου θητείου!

b n = σι 1 · q n -1

Τι μας δίνεται; Αρχικά, δίνεται ο παρονομαστής της προόδου: q = 3.

Επιπλέον, μας δίνονται πέμπτη θητεία: σι 5 = 567 .

Ολα? Οχι! Μας δίνεται και ο αριθμός n! Αυτό είναι ένα πέντε: n = 5.

Ελπίζω να έχετε ήδη καταλάβει τι υπάρχει στο αρχείο σι 5 = 567 δύο παράμετροι κρύβονται ταυτόχρονα - αυτό είναι το ίδιο το πέμπτο μέλος (567) και ο αριθμός του (5). Σε ένα παρόμοιο μάθημα έχω ήδη μιλήσει για αυτό, αλλά νομίζω ότι δεν είναι περιττό να το υπενθυμίσω εδώ.)

Τώρα αντικαθιστούμε τα δεδομένα μας στον τύπο:

567 = σι 1 3 5-1

Θεωρούμε αριθμητική, απλοποιούμε και παίρνουμε μια απλή γραμμική εξίσωση:

81 σι 1 = 567

Λύνουμε και παίρνουμε:

σι 1 = 7

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχουν προβλήματα με την εύρεση του πρώτου μέλους. Αλλά όταν ψάχνετε για τον παρονομαστή qκαι αριθμοί nμπορεί να υπάρχουν εκπλήξεις. Και πρέπει επίσης να είστε προετοιμασμένοι για αυτές (εκπλήξεις), ναι.)

Για παράδειγμα, ένα τέτοιο πρόβλημα:

Ο πέμπτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου με θετικό παρονομαστή είναι 162 και ο πρώτος όρος αυτής της προόδου είναι 2. Βρείτε τον παρονομαστή της προόδου.

Αυτή τη φορά μας δίνονται το πρώτο και το πέμπτο μέλος και καλούμαστε να βρούμε τον παρονομαστή της εξέλιξης. Εδώ ξεκινάμε.

Γράφουμε τον τύποnτο μέλος!

b n = σι 1 · q n -1

Τα αρχικά μας στοιχεία θα είναι τα εξής:

σι 5 = 162

σι 1 = 2

n = 5

Δεν αρκεί η αξία q. Κανένα πρόβλημα! Ας το βρούμε τώρα.) Αντικαθιστούμε όλα όσα γνωρίζουμε στον τύπο.

Παίρνουμε:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Μια απλή εξίσωση τέταρτου βαθμού. Αλλά τώρα - προσεκτικά!Σε αυτό το στάδιο της λύσης, πολλοί μαθητές εξάγουν αμέσως με χαρά τη ρίζα (του τέταρτου βαθμού) και παίρνουν την απάντηση q=3 .

Σαν αυτό:

q4 = 81

q = 3

Αλλά γενικά, αυτή είναι μια ημιτελής απάντηση. Ή μάλλον ελλιπής. Γιατί; Το θέμα είναι ότι η απάντηση q = -3 ταιριάζει επίσης: (-3) 4 θα ήταν επίσης 81!

Αυτό συμβαίνει επειδή η εξίσωση ισχύος x n = έναέχει πάντα δύο αντίθετες ρίζεςστο ακόμη καιn . Συν και πλην:

Και τα δύο ταιριάζουν.

Για παράδειγμα, η επίλυση (δηλ. δεύτεροςβαθμούς)

x2 = 9

Για κάποιο λόγο δεν σας εκπλήσσει η εμφάνιση δύορίζες x=±3; Το ίδιο είναι και εδώ. Και με οποιοδήποτε άλλο ακόμη καιβαθμός (τέταρτος, έκτος, δέκατος κ.λπ.) θα είναι το ίδιο. Λεπτομέρειες - στο θέμα για

Άρα η σωστή λύση θα ήταν:

q 4 = 81

q= ±3

Εντάξει, έχουμε βρει τα σημάδια. Ποιο είναι το σωστό - συν ή πλην; Λοιπόν, διαβάσαμε ξανά την κατάσταση του προβλήματος αναζητώντας Επιπλέον πληροφορίες.Φυσικά, μπορεί να μην υπάρχει, αλλά σε αυτό το πρόβλημα τέτοιες πληροφορίες διαθέσιμος.Στην κατάστασή μας δηλώνεται ευθέως ότι δίνεται πρόοδος με θετικός παρονομαστής.

Η απάντηση λοιπόν είναι προφανής:

q = 3

Όλα είναι απλά εδώ. Τι πιστεύετε ότι θα συνέβαινε εάν η δήλωση προβλήματος ήταν ως εξής:

Ο πέμπτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι 162 και ο πρώτος όρος αυτής της προόδου είναι 2. Βρείτε τον παρονομαστή της προόδου.

Ποιά είναι η διαφορά? Ναί! Στην κατάσταση Τίποτακαμία αναφορά στον παρονομαστή. Ούτε άμεσα ούτε έμμεσα. Και εδώ το πρόβλημα θα είχε ήδη δύο λύσεις!

q = 3 Και q = -3

Ναι ναι! Και με συν και πλην.) Μαθηματικά, αυτό το γεγονός θα σήμαινε ότι υπάρχουν δύο προόδουςπου ταιριάζουν στην εργασία. Και για το καθένα - τον δικό του παρονομαστή. Για διασκέδαση, εξασκηθείτε και γράψτε τους πέντε πρώτους όρους του καθενός.)

Τώρα ας εξασκηθούμε στην εύρεση του αριθμού μέλους. Αυτό είναι το πιο δύσκολο, ναι. Αλλά και πιο δημιουργική.

Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος:

3; 6; 12; 24; …

Ποιος αριθμός είναι το 768 σε αυτήν την εξέλιξη;

Το πρώτο βήμα είναι το ίδιο: γράψτε τον τύποnτο μέλος!

b n = σι 1 · q n -1

Και τώρα, ως συνήθως, αντικαθιστούμε τα γνωστά σε εμάς δεδομένα. Χμ... δεν χωράει! Πού είναι το πρώτο μέλος, πού είναι ο παρονομαστής, πού είναι όλα τα άλλα;!

Πού, πού ... Γιατί χρειαζόμαστε μάτια; Κουνώντας βλεφαρίδες; Αυτή τη φορά η εξέλιξη μας δίνεται απευθείας στη φόρμα ακολουθίες.Μπορούμε να δούμε τον πρώτο όρο; Βλέπουμε! Αυτό είναι ένα τριπλό (b 1 = 3). Τι γίνεται με τον παρονομαστή; Δεν το βλέπουμε ακόμα, αλλά είναι πολύ εύκολο να το μετρήσουμε. Αν φυσικά καταλαβαίνεις.

Εδώ εξετάζουμε. Απευθείας σύμφωνα με την έννοια μιας γεωμετρικής προόδου: παίρνουμε οποιοδήποτε από τα μέλη της (εκτός από το πρώτο) και διαιρούμε με το προηγούμενο.

Τουλάχιστον έτσι:

q = 24/12 = 2

Τι άλλο ξέρουμε; Γνωρίζουμε επίσης κάποιο μέλος αυτής της προόδου, ίσο με 768. Κάτω από κάποιον αριθμό n:

b n = 768

Δεν γνωρίζουμε τον αριθμό του, αλλά το καθήκον μας είναι ακριβώς να τον βρούμε.) Ψάχνουμε λοιπόν. Έχουμε ήδη κατεβάσει όλα τα απαραίτητα δεδομένα για αντικατάσταση στον τύπο. Αδιόρατα.)

Εδώ αντικαθιστούμε:

768 = 3 2n -1

Φτιάχνουμε στοιχειώδεις - διαιρούμε και τα δύο μέρη κατά τρία και ξαναγράφουμε την εξίσωση με τη συνήθη μορφή: το άγνωστο στα αριστερά, το γνωστό στα δεξιά.

Παίρνουμε:

2 n -1 = 256

Εδώ είναι μια ενδιαφέρουσα εξίσωση. Πρέπει να βρούμε το "n". Τι είναι ασυνήθιστο; Ναι, δεν διαφωνώ. Στην πραγματικότητα, είναι το πιο απλό. Ονομάζεται έτσι επειδή το άγνωστο (στην περίπτωση αυτή είναι ο αριθμός n) στέκεται μέσα δείκτηςβαθμός.

Στο στάδιο της γνωριμίας με μια γεωμετρική πρόοδο (αυτή είναι η ένατη τάξη), οι εκθετικές εξισώσεις δεν διδάσκονται να λύνουν, ναι... Αυτό είναι ένα θέμα για το λύκειο. Αλλά δεν υπάρχει τίποτα τρομερό. Ακόμα κι αν δεν ξέρετε πώς λύνονται τέτοιες εξισώσεις, ας προσπαθήσουμε να βρούμε το δικό μας nμε γνώμονα την απλή λογική και την κοινή λογική.

Αρχίζουμε να συζητάμε. Αριστερά έχουμε ένα δυάρι σε κάποιο βαθμό. Δεν γνωρίζουμε ακόμη τι ακριβώς είναι αυτό το πτυχίο, αλλά αυτό δεν είναι τρομακτικό. Αλλά από την άλλη, γνωρίζουμε ακράδαντα ότι αυτός ο βαθμός ισούται με 256! Θυμόμαστε λοιπόν σε ποιο βαθμό το deuce μας δίνει 256. Θυμάστε; Ναί! ΣΕ όγδοοβαθμούς!

256 = 2 8

Εάν δεν θυμηθήκατε ή με την αναγνώριση των βαθμών του προβλήματος, τότε είναι επίσης εντάξει: απλώς ανεβάζουμε διαδοχικά τα δύο στο τετράγωνο, στον κύβο, στην τέταρτη δύναμη, στην πέμπτη και ούτω καθεξής. Η επιλογή, στην πραγματικότητα, αλλά σε αυτό το επίπεδο, είναι αρκετά βόλτα.

Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θα πάρουμε:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Άρα το 768 είναι ένατοςμέλος της προόδου μας. Αυτό είναι όλο, το πρόβλημα λύθηκε.)

Απάντηση: 9

Τι? Βαρετό? Βαρεθήκατε τα δημοτικά; Συμφωνώ. Και εγώ επίσης. Ας πάμε στο επόμενο επίπεδο.)

Πιο πολύπλοκες εργασίες.

Και τώρα λύνουμε τους γρίφους πιο απότομα. Όχι ακριβώς super-cool, αλλά πάνω στο οποίο πρέπει να δουλέψεις λίγο για να φτάσεις στην απάντηση.

Για παράδειγμα, όπως αυτό.

Βρείτε τον δεύτερο όρο μιας γεωμετρικής προόδου αν ο τέταρτος όρος της είναι -24 και ο έβδομος όρος είναι 192.

Αυτό είναι ένα κλασικό του είδους. Κάποια δύο διαφορετικά μέλη της εξέλιξης είναι γνωστά, αλλά πρέπει να βρεθεί ένα ακόμη μέλος. Επιπλέον, όλα τα μέλη ΔΕΝ είναι γείτονες. Τι μπερδεύει στην αρχή, ναι...

Όπως και στο , εξετάζουμε δύο μεθόδους για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Ο πρώτος τρόπος είναι καθολικός. Αλγεβρικός. Λειτουργεί άψογα με οποιαδήποτε πηγή δεδομένων. Από εκεί θα ξεκινήσουμε λοιπόν.)

Ζωγραφίζουμε κάθε όρο σύμφωνα με τον τύπο nτο μέλος!

Όλα είναι ακριβώς τα ίδια όπως με μια αριθμητική πρόοδο. Μόνο που αυτή τη φορά συνεργαζόμαστε αλλογενικός τύπος. Αυτό είναι όλο.) Αλλά η ουσία είναι η ίδια: παίρνουμε και με τη σειρά τουςαντικαθιστούμε τα αρχικά μας δεδομένα στον τύπο του nου όρου. Για κάθε μέλος - το δικό τους.

Για τον τέταρτο όρο γράφουμε:

σι 4 = σι 1 · q 3

-24 = σι 1 · q 3

Τρώω. Μια εξίσωση είναι πλήρης.

Για τον έβδομο όρο γράφουμε:

σι 7 = σι 1 · q 6

192 = σι 1 · q 6

Συνολικά, προέκυψαν δύο εξισώσεις για την ίδια εξέλιξη .

Συγκεντρώνουμε ένα σύστημα από αυτά:

Παρά την τρομερή εμφάνισή του, το σύστημα είναι αρκετά απλό. Ο πιο προφανής τρόπος επίλυσης είναι η συνήθης αντικατάσταση. εκφραζόμαστε σι 1 από την επάνω εξίσωση και αντικαταστήστε την στην κάτω:

Μια μικρή ταλαιπωρία με την κάτω εξίσωση (μειώνοντας τους εκθέτες και διαιρώντας με -24) αποδίδει:

q 3 = -8

Παρεμπιπτόντως, η ίδια εξίσωση μπορεί να επιτευχθεί με πιο απλό τρόπο! Τι? Τώρα θα σας δείξω έναν άλλο μυστικό, αλλά πολύ όμορφο, ισχυρό και χρήσιμο τρόπο επίλυσης τέτοιων συστημάτων. Τέτοια συστήματα, στις εξισώσεις των οποίων κάθονται λειτουργεί μόνο.Τουλάχιστον σε ένα. που ονομάζεται μέθοδος διαίρεσης όρουμια εξίσωση στην άλλη.

Έχουμε λοιπόν ένα σύστημα:

Και στις δύο εξισώσεις στα αριστερά - δουλειά, και στα δεξιά είναι απλώς ένας αριθμός. Αυτό είναι πολύ καλό σημάδι.) Ας πάρουμε και ... διαιρέσουμε, ας πούμε, την κάτω εξίσωση με την πάνω! Τι σημαίνει, να διαιρέσουμε μια εξίσωση με την άλλη;Πολύ απλό. Παίρνουμε αριστερή πλευράμία εξίσωση (κάτω) και χωρίζουμεαυτήν επάνω αριστερή πλευράάλλη εξίσωση (πάνω). Η δεξιά πλευρά είναι παρόμοια: σωστη πλευραμια εξίσωση χωρίζουμεεπί σωστη πλευρααλλο.

Η όλη διαδικασία διαίρεσης μοιάζει με αυτό:

Τώρα, μειώνοντας όλα όσα μειώνονται, παίρνουμε:

q 3 = -8

Τι είναι καλό σε αυτή τη μέθοδο; Ναι, γιατί στη διαδικασία μιας τέτοιας διαίρεσης, κάθε κακό και άβολο μπορεί να μειωθεί με ασφάλεια και να παραμένει μια εντελώς ακίνδυνη εξίσωση! Γι' αυτό είναι τόσο σημαντικό να έχουμε μόνο πολλαπλασιασμοίσε τουλάχιστον μία από τις εξισώσεις του συστήματος. Δεν υπάρχει πολλαπλασιασμός - δεν υπάρχει τίποτα να μειωθεί, ναι ...

Γενικά, αυτή η μέθοδος (όπως και πολλοί άλλοι μη τετριμμένοι τρόποι επίλυσης συστημάτων) αξίζει ακόμη και ένα ξεχωριστό μάθημα. Σίγουρα θα το ρίξω μια πιο προσεκτική ματιά. Κάποια μέρα…

Ωστόσο, ανεξάρτητα από το πώς λύνετε το σύστημα, σε κάθε περίπτωση, τώρα πρέπει να λύσουμε την εξίσωση που προκύπτει:

q 3 = -8

Κανένα πρόβλημα: εξάγουμε τη ρίζα (κυβικά) και - τελειώσαμε!

Λάβετε υπόψη ότι δεν είναι απαραίτητο να βάλετε συν/πλην εδώ κατά την εξαγωγή. Έχουμε περιττή (τρίτου) βαθμού ρίζα. Και η απάντηση είναι η ίδια, ναι.

Άρα, βρίσκεται ο παρονομαστής της προόδου. Μείον δύο. Εξαιρετική! Η διαδικασία βρίσκεται σε εξέλιξη.)

Για τον πρώτο όρο (ας πούμε από την κορυφαία εξίσωση) παίρνουμε:

Εξαιρετική! Γνωρίζουμε τον πρώτο όρο, ξέρουμε τον παρονομαστή. Και τώρα έχουμε την ευκαιρία να βρούμε οποιοδήποτε μέλος της εξέλιξης. Συμπεριλαμβανομένου του δεύτερου.)

Για το δεύτερο μέλος, όλα είναι πολύ απλά:

σι 2 = σι 1 · q= 3 (-2) = -6

Απάντηση: -6

Λοιπόν, έχουμε τακτοποιήσει τον αλγεβρικό τρόπο επίλυσης του προβλήματος. Δύσκολος? Όχι πολύ, συμφωνώ. Μακρύ και βαρετό; Ναι σίγουρα. Αλλά μερικές φορές μπορείτε να μειώσετε σημαντικά τον όγκο της εργασίας. Για αυτό υπάρχει γραφικό τρόπο.Καλά παλιά και γνωστά σε εμάς από .)

Ας σχεδιάσουμε το πρόβλημα!

Ναί! Ακριβώς. Και πάλι απεικονίζουμε την πρόοδό μας στον αριθμητικό άξονα. Όχι απαραίτητα από χάρακα, δεν είναι απαραίτητο να διατηρούνται ίσα διαστήματα μεταξύ των μελών (τα οποία, παρεμπιπτόντως, δεν θα είναι τα ίδια, επειδή η εξέλιξη είναι γεωμετρική!), αλλά απλά σχηματικώςσχεδιάστε τη σειρά μας.

Το πήρα έτσι:

Τώρα κοιτάξτε την εικόνα και σκεφτείτε. Πόσους ίσους παράγοντες «q» μοιράζονται τέταρτοςΚαι έβδομοςμέλη; Σωστά, τρία!

Επομένως, έχουμε κάθε δικαίωμα να γράψουμε:

-24q 3 = 192

Από εδώ είναι πλέον εύκολο να βρείτε το q:

q 3 = -8

q = -2

Αυτό είναι υπέροχο, ο παρονομαστής είναι ήδη στην τσέπη μας. Και τώρα κοιτάμε ξανά την εικόνα: πόσοι τέτοιοι παρονομαστές βρίσκονται ανάμεσα δεύτεροςΚαι τέταρτοςμέλη; Δύο! Επομένως, για να καταγράψουμε τη σχέση μεταξύ αυτών των μελών, θα αυξήσουμε τον παρονομαστή εις το τετραγωνο.

Εδώ γράφουμε:

σι 2 · q 2 = -24 , που σι 2 = -24/ q 2

Αντικαθιστούμε τον βρεθέντα παρονομαστή στην έκφραση για b 2 , μετράμε και παίρνουμε:

Απάντηση: -6

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι πολύ πιο απλά και γρήγορα από ό, τι μέσω του συστήματος. Επιπλέον, εδώ δεν χρειάστηκε καν να μετρήσουμε την πρώτη θητεία! Καθόλου.)

Εδώ είναι ένας τόσο απλός και οπτικός τρόπος-φως. Έχει όμως και ένα σοβαρό μειονέκτημα. Μαντέψατε; Ναί! Είναι καλό μόνο για πολύ σύντομα κομμάτια εξέλιξης. Εκείνες όπου οι αποστάσεις μεταξύ των μελών που μας ενδιαφέρουν δεν είναι πολύ μεγάλες. Αλλά σε όλες τις άλλες περιπτώσεις είναι ήδη δύσκολο να σχεδιάσουμε μια εικόνα, ναι... Τότε λύνουμε το πρόβλημα αναλυτικά, μέσω ενός συστήματος.) Και τα συστήματα είναι ένα παγκόσμιο πράγμα. Ασχοληθείτε με οποιοδήποτε αριθμό.

Άλλο ένα επικό:

Ο δεύτερος όρος της γεωμετρικής προόδου είναι 10 περισσότερος από τον πρώτο και ο τρίτος όρος είναι 30 περισσότερος από τον δεύτερο. Βρείτε τον παρονομαστή της προόδου.

Τι είναι ωραίο; Καθόλου! Ολα τα ίδια. Και πάλι μεταφράζουμε την συνθήκη του προβλήματος σε καθαρή άλγεβρα.

1) Ζωγραφίζουμε κάθε όρο σύμφωνα με τον τύπο nτο μέλος!

Δεύτερος όρος: b 2 = b 1 q

Τρίτος όρος: b 3 \u003d b 1 q 2

2) Καταγράφουμε τη σχέση μεταξύ των μελών από την συνθήκη του προβλήματος.

Διαβάζοντας την συνθήκη: "Ο δεύτερος όρος μιας γεωμετρικής προόδου είναι 10 περισσότεροι από τον πρώτο."Σταματήστε, αυτό είναι πολύτιμο!

Γράφουμε λοιπόν:

σι 2 = σι 1 +10

Και μεταφράζουμε αυτή τη φράση σε καθαρά μαθηματικά:

σι 3 = σι 2 +30

Έχουμε δύο εξισώσεις. Τα συνδυάζουμε σε ένα σύστημα:

Το σύστημα φαίνεται απλό. Αλλά υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί δείκτες για τα γράμματα. Ας αντικαταστήσουμε αντί για το δεύτερο και το τρίτο μέλος της έκφρασής τους μέσω του πρώτου μέλους και παρονομαστή! Μάταια, ή τι, τα βάψαμε;

Παίρνουμε:

Αλλά ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι πλέον δώρο, ναι... Πώς να το λύσετε αυτό; Δυστυχώς, το καθολικό μυστικό ξόρκι για την επίλυση πολύπλοκο μη γραμμικόΔεν υπάρχουν συστήματα στα μαθηματικά και δεν μπορούν να υπάρχουν. Είναι φανταστικό! Αλλά το πρώτο πράγμα που πρέπει να έρχεται στο μυαλό σας όταν προσπαθείτε να σπάσετε ένα τόσο σκληρό καρύδι είναι να το καταλάβετε Δεν είναι όμως μια από τις εξισώσεις του συστήματος ανάγεται σε μια όμορφη μορφή, που καθιστά εύκολο, για παράδειγμα, να εκφράσουμε μια από τις μεταβλητές με όρους μιας άλλης;

Ας μαντέψουμε. Η πρώτη εξίσωση του συστήματος είναι σαφώς απλούστερη από τη δεύτερη. Θα τον βασανίσουμε.) Γιατί να μην προσπαθήσουμε από την πρώτη εξίσωση κάτιεκφράζω μέσω κάτι?Αφού θέλουμε να βρούμε τον παρονομαστή q, τότε θα ήταν πιο συμφέρον για εμάς να εκφράσουμε σι 1 διά μέσου q.

Ας προσπαθήσουμε λοιπόν να κάνουμε αυτή τη διαδικασία με την πρώτη εξίσωση, χρησιμοποιώντας τις παλιές καλές:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 \u003d 10

b 1 (q-1) = 10

Ολα! Εδώ έχουμε εκφραστεί περιττόςμας τη μεταβλητή (b 1) μέσω απαραίτητη(ιζ). Ναι, δεν είναι η πιο απλή έκφραση που έλαβε. Κάποιο κλάσμα… Αλλά το σύστημά μας είναι αξιοπρεπούς επιπέδου, ναι.)

Τυπικός. Τι να κάνουμε - ξέρουμε.

Γράφουμε ODZ (Αναγκαίως!) :

q ≠ 1

Πολλαπλασιάζουμε τα πάντα με τον παρονομαστή (q-1) και μειώνουμε όλα τα κλάσματα:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Διαιρούμε τα πάντα με δέκα, ανοίγουμε τις αγκύλες, μαζεύουμε τα πάντα στα αριστερά:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Λύνουμε το προκύπτον και παίρνουμε δύο ρίζες:

q 1 = 1

q 2 = 3

Υπάρχει μόνο μια τελική απάντηση: q = 3 .

Απάντηση: 3

Όπως μπορείτε να δείτε, ο τρόπος επίλυσης των περισσότερων προβλημάτων για τον τύπο του ντος μέλους μιας γεωμετρικής προόδου είναι πάντα ο ίδιος: διαβάζουμε προσεχτικάκατάσταση του προβλήματος και, χρησιμοποιώντας τον τύπο του nου όρου, μεταφράζουμε όλες τις χρήσιμες πληροφορίες σε καθαρή άλγεβρα.

Και συγκεκριμένα:

1) Γράφουμε ξεχωριστά κάθε μέλος που δίνεται στο πρόβλημα σύμφωνα με τον τύποnτο μέλος.

2) Από την συνθήκη του προβλήματος, μεταφράζουμε τη σύνδεση μεταξύ των μελών σε μαθηματική μορφή. Συνθέτουμε μια εξίσωση ή ένα σύστημα εξισώσεων.

3) Λύνουμε την εξίσωση ή σύστημα εξισώσεων που προκύπτει, βρίσκουμε τις άγνωστες παραμέτρους της προόδου.

4) Σε περίπτωση διφορούμενης απάντησης, διαβάζουμε προσεκτικά την κατάσταση του προβλήματος αναζητώντας πρόσθετες πληροφορίες (εάν υπάρχουν). Ελέγχουμε επίσης τη ληφθείσα απάντηση με τους όρους του ODZ (αν υπάρχουν).

Και τώρα παραθέτουμε τα κύρια προβλήματα που οδηγούν συχνότερα σε σφάλματα στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων γεωμετρικής προόδου.

1. Στοιχειώδης αριθμητική. Πράξεις με κλάσματα και αρνητικούς αριθμούς.

2. Εάν τουλάχιστον ένα από αυτά τα τρία σημεία είναι πρόβλημα, τότε αναπόφευκτα θα κάνετε λάθος σε αυτό το θέμα. Δυστυχώς... Μην τεμπελιάζετε λοιπόν και επαναλάβετε όσα αναφέρθηκαν παραπάνω. Και ακολουθήστε τους συνδέσμους - πηγαίνετε. Μερικές φορές βοηθάει.)

Τροποποιημένοι και επαναλαμβανόμενοι τύποι.

Και τώρα ας δούμε μερικά τυπικά προβλήματα εξετάσεων με μια λιγότερο οικεία παρουσίαση της πάθησης. Ναι, ναι, το μαντέψατε! Αυτό τροποποιήθηκεΚαι επαναλαμβανόμενοςτύπους του ν ου μέλους. Έχουμε ήδη συναντήσει τέτοιους τύπους και έχουμε εργαστεί σε αριθμητική πρόοδο. Όλα είναι παρόμοια εδώ. Η ουσία είναι η ίδια.

Για παράδειγμα, ένα τέτοιο πρόβλημα από το OGE:

Η γεωμετρική πρόοδος δίνεται από τον τύπο b n = 3 2 n . Να βρείτε το άθροισμα του πρώτου και του τέταρτου όρου.

Αυτή τη φορά η εξέλιξη δεν μας δίνεται όπως συνήθως. Κάποιο είδος φόρμουλας. Και λοιπόν? Αυτή η φόρμουλα είναι επίσης μια φόρμουλαnτο μέλος!Όλοι γνωρίζουμε ότι ο τύπος του nου όρου μπορεί να γραφτεί τόσο σε γενική μορφή, μέσω γραμμάτων, όσο και για συγκεκριμένη εξέλιξη. ΜΕ ειδικόςπρώτος όρος και παρονομαστής.

Στην περίπτωσή μας, στην πραγματικότητα, μας δίνεται ένας γενικός τύπος όρου για μια γεωμετρική πρόοδο με τις ακόλουθες παραμέτρους:

σι 1 = 6

q = 2

Ας ελέγξουμε;) Ας γράψουμε τον τύπο του nου όρου σε γενική μορφή και ας τον αντικαταστήσουμε σι 1 Και q. Παίρνουμε:

b n = σι 1 · q n -1

b n= 6 2n -1

Απλοποιούμε, χρησιμοποιώντας ιδιότητες παραγοντοποίησης και ισχύος, και παίρνουμε:

b n= 6 2n -1 = 3 2 2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα είναι δίκαια. Αλλά ο στόχος μας μαζί σας δεν είναι να αποδείξουμε την παραγωγή ενός συγκεκριμένου τύπου. Αυτό είναι έτσι, μια λυρική παρέκβαση. Καθαρά για κατανόηση.) Στόχος μας είναι να λύσουμε το πρόβλημα σύμφωνα με τον τύπο που μας δίνεται στη συνθήκη. Το πιάνεις;) Οπότε εργαζόμαστε απευθείας με τον τροποποιημένο τύπο.

Μετράμε τον πρώτο όρο. Υποκατάστατο n=1 στον γενικό τύπο:

σι 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Σαν αυτό. Παρεμπιπτόντως, δεν είμαι πολύ τεμπέλης και για άλλη μια φορά θα επιστήσω την προσοχή σας σε μια τυπική γκάφα με τον υπολογισμό του πρώτου όρου. ΜΗΝ κοιτάτε τον τύπο b n= 3 2n, βιαστείτε αμέσως να γράψετε ότι το πρώτο μέλος είναι τρόικα! Είναι μεγάλο λάθος, ναι...)

Συνεχίζουμε. Υποκατάστατο n=4 και σκεφτείτε τον τέταρτο όρο:

σι 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

Και τέλος, υπολογίζουμε το απαιτούμενο ποσό:

σι 1 + σι 4 = 6+48 = 54

Απάντηση: 54

Άλλο πρόβλημα.

Η γεωμετρική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες:

σι 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Βρείτε τον τέταρτο όρο της προόδου.

Εδώ η πρόοδος δίνεται από τον επαναλαμβανόμενο τύπο. Καλά εντάξει.) Πώς να εργαστείτε με αυτόν τον τύπο - ξέρουμε κι εμείς.

Εδώ ενεργούμε. Βήμα βήμα.

1) μετρώντας δύο διαδοχικόςμέλος της προόδου.

Ο πρώτος όρος μας έχει ήδη δοθεί. Μείον επτά. Αλλά ο επόμενος, δεύτερος όρος, μπορεί εύκολα να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον αναδρομικό τύπο. Αν καταλαβαίνετε πώς λειτουργεί, φυσικά.)

Εδώ εξετάζουμε τον δεύτερο όρο σύμφωνα με το γνωστό πρώτο:

σι 2 = 3 σι 1 = 3 (-7) = -21

2) Θεωρούμε τον παρονομαστή της προόδου

Επίσης κανένα πρόβλημα. Κατευθείαν, μοιραστείτε δεύτεροςπουλί επάνω πρώτα.

Παίρνουμε:

q = -21/(-7) = 3

3) Γράψτε τον τύποnτο μέλος στη συνήθη μορφή και εξετάστε το επιθυμητό μέλος.

Έτσι, γνωρίζουμε τον πρώτο όρο, τον παρονομαστή επίσης. Εδώ γράφουμε:

b n= -7 3n -1

σι 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

Απάντηση: -189

Όπως μπορείτε να δείτε, η εργασία με τέτοιους τύπους για μια γεωμετρική πρόοδο ουσιαστικά δεν διαφέρει από αυτήν για μια αριθμητική πρόοδο. Είναι σημαντικό μόνο να κατανοήσουμε τη γενική ουσία και το νόημα αυτών των τύπων. Λοιπόν, η έννοια της γεωμετρικής προόδου πρέπει επίσης να γίνει κατανοητή, ναι.) Και τότε δεν θα υπάρχουν ανόητα λάθη.

Λοιπόν, ας αποφασίσουμε μόνοι μας;)

Αρκετά στοιχειώδεις εργασίες, για προθέρμανση:

1. Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος στην οποία σι 1 = 243, και q = -2/3. Βρείτε τον έκτο όρο της προόδου.

2. Ο κοινός όρος μιας γεωμετρικής προόδου δίνεται από τον τύπο b n = 5∙2 n +1 . Βρείτε τον αριθμό του τελευταίου τριψήφιου μέλους αυτής της προόδου.

3. Η γεωμετρική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες:

σι 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Βρείτε τον πέμπτο όρο της προόδου.

Λίγο πιο περίπλοκο:

4. Δίνεται μια γεωμετρική πρόοδος:

σι 1 =2048; q =-0,5

Ποιος είναι ο έκτος αρνητικός όρος του;

Τι φαίνεται εξαιρετικά δύσκολο; Καθόλου. Η λογική και η κατανόηση της έννοιας της γεωμετρικής προόδου θα σώσει. Λοιπόν, ο τύπος του nου όρου, φυσικά.

5. Ο τρίτος όρος της γεωμετρικής προόδου είναι -14 και ο όγδοος όρος είναι 112. Βρείτε τον παρονομαστή της προόδου.

6. Το άθροισμα του πρώτου και του δεύτερου όρου μιας γεωμετρικής προόδου είναι 75 και το άθροισμα του δεύτερου και του τρίτου όρου είναι 150. Βρείτε τον έκτο όρο της προόδου.

Απαντήσεις (σε αταξία): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Αυτό είναι σχεδόν όλο. Μένει μόνο να μάθουμε πώς να μετράμε το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας γεωμετρικής προόδουναι ανακαλύψτε απείρως φθίνουσα γεωμετρική πρόοδοκαι το ποσό του. Ένα πολύ ενδιαφέρον και ασυνήθιστο πράγμα, παρεμπιπτόντως! Περισσότερα για αυτό στα επόμενα μαθήματα.)

Ιδιότητες μιας γεωμετρικής προόδου

Τύπος του nου μέλους της προόδου

Για να είναι η αριθμητική ακολουθία (bn) γεωμετρική πρόοδος, είναι απαραίτητο κάθε μέλος της, ξεκινώντας από το δεύτερο, να είναι ο γεωμετρικός μέσος όρος των γειτονικών μελών. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να εκπληρωθεί η ακόλουθη εξίσωση - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), για οποιοδήποτε n>0, όπου το n ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N.

Ο τύπος για το nο μέλος μιας γεωμετρικής προόδου είναι:

bn=b1*q^(n-1), όπου το n ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N.

Εξετάστε ένα απλό παράδειγμα:

Σε γεωμετρική πρόοδο b1=6, q=3, n=8 βρείτε bn.

Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του ν-ου μέλους μιας γεωμετρικής προόδου.