Πόσοι συνδυασμοί 2 στους 10. Συνδυαστική: βασικοί κανόνες και τύποι. Μεταθέσεις και θεωρία πιθανοτήτων

Όλα τα N στοιχεία, και κανένα δεν επαναλαμβάνεται, τότε αυτό είναι το πρόβλημα του αριθμού των μεταθέσεων. Η λύση μπορεί να βρεθεί απλή. Οποιοδήποτε από τα N στοιχεία μπορεί να πάρει την πρώτη θέση στη σειρά, επομένως, λαμβάνονται N επιλογές. Στη δεύτερη θέση - οποιοδήποτε, εκτός από αυτό που έχει ήδη χρησιμοποιηθεί για την πρώτη θέση. Επομένως, για καθεμία από τις N επιλογές που έχουν ήδη βρεθεί, υπάρχουν (N - 1) επιλογές δεύτερης θέσης και ο συνολικός αριθμός συνδυασμών γίνεται N*(N - 1).
Το ίδιο μπορεί να επαναληφθεί και για τα υπόλοιπα στοιχεία της σειράς. Για την τελευταία θέση, απομένει μόνο μία επιλογή - το τελευταίο στοιχείο που απομένει. Για την προτελευταία - δύο επιλογές, και ούτω καθεξής.
Επομένως, για μια σειρά από Ν μη επαναλαμβανόμενα στοιχεία, οι πιθανές μεταθέσεις είναι ίσες με το γινόμενο όλων των ακεραίων από το 1 έως το Ν. Το γινόμενο αυτό ονομάζεται παραγοντικό του Ν και συμβολίζεται με Ν! (διαβάστε "en factorial").

Στην προηγούμενη περίπτωση, ο αριθμός των πιθανών στοιχείων και ο αριθμός των θέσεων στη σειρά συνέπιπταν και ο αριθμός τους ήταν ίσος με N. Αλλά μια κατάσταση είναι δυνατή όταν υπάρχουν λιγότερες θέσεις στη σειρά από ό, τι υπάρχουν πιθανά στοιχεία. Με άλλα λόγια, ο αριθμός των στοιχείων στο δείγμα είναι ίσος με κάποιο αριθμό M και M< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
Πρώτον, μπορεί να είναι απαραίτητο να μετρηθεί ο συνολικός αριθμός των πιθανών τρόπων με τους οποίους μπορούν να τακτοποιηθούν σε μια σειρά στοιχεία M από το N. Αυτοί οι τρόποι ονομάζονται τοποθετήσεις.
Δεύτερον, ο ερευνητής μπορεί να ενδιαφέρεται για τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορούν να επιλεγούν στοιχεία M από το N. Στην περίπτωση αυτή, η σειρά των στοιχείων δεν είναι πλέον σημαντική, αλλά οποιεσδήποτε δύο επιλογές πρέπει να διαφέρουν μεταξύ τους κατά τουλάχιστον ένα στοιχείο . Τέτοιες μέθοδοι ονομάζονται συνδυασμοί.

Για να βρούμε τον αριθμό των τοποθετήσεων των στοιχείων Μ εκτός του Ν, μπορεί κανείς να καταφύγει στον ίδιο τρόπο συλλογισμού όπως στην περίπτωση των μεταθέσεων. Στην πρώτη θέση, μπορεί να υπάρχουν ακόμα N στοιχεία, στη δεύτερη (N - 1) και ούτω καθεξής. Αλλά για την τελευταία θέση, ο αριθμός των πιθανών επιλογών δεν είναι μία, αλλά (N - M + 1), γιατί όταν ολοκληρωθεί η τοποθέτηση, θα εξακολουθούν να υπάρχουν (N - M) αχρησιμοποίητα στοιχεία.
Έτσι, ο αριθμός των τοποθετήσεων σε M στοιχεία από το N είναι ίσος με το γινόμενο όλων των ακεραίων από (N - M + 1) έως N, ή, ισοδύναμα, το πηλίκο N!/(N - M)!.

Προφανώς, ο αριθμός των συνδυασμών των στοιχείων Μ από το Ν θα είναι μικρότερος από τον αριθμό των τοποθετήσεων. Για κάθε πιθανό συνδυασμό, υπάρχει ένα Μ! πιθανές τοποθετήσεις ανάλογα με τη σειρά των στοιχείων αυτού του συνδυασμού. Επομένως, για να βρείτε αυτόν τον αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό των τοποθετήσεων στα στοιχεία M από το N με το N!. Με άλλα λόγια, ο αριθμός των συνδυασμών των M στοιχείων από το N είναι N!/(M!*(N - M)!).

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ

Η συνδυαστική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τα προβλήματα επιλογής και τακτοποίησης στοιχείων από κάποιο βασικό σύνολο σύμφωνα με δεδομένους κανόνες. Οι τύποι και οι αρχές της συνδυαστικής χρησιμοποιούνται στη θεωρία πιθανοτήτων για τον υπολογισμό της πιθανότητας τυχαίων γεγονότων και, κατά συνέπεια, για τη λήψη των νόμων κατανομής των τυχαίων μεταβλητών. Αυτό, με τη σειρά του, καθιστά δυνατή τη μελέτη των νόμων των μαζικών τυχαίων φαινομένων, κάτι που είναι πολύ σημαντικό για τη σωστή κατανόηση των στατιστικών νόμων που εκδηλώνονται στη φύση και την τεχνολογία.

Κανόνες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού στη συνδυαστική

Κανόνας αθροίσματος. Εάν δύο ενέργειες Α και Β είναι αμοιβαία αποκλειόμενες και η ενέργεια Α μπορεί να εκτελεστεί με m τρόπους και η Β με n τρόπους, τότε οποιαδήποτε από αυτές τις ενέργειες (είτε Α είτε Β) μπορεί να εκτελεστεί με n + m τρόπους.

Παράδειγμα 1

Υπάρχουν 16 αγόρια και 10 κορίτσια στην τάξη. Με πόσους τρόπους μπορεί να διοριστεί ένας συνοδός;

Λύση

Μπορείτε να ορίσετε είτε αγόρι είτε κορίτσι σε υπηρεσία, δηλ. οποιοδήποτε από τα 16 αγόρια ή οποιοδήποτε από τα 10 κορίτσια μπορεί να είναι σε υπηρεσία.

Σύμφωνα με τον κανόνα του αθροίσματος, παίρνουμε ότι ένας αξιωματικός υπηρεσίας μπορεί να ανατεθεί με 16+10=26 τρόπους.

Κανόνας προϊόντος. Έστω ότι απαιτείται η διαδοχική εκτέλεση k ενεργειών. Εάν η πρώτη ενέργεια μπορεί να εκτελεστεί με n 1 τρόπους, η δεύτερη ενέργεια με n 2 τρόπους, η τρίτη με n 3 τρόπους και ούτω καθεξής μέχρι την kth ενέργεια που μπορεί να εκτελεστεί με n k τρόπους, τότε όλες οι k ενέργειες μαζί μπορούν να γίνουν εκτελούνται:

τρόπους.

Παράδειγμα 2

Υπάρχουν 16 αγόρια και 10 κορίτσια στην τάξη. Με πόσους τρόπους μπορούν να διοριστούν δύο συνοδοί;

Λύση

Ο πρώτος που θα εφημερεύει μπορεί να είναι είτε αγόρι είτε κορίτσι. Επειδή υπάρχουν 16 αγόρια και 10 κορίτσια στην τάξη, τότε μπορείτε να διορίσετε τον πρώτο αξιωματικό υπηρεσίας με 16 + 10 = 26 τρόπους.

Αφού επιλέξουμε τον πρώτο αξιωματικό υπηρεσίας, μπορούμε να επιλέξουμε τον δεύτερο από τα υπόλοιπα 25 άτομα, δηλ. 25 τρόποι.

Με το θεώρημα του πολλαπλασιασμού μπορούν να επιλεγούν δύο συνακόλουθοι με 26*25=650 τρόπους.

Συνδυασμοί χωρίς επανάληψη. Συνδυασμοί με επαναλήψεις

Το κλασικό πρόβλημα της συνδυαστικής είναι το πρόβλημα του αριθμού των συνδυασμών χωρίς επαναλήψεις, το περιεχόμενο του οποίου μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: πόσα τρόπους Μπορώ επιλέγω μ. από n διαφορετικά είδη?

Παράδειγμα 3

Πρέπει να επιλέξετε 4 από τα 10 διαφορετικά βιβλία που διατίθενται ως δώρο. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Λύση

Πρέπει να διαλέξουμε 4 στα 10 βιβλία και η σειρά επιλογής δεν έχει σημασία. Έτσι, πρέπει να βρείτε τον αριθμό των συνδυασμών 10 στοιχείων κατά 4:

.

Εξετάστε το πρόβλημα του αριθμού των συνδυασμών με επαναλήψεις: υπάρχουν r πανομοιότυπα αντικείμενα καθενός από n διαφορετικούς τύπους. πόσα τρόπους Μπορώ επιλέγω m() από αυτά τα (n*r) είδη;

.

Παράδειγμα 4

Το ζαχαροπλαστείο πουλούσε 4 είδη κέικ: ναπολεόν, εκλέρ, κουλουράκια και σφολιάτα. Με πόσους τρόπους μπορούν να αγοραστούν 7 κέικ;

Λύση

Επειδή μεταξύ 7 κέικ μπορεί να υπάρχουν κέικ της ίδιας ποικιλίας, τότε ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να αγοραστούν 7 κέικ καθορίζεται από τον αριθμό των συνδυασμών με επαναλήψεις από 7 έως 4.

.

Τοποθετήσεις χωρίς επανάληψη. Τοποθετήσεις με επαναλήψεις

Το κλασικό πρόβλημα της συνδυαστικής είναι το πρόβλημα του αριθμού των τοποθετήσεων χωρίς επαναλήψεις, το περιεχόμενο του οποίου μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: πόσα τρόπους Μπορώ επιλέγω Και θέση Με μ διαφορετικά μέρη μ. από n διαφορετικά αντικείμενα;

Παράδειγμα 5

Κάποια εφημερίδα έχει 12 σελίδες. Είναι απαραίτητο να τοποθετηθούν τέσσερις φωτογραφίες στις σελίδες αυτής της εφημερίδας. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό εάν καμία σελίδα της εφημερίδας δεν πρέπει να περιέχει περισσότερες από μία φωτογραφίες;

Λύση.

Σε αυτό το πρόβλημα, δεν επιλέγουμε απλώς φωτογραφίες, αλλά τις τοποθετούμε σε ορισμένες σελίδες της εφημερίδας και κάθε σελίδα της εφημερίδας δεν πρέπει να περιέχει περισσότερες από μία φωτογραφίες. Έτσι, το πρόβλημα μειώνεται στο κλασικό πρόβλημα του προσδιορισμού του αριθμού των τοποθετήσεων χωρίς επαναλήψεις από 12 στοιχεία κατά 4 στοιχεία:

Έτσι, 4 φωτογραφίες σε 12 σελίδες μπορούν να ταξινομηθούν με 11880 τρόπους.

Επίσης, το κλασικό καθήκον της συνδυαστικής είναι το πρόβλημα του αριθμού των τοποθετήσεων με επαναλήψεις, το περιεχόμενο του οποίου μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: πόσα τρόπους Μπορώ Εσείςσιστρατός Και θέση Με μ διαφορετικά μέρη μ. από n στοιχείαΜεredi οι οποίες Υπάρχει το ίδιο?

Παράδειγμα 6

Το αγόρι είχε γραμματόσημα με τους αριθμούς 1, 3 και 7 από το σετ για το επιτραπέζιο παιχνίδι. Αποφάσισε να χρησιμοποιήσει αυτά τα γραμματόσημα για να βάλει πενταψήφιους αριθμούς σε όλα τα βιβλία - για να συντάξει έναν κατάλογο. Πόσους διαφορετικούς πενταψήφιους αριθμούς μπορεί να κάνει το αγόρι;

Μεταθέσεις χωρίς επανάληψη. Μεταθέσεις με επαναλήψεις

Το κλασικό πρόβλημα της συνδυαστικής είναι το πρόβλημα του αριθμού των μεταθέσεων χωρίς επανάληψη, το περιεχόμενο του οποίου μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: πόσα τρόπους Μπορώ θέση n διάφορος είδη επί n διαφορετικά μέρη;

Παράδειγμα 7

Πόσες τετραγράμματες «λέξεις» μπορούν να γίνουν από τα γράμματα της λέξης «γάμος»;

Λύση

Το γενικό σύνολο είναι 4 γράμματα της λέξης "γάμος" ​​(b, p, a, k). Ο αριθμός των «λέξεων» καθορίζεται από τις μεταθέσεις αυτών των 4 γραμμάτων, δηλ.

Για την περίπτωση που μεταξύ των επιλεγμένων n στοιχείων υπάρχουν τα ίδια (επιλογή με επιστροφή), το πρόβλημα του αριθμού των μεταθέσεων με επαναλήψεις μπορεί να εκφραστεί με την ερώτηση: Με πόσους τρόπους μπορούν n αντικείμενα να αναδιαταχθούν σε n διαφορετικές θέσεις εάν μεταξύ n αντικειμένων υπάρχουν k διαφορετικοί τύποι (k< n), т. е. есть одинаковые предметы.

Παράδειγμα 8

Πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί γραμμάτων μπορούν να γίνουν από τα γράμματα της λέξης «Μισισιπής»;

Λύση

Υπάρχει 1 γράμμα "m", 4 γράμματα "i", 3 γράμματα "γ" και 1 γράμμα "p", 9 γράμματα συνολικά. Επομένως, ο αριθμός των μεταθέσεων με επαναλήψεις είναι

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΙΣΤΟΡΙΚΟΥ ΣΤΗΝ ΕΝΟΤΗΤΑ "ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ"

Οι φιλοι! Επειδή έχω ήδη αυτό το νεκρό σημειωματάριο, το χρησιμοποιώ για να σας ρωτήσω ένα πρόβλημα με το οποίο αγωνίστηκαν χθες τρεις φυσικοί, δύο οικονομολόγοι, ένας από το Πολυτεχνείο και ένας από τις ανθρωπιστικές επιστήμες. Σπάσαμε ολόκληρο τον εγκέφαλό μας και παίρνουμε συνεχώς διαφορετικά αποτελέσματα. Ίσως υπάρχουν προγραμματιστές και μαθηματικές ιδιοφυΐες ανάμεσά σας, εξάλλου, το πρόβλημα είναι γενικά σχολικό και πολύ εύκολο, απλά δεν έχουμε τύπο. Γιατί παρατήσαμε τις ακριβείς επιστήμες και αντ' αυτού, για κάποιο λόγο, γράφουμε βιβλία και ζωγραφίζουμε. Συγνώμη.

Λοιπόν, παρασκήνιο.

Μου έδωσαν μια νέα τραπεζική κάρτα και, ως συνήθως, μάντεψα αβίαστα τον κωδικό pin της. Όχι όμως στη σειρά. Δηλαδή, ας πούμε ότι ο κωδικός pin ήταν 8794, και κάλεσα το 9748. Δηλαδή θριαμβευτικά μάντεψε όλους τους αριθμούςπου περιέχεται στον δεδομένο τετραψήφιο αριθμό. Λοιπον ναι, όχι απλώς έναν αριθμό, αλλά απλά τα συστατικά του στοαναρωτήθηκε. Αλλά τα νούμερα είναι όλα αληθινά! ΣΗΜΕΙΩΣΗ - Ενέργησα τυχαία, δηλαδή, δεν χρειάστηκε να βάλω τους ήδη γνωστούς αριθμούς στη σωστή σειρά, απλώς ενεργούσα με το πνεύμα: εδώ υπάρχουν τέσσερις άγνωστοι αριθμοί και πιστεύω ότι μεταξύ αυτών μπορεί να υπάρχουν να είναι 9, 7, 4 και 8 και η σειρά τους δεν είναι σημαντική.Αμέσως αναρωτηθήκαμε Πόσες επιλογές είχα(μάλλον για να καταλάβω πόσο cool είναι που το πήρα και το μάντεψα). Δηλαδή από πόσους συνδυασμούς τεσσάρων αριθμών έπρεπε να διαλέξω; Και μετά, φυσικά, άρχισε η κόλαση. Τα κεφάλια μας εξερράγησαν όλο το βράδυ και όλοι, ως αποτέλεσμα, έβγαλαν εντελώς διαφορετικές απαντήσεις! Άρχισα μάλιστα να γράφω όλους αυτούς τους συνδυασμούς σε ένα σημειωματάριο στη σειρά καθώς αυξάνονταν, αλλά στα τετρακόσια κατάλαβα ότι ήταν περισσότεροι από τετρακόσιοι (σε ​​κάθε περίπτωση, αυτό διέψευσε την απάντηση του φυσικού Thrash, ο οποίος με διαβεβαίωσε ότι Υπήρχαν τετρακόσιοι συνδυασμοί, αλλά και πάλι δεν είναι ξεκάθαρο) - και εγκατέλειψε.

Πράγματι, ουσία της ερώτησης.Ποια είναι η πιθανότητα να μαντέψουμε (με οποιαδήποτε σειρά) τους τέσσερις αριθμούς που περιέχονται σε έναν τετραψήφιο αριθμό;

Ή όχι, ας το ξαναδιατυπώσουμε (είμαι ανθρωπιστής, συγγνώμη, αν και πάντα είχα τεράστια αδυναμία στα μαθηματικά) για να το κάνουμε όλο και πιο ξεκάθαρο. Πόσα δεν επαναλαμβάνεταισυνδυασμοί αριθμών που περιέχονται σε μια σειρά από τακτικούς αριθμούς από το 0 έως το 9999; ( παρακαλώ μην το συγχέετε με την ερώτηση «πόσοι συνδυασμοί δεν επαναλαμβάνεταινούμερα»!!! οι αριθμοί μπορούν να επαναληφθούν! Εννοώ, το 2233 και το 3322 είναι ο ίδιος συνδυασμός σε αυτήν την περίπτωση!!).

Ή πιο συγκεκριμένα. Πρέπει να μαντέψω έναν αριθμό στους δέκα τέσσερις φορές. Όχι όμως στη σειρά.

Λοιπόν, ή κάτι άλλο. Σε γενικές γραμμές, πρέπει να μάθετε πόσες επιλογές για τον αριθμητικό συνδυασμό που είχα, που σχημάτισαν τον κωδικό pin της κάρτας. Βοήθεια, καλοί άνθρωποι! Απλά παρακαλώ, βοηθώντας, μην αρχίσετε αμέσως να γράφετε ότι υπάρχουν 9999 επιλογές για αυτές(χθες αυτό ήρθε στο μυαλό όλων αρχικά) γιατί αυτό είναι ανοησία - εξάλλου, στην προοπτική που μας ανησυχεί, ο αριθμός 1234, ο αριθμός 3421, ο αριθμός 4312 και ούτω καθεξής είναι ένα και το αυτό! Λοιπόν, ναι, οι αριθμοί μπορούν να επαναληφθούν, επειδή υπάρχει ένας κωδικός pin 1111 ή εκεί, για παράδειγμα, 0007. Μπορείτε να φανταστείτε έναν αριθμό αυτοκινήτου αντί για έναν κωδικό PIN. Ας υποθέσουμε, ποια είναι η πιθανότητα να μαντέψουμε όλα τα μονοψήφια ψηφία που απαρτίζουν τον αριθμό του αυτοκινήτου; Ή, για να εξαλείψω εντελώς τη θεωρία των πιθανοτήτων - από πόσους αριθμητικούς συνδυασμούς έπρεπε να διαλέξω έναν;

Υποστηρίξτε τις απαντήσεις και το σκεπτικό σας με μερικούς ακριβείς τύπους, γιατί χθες παραλίγο να χάσαμε τα μυαλά μας. Ευχαριστώ πολύ εκ των προτέρων σε όλους!

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ. Ένας έξυπνος άνθρωπος, προγραμματιστής, καλλιτέχνης και εφευρέτης, απλώς πρότεινε πολύ σωστά τη σωστή λύση στο πρόβλημα, δίνοντάς μου μερικά λεπτά υπέροχης διάθεσης: " η λύση στο πρόβλημα είναι η εξής: έχει μια ιδεοψυχαναγκαστική διαταραχή, η θεραπεία είναι η εξής: παντρευτείτε και ντοματίνια. Αν ήμουν εγώ στη θέση της, θα με απασχολούσε περισσότερο όχι η ερώτηση «ποια είναι η πιθανότητα», αλλά η ερώτηση «δίνω προσοχή σε όλους αυτούς τους αριθμούς»;Γενικά, δεν υπάρχει τίποτα να προσθέσω :)

Η αριθμομηχανή παρακάτω έχει σχεδιαστεί για να δημιουργεί όλους τους συνδυασμούς n επί m στοιχείων.
Ο αριθμός τέτοιων συνδυασμών μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή Elements of Combinatorics. Μεταθέσεις, τοποθετήσεις, συνδυασμοί.

Περιγραφή του αλγορίθμου παραγωγής κάτω από την αριθμομηχανή.

Αλγόριθμος

Οι συνδυασμοί δημιουργούνται με λεξικογραφική σειρά. Ο αλγόριθμος λειτουργεί με τους τακτικούς δείκτες των στοιχείων του συνόλου.
Ας εξετάσουμε τον αλγόριθμο με ένα παράδειγμα.
Για ευκολία παρουσίασης, εξετάστε ένα σύνολο πέντε στοιχείων των οποίων οι δείκτες ξεκινούν με 1, δηλαδή, 1 2 3 4 5.
Απαιτείται η δημιουργία όλων των συνδυασμών μεγέθους m = 3.
Αρχικά, αρχικοποιείται ο πρώτος συνδυασμός του δεδομένου μεγέθους m - δείκτες σε αύξουσα σειρά
1 2 3
Στη συνέχεια, ελέγχεται το τελευταίο στοιχείο, δηλαδή i = 3. Εάν η τιμή του είναι μικρότερη από n - m + i, τότε αυξάνεται κατά 1.
1 2 4
Το τελευταίο στοιχείο ελέγχεται ξανά και ξανά αυξάνεται.
1 2 5
Τώρα η τιμή του στοιχείου είναι ίση με τη μέγιστη δυνατή: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, ελέγχεται το προηγούμενο στοιχείο με i = 2.
Αν η τιμή του είναι μικρότερη από n - m + i, τότε αυξάνεται κατά 1 και για όλα τα στοιχεία που το ακολουθούν, η τιμή είναι ίση με την τιμή του προηγούμενου στοιχείου συν 1.
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
Στη συνέχεια ελέγχουμε ξανά για i = 3.
1 3 5
Στη συνέχεια - ελέγξτε για i = 2.
1 4 5
Μετά έρχεται η στροφή i = 1.
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
Και επιπλέον,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - ο τελευταίος συνδυασμός, αφού όλα τα στοιχεία του είναι ίσα με n - m + i.

Παρά τον σημαντικό ρόλο των PIN στην παγκόσμια υποδομή, δεν έχει διεξαχθεί ακόμη ακαδημαϊκή έρευνα σχετικά με τον τρόπο με τον οποίο οι άνθρωποι επιλέγουν πραγματικά τους κωδικούς PIN.

Οι ερευνητές του Πανεπιστημίου του Κέμπριτζ, Sören Preibusch και Ross Anderson, διόρθωσαν την κατάσταση δημοσιεύοντας την πρώτη ποσοτική ανάλυση στον κόσμο σχετικά με τη δυσκολία να μαντέψεις ένα 4ψήφιο PIN τράπεζας.

Χρησιμοποιώντας δεδομένα για διαρροές κωδικών πρόσβασης από μη τραπεζικές πηγές και διαδικτυακές έρευνες, οι ερευνητές διαπίστωσαν ότι οι χρήστες λαμβάνουν πολύ πιο σοβαρά την επιλογή κωδικών PIN από την επιλογή κωδικών πρόσβασης για ιστότοπους: οι περισσότεροι κωδικοί περιέχουν ένα σχεδόν τυχαίο σύνολο αριθμών. Ωστόσο, μεταξύ των αρχικών δεδομένων υπάρχουν τόσο απλοί συνδυασμοί όσο και γενέθλια - δηλαδή, με λίγη τύχη, ένας εισβολέας μπορεί απλά να μαντέψει τον πολυπόθητο κωδικό.

Το σημείο εκκίνησης της μελέτης ήταν ένα σύνολο 4-ψήφιων ακολουθιών κωδικών πρόσβασης από τη βάση δεδομένων RockYou (1,7 εκατομμύρια) και μια βάση δεδομένων 200 χιλιάδων κωδικών PIN από το πρόγραμμα κλειδώματος οθόνης του iPhone (η βάση δεδομένων παρέχεται από τον προγραμματιστή της εφαρμογής Daniel Amitay) . Τα γραφήματα που βασίζονται σε αυτά τα δεδομένα δείχνουν ενδιαφέροντα μοτίβα - ημερομηνίες, έτη, επαναλαμβανόμενους αριθμούς, ακόμη και κωδικούς PIN που τελειώνουν σε 69. Με βάση αυτές τις παρατηρήσεις, οι επιστήμονες κατασκεύασαν ένα μοντέλο γραμμικής παλινδρόμησης που υπολογίζει τη δημοτικότητα κάθε PIN ανάλογα με 25 παράγοντες, όπως π.χ. εάν ο κώδικας είναι ημερομηνία σε μορφή DDMM, αν είναι αύξουσα ακολουθία κ.ο.κ. Αυτές οι γενικές προϋποθέσεις πληρούνται από το 79% και το 93% των κωδικών PIN σε καθένα από τα σετ.

Έτσι, οι χρήστες επιλέγουν 4ψήφιους κωδικούς με βάση μερικούς απλούς παράγοντες. Εάν οι κωδικοί PIN της τράπεζας επιλέγονταν με αυτόν τον τρόπο, το 8-9% από αυτούς θα μπορούσαν να μαντευτούν σε μόλις τρεις προσπάθειες! Αλλά, φυσικά, οι άνθρωποι είναι πολύ πιο προσεκτικοί στους τραπεζικούς κωδικούς. Ελλείψει οποιουδήποτε μεγάλου συνόλου πραγματικών τραπεζικών δεδομένων, οι ερευνητές πήραν συνεντεύξεις με περισσότερα από 1.300 άτομα για να αξιολογήσουν πόσο διαφέρουν οι πραγματικοί κωδικοί PIN από αυτούς που έχουν ήδη εξεταστεί. Δεδομένων των ιδιαιτεροτήτων της μελέτης, οι ερωτηθέντες δεν ρωτήθηκαν για τους ίδιους τους κωδικούς, αλλά μόνο για τη συμμόρφωσή τους με κάποιον από τους παραπάνω παράγοντες (αύξηση, μορφή DDMM κ.λπ.).

Αποδείχθηκε ότι οι άνθρωποι είναι πραγματικά πολύ πιο προσεκτικοί στην επιλογή κωδικών PIN τραπεζών. Περίπου το ένα τέταρτο των ερωτηθέντων χρησιμοποιεί ένα τυχαίο PIN που δημιουργείται από μια τράπεζα. Περισσότεροι από το ένα τρίτο επιλέγουν το PIN τους χρησιμοποιώντας έναν παλιό αριθμό τηλεφώνου, αριθμό φοιτητικής ταυτότητας ή κάποιο άλλο σύνολο αριθμών που φαίνεται τυχαίο. Σύμφωνα με τα αποτελέσματα, το 64% των κατόχων καρτών χρησιμοποιεί έναν ψευδοτυχαίο κωδικό PIN, που είναι πολύ περισσότερο από 23-27% σε προηγούμενα πειράματα με μη τραπεζικούς κωδικούς. Ένα άλλο 5% χρησιμοποιεί ένα μοτίβο αριθμών (π.χ. 4545) και το 9% προτιμά ένα μοτίβο πληκτρολογίου (π.χ. 2684). Γενικά, ένας εισβολέας με έξι προσπάθειες (τρεις με ΑΤΜ και τρεις με τερματικό πληρωμής) έχει λιγότερες από 2% πιθανότητες να μαντέψει το PIN της κάρτας κάποιου άλλου.

Τα 100 πιο δημοφιλή PIN

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ.Στην πράξη, φυσικά, είναι πολύ πιο εύκολο για έναν εισβολέα να κατασκοπεύσει το PIN σας παρά να το μαντέψει. Αλλά μπορείτε επίσης να προστατεύσετε τον εαυτό σας από τα κρυφά μάτια - ακόμα και, φαίνεται, σε μια απελπιστική κατάσταση:

Η συνδυαστική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά ερωτήματα σχετικά με το πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί, υπό ορισμένες συνθήκες, μπορούν να γίνουν από δεδομένα αντικείμενα. Τα βασικά στοιχεία της συνδυαστικής είναι πολύ σημαντικά για την εκτίμηση των πιθανοτήτων τυχαίων γεγονότων, επειδή Είναι αυτοί που καθιστούν δυνατό τον υπολογισμό του βασικά δυνατού αριθμού διαφορετικών σεναρίων για την εξέλιξη των γεγονότων.

Βασικός τύπος συνδυαστικής

Έστω k ομάδες στοιχείων, και η i-η ομάδα αποτελείται από n i στοιχεία. Ας επιλέξουμε ένα στοιχείο από κάθε ομάδα. Τότε ο συνολικός αριθμός N των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γίνει μια τέτοια επιλογή προσδιορίζεται από τη σχέση N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .

Παράδειγμα 1Ας εξηγήσουμε αυτόν τον κανόνα με ένα απλό παράδειγμα. Έστω δύο ομάδες στοιχείων, η πρώτη ομάδα αποτελείται από n 1 στοιχεία και η δεύτερη - από n 2 στοιχεία. Πόσα διαφορετικά ζεύγη στοιχείων μπορούν να γίνουν από αυτές τις δύο ομάδες, ώστε το ζεύγος να περιέχει ένα στοιχείο από κάθε ομάδα; Ας υποθέσουμε ότι πήραμε το πρώτο στοιχείο από την πρώτη ομάδα και, χωρίς να το αλλάξουμε, περάσαμε από όλα τα πιθανά ζεύγη, αλλάζοντας μόνο τα στοιχεία από τη δεύτερη ομάδα. Υπάρχουν n 2 τέτοια ζεύγη για αυτό το στοιχείο. Στη συνέχεια παίρνουμε το δεύτερο στοιχείο από την πρώτη ομάδα και φτιάχνουμε επίσης όλα τα πιθανά ζεύγη για αυτό. Θα υπάρχουν επίσης n 2 τέτοια ζευγάρια. Εφόσον υπάρχουν μόνο n 1 στοιχεία στην πρώτη ομάδα, θα υπάρχουν n 1 *n 2 πιθανές επιλογές.

Παράδειγμα 2Πόσοι τριψήφιοι ζυγοί αριθμοί μπορούν να γίνουν από τα ψηφία 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 αν τα ψηφία μπορούν να επαναληφθούν;
Λύση: n 1 \u003d 6 (αφού μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε ψηφίο από το 1, 2, 3, 4, 5, 6 ως πρώτο ψηφίο), n 2 \u003d 7 (αφού μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε ψηφίο από το 0 ως δεύτερο ψηφίο , 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (καθώς μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε ψηφίο από το 0, 2, 4, 6 ως τρίτο ψηφίο).
Άρα, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

Στην περίπτωση που όλες οι ομάδες αποτελούνται από τον ίδιο αριθμό στοιχείων, δηλ. n 1 =n 2 =...n k =n μπορούμε να υποθέσουμε ότι κάθε επιλογή γίνεται από την ίδια ομάδα και το στοιχείο επιστρέφει στην ομάδα μετά την επιλογή. Τότε ο αριθμός όλων των τρόπων επιλογής είναι ίσος με n k . Αυτός ο τρόπος επιλογής στη συνδυαστική ονομάζεται επιστροφή δειγμάτων.

Παράδειγμα 3Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 1, 5, 6, 7, 8;
Λύση.Υπάρχουν πέντε δυνατότητες για κάθε ψηφίο ενός τετραψήφιου αριθμού, άρα N=5*5*5*5=5 4 =625.

Θεωρήστε ένα σύνολο που αποτελείται από n στοιχεία. Αυτό το σύνολο στη συνδυαστική ονομάζεται γενικός πληθυσμός.

Αριθμός τοποθετήσεων από n στοιχεία κατά m

Ορισμός 1.Διαμονή από nστοιχεία από Μστη συνδυαστική ονομάζεται οποιαδήποτε παραγγελθέν σεταπό Μδιάφορα στοιχεία επιλεγμένα από τον γενικό πληθυσμό σε nστοιχεία.

Παράδειγμα 4Διαφορετικές διατάξεις τριών στοιχείων (1, 2, 3) δύο προς δύο θα είναι σύνολα (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3 , 2). Οι τοποθετήσεις μπορεί να διαφέρουν μεταξύ τους τόσο ως προς τα στοιχεία όσο και ως προς τη σειρά τους.

Ο αριθμός των τοποθετήσεων στα συνδυαστικά συμβολίζεται με A n m και υπολογίζεται από τον τύπο:

Σχόλιο: n!=1*2*3*...*n (διαβάστε: "en factorial"), επιπλέον, υποτίθεται ότι 0!=1.

Παράδειγμα 5. Πόσοι διψήφιοι αριθμοί υπάρχουν στους οποίους το ψηφίο των δεκάδων και το ψηφίο των μονάδων είναι διαφορετικά και περιττά;
Λύση:επειδή υπάρχουν πέντε περιττά ψηφία, δηλαδή 1, 3, 5, 7, 9, τότε αυτό το πρόβλημα περιορίζεται στην επιλογή και την τοποθέτηση δύο από τα πέντε διαφορετικά ψηφία σε δύο διαφορετικές θέσεις, δηλ. οι αριθμοί που δίνονται θα είναι:

Ορισμός 2. Συνδυασμόςαπό nστοιχεία από Μστη συνδυαστική ονομάζεται οποιαδήποτε σετ χωρίς παραγγελίααπό Μδιάφορα στοιχεία επιλεγμένα από τον γενικό πληθυσμό σε nστοιχεία.

Παράδειγμα 6. Για το σετ (1, 2, 3), οι συνδυασμοί είναι (1, 2), (1, 3), (2, 3).

Αριθμός συνδυασμών n στοιχείων κατά m

Ο αριθμός των συνδυασμών συμβολίζεται με C n m και υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα 7Με πόσους τρόπους μπορεί ο αναγνώστης να επιλέξει δύο βιβλία από τα έξι διαθέσιμα;

Λύση:Ο αριθμός των τρόπων είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών έξι βιβλίων επί δύο, δηλ. ισούται με:

Μεταθέσεις n στοιχείων

Ορισμός 3. Μετάθεσηαπό nστοιχεία ονομάζεται οποιοδήποτε παραγγελθέν σεταυτά τα στοιχεία.

Παράδειγμα 7α.Όλες οι πιθανές μεταθέσεις ενός συνόλου που αποτελείται από τρία στοιχεία (1, 2, 3) είναι: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

Ο αριθμός των διαφορετικών μεταθέσεων n στοιχείων συμβολίζεται με P n και υπολογίζεται με τον τύπο P n =n!.

Παράδειγμα 8Με πόσους τρόπους μπορούν να τακτοποιηθούν στη σειρά σε ένα ράφι επτά βιβλία διαφορετικών συγγραφέων;

Λύση:αυτό το πρόβλημα αφορά τον αριθμό των μεταθέσεων επτά διαφορετικών βιβλίων. Υπάρχουν P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 τρόποι για να τακτοποιήσετε τα βιβλία.

Συζήτηση.Βλέπουμε ότι ο αριθμός των πιθανών συνδυασμών μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με διαφορετικούς κανόνες (μεταθέσεις, συνδυασμοί, τοποθετήσεις) και το αποτέλεσμα θα είναι διαφορετικό, επειδή η αρχή της μέτρησης και οι ίδιοι οι τύποι είναι διαφορετικοί. Εξετάζοντας προσεκτικά τους ορισμούς, μπορείτε να δείτε ότι το αποτέλεσμα εξαρτάται από πολλούς παράγοντες ταυτόχρονα.

Πρώτον, από πόσα στοιχεία μπορούμε να συνδυάσουμε τα σύνολα τους (πόσο μεγάλος είναι ο γενικός πληθυσμός των στοιχείων).

Δεύτερον, το αποτέλεσμα εξαρτάται από το μέγεθος των συνόλων στοιχείων που χρειαζόμαστε.

Τέλος, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε αν η σειρά των στοιχείων στο σετ είναι σημαντική για εμάς. Ας εξηγήσουμε τον τελευταίο παράγοντα με το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 9Υπάρχουν 20 άτομα στη συνάντηση γονέων. Πόσες διαφορετικές επιλογές για τη σύνθεση της γονικής επιτροπής υπάρχουν εάν πρέπει να περιλαμβάνει 5 άτομα;
Λύση:Σε αυτό το παράδειγμα, δεν μας ενδιαφέρει η σειρά των ονομάτων στη λίστα επιτροπών. Εάν, ως αποτέλεσμα, εμφανίζονται τα ίδια άτομα στη σύνθεσή του, τότε όσον αφορά το νόημα για εμάς αυτή είναι η ίδια επιλογή. Επομένως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να υπολογίσουμε τον αριθμό συνδυασμοίαπό 20 στοιχεία, 5.

Τα πράγματα θα είναι διαφορετικά εάν κάθε μέλος της επιτροπής είναι αρχικά υπεύθυνο για έναν συγκεκριμένο τομέα εργασίας. Τότε με το ίδιο μισθολόγιο της επιτροπής είναι δυνατά 5 μέσα σε αυτό! επιλογές μεταθέσειςαυτό το θέμα. Ο αριθμός των διαφορετικών επιλογών (τόσο ως προς τη σύνθεση όσο και ως προς την περιοχή ευθύνης) καθορίζεται σε αυτήν την περίπτωση από τον αριθμό τοποθετήσειςαπό 20 στοιχεία, 5.

Εργασίες για αυτοέλεγχο
1. Πόσοι τριψήφιοι ζυγοί αριθμοί μπορούν να γίνουν από τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 αν οι αριθμοί μπορούν να επαναληφθούν;
Επειδή ένας ζυγός αριθμός στην τρίτη θέση μπορεί να είναι 0, 2, 4, 6, δηλ. τέσσερα ψηφία. Η δεύτερη θέση μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα επτά ψηφία. Η πρώτη θέση μπορεί να είναι οποιοδήποτε από τα επτά ψηφία εκτός από το μηδέν, δηλ. 6 δυνατότητες. Αποτέλεσμα =4*7*6=168.
2. Πόσοι πενταψήφιοι αριθμοί υπάρχουν που διαβάζονται με τον ίδιο τρόπο από αριστερά προς τα δεξιά και από τα δεξιά προς τα αριστερά;
Η πρώτη θέση μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το 0, δηλ. 9 δυνατότητες. Η δεύτερη θέση μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός, δηλ. 10 δυνατότητες. Η τρίτη θέση μπορεί επίσης να είναι οποιοσδήποτε αριθμός από, δηλ. 10 δυνατότητες. Το τέταρτο και το πέμπτο ψηφία είναι προκαθορισμένα, συμπίπτουν με το πρώτο και το δεύτερο, επομένως, ο αριθμός τέτοιων αριθμών είναι 9*10*10=900.
3. Υπάρχουν δέκα μαθήματα στην τάξη και πέντε μαθήματα την ημέρα. Με πόσους τρόπους μπορείτε να κάνετε ένα πρόγραμμα για μια μέρα;

4. Με πόσους τρόπους μπορούν να επιλεγούν 4 εκπρόσωποι για το συνέδριο εάν υπάρχουν 20 άτομα στην ομάδα;

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845.
5. Με πόσους τρόπους μπορούν να μπουν οκτώ διαφορετικά γράμματα σε οκτώ διαφορετικούς φακέλους, αν τοποθετηθεί μόνο ένα γράμμα σε κάθε φάκελο;
Στον πρώτο φάκελο, μπορείτε να βάλετε 1 από τα οκτώ γράμματα, στον δεύτερο ένα από τα επτά γράμματα που απομένουν, στον τρίτο ένα από τα έξι κ.λπ. n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320.
6. Από τρεις μαθηματικούς και δέκα οικονομολόγους είναι απαραίτητο να γίνει μια επιτροπή αποτελούμενη από δύο μαθηματικούς και έξι οικονομολόγους. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;