Τετραγωνικές εξισώσεις. Πλήρης και ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Ορισμός και παραδείγματα ημιτελών τετραγωνικών εξισώσεων Εκφράστε μια τετραγωνική εξίσωση ως προς τις ρίζες

Στη σύγχρονη κοινωνία, η ικανότητα λειτουργίας σε εξισώσεις που περιέχουν μια τετραγωνική μεταβλητή μπορεί να είναι χρήσιμη σε πολλούς τομείς δραστηριότητας και χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη στις επιστημονικές και τεχνικές εξελίξεις. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί από τον σχεδιασμό θαλάσσιων και ποτάμιων σκαφών, αεροσκαφών και πυραύλων. Με τη βοήθεια τέτοιων υπολογισμών, προσδιορίζονται οι τροχιές της κίνησης διαφόρων σωμάτων, συμπεριλαμβανομένων των διαστημικών αντικειμένων. Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στην οικονομική πρόβλεψη, στο σχεδιασμό και την κατασκευή κτιρίων, αλλά και στις πιο συνηθισμένες καθημερινές συνθήκες. Μπορεί να χρειαστούν σε εκδρομές κατασκήνωσης, σε αθλητικές εκδηλώσεις, σε καταστήματα κατά τις αγορές και σε άλλες πολύ συνηθισμένες καταστάσεις.

Ας χωρίσουμε την έκφραση σε συνιστώσες

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τη μέγιστη τιμή του βαθμού της μεταβλητής που περιέχει η δεδομένη έκφραση. Αν είναι ίση με 2, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται τετραγωνική εξίσωση.

Αν μιλάμε στη γλώσσα των τύπων, τότε αυτές οι εκφράσεις, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται, μπορούν πάντα να φέρουν τη μορφή όταν η αριστερή πλευρά της έκφρασης αποτελείται από τρεις όρους. Μεταξύ αυτών: ax 2 (δηλαδή, μια μεταβλητή σε τετράγωνο με τον συντελεστή της), bx (μια άγνωστη χωρίς τετράγωνο με τον συντελεστή της) και c (ελεύθερη συνιστώσα, δηλαδή ένας συνηθισμένος αριθμός). Όλα αυτά είναι ίσα με 0 στη δεξιά πλευρά. Στην περίπτωση που ένα τέτοιο πολυώνυμο δεν έχει έναν από τους συστατικούς όρους του, με εξαίρεση τον άξονα 2, ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση. Παραδείγματα με την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, στα οποία η τιμή των μεταβλητών δεν είναι δύσκολο να βρεθεί, θα πρέπει πρώτα να ληφθούν υπόψη.

Εάν η παράσταση μοιάζει να έχει δύο όρους στη δεξιά πλευρά της παράστασης, πιο συγκεκριμένα ax 2 και bx, είναι πιο εύκολο να βρείτε το x τοποθετώντας τη μεταβλητή σε αγκύλες. Τώρα η εξίσωσή μας θα μοιάζει με αυτό: x(ax+b). Επιπλέον, γίνεται προφανές ότι είτε x=0 είτε το πρόβλημα περιορίζεται στην εύρεση μιας μεταβλητής από την ακόλουθη παράσταση: ax+b=0. Αυτό υπαγορεύεται από μια από τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού. Ο κανόνας λέει ότι το γινόμενο δύο παραγόντων έχει ως αποτέλεσμα 0 μόνο εάν ένας από αυτούς είναι μηδέν.

Παράδειγμα

x=0 ή 8x - 3 = 0

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε δύο ρίζες της εξίσωσης: 0 και 0,375.

Εξισώσεις αυτού του είδους μπορούν να περιγράψουν την κίνηση των σωμάτων υπό τη δράση της βαρύτητας, τα οποία άρχισαν να κινούνται από ένα ορισμένο σημείο, που λαμβάνεται ως αρχή. Εδώ ο μαθηματικός συμβολισμός παίρνει την ακόλουθη μορφή: y = v 0 t + gt 2 /2. Αντικαθιστώντας τις απαραίτητες τιμές, εξισώνοντας τη δεξιά πλευρά με 0 και βρίσκοντας πιθανούς αγνώστους, μπορείτε να μάθετε τον χρόνο που έχει περάσει από τη στιγμή που το σώμα ανεβαίνει μέχρι τη στιγμή που πέφτει, καθώς και πολλές άλλες ποσότητες. Αλλά για αυτό θα μιλήσουμε αργότερα.

Παραγοντοποίηση μιας έκφρασης

Ο κανόνας που περιγράφεται παραπάνω καθιστά δυνατή την επίλυση αυτών των προβλημάτων σε πιο περίπλοκες περιπτώσεις. Εξετάστε παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων αυτού του τύπου.

X2 - 33x + 200 = 0

Αυτό το τετράγωνο τριώνυμο είναι πλήρες. Αρχικά, μετασχηματίζουμε την έκφραση και την αποσυνθέτουμε σε παράγοντες. Υπάρχουν δύο από αυτά: (x-8) και (x-25) = 0. Ως αποτέλεσμα, έχουμε δύο ρίζες 8 και 25.

Παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων στον βαθμό 9 επιτρέπουν σε αυτή τη μέθοδο να βρει μια μεταβλητή σε εκφράσεις όχι μόνο της δεύτερης, αλλά ακόμη και της τρίτης και τέταρτης τάξης.

Για παράδειγμα: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Κατά την παραγοντοποίηση της δεξιάς πλευράς σε παράγοντες με μια μεταβλητή, υπάρχουν τρεις από αυτούς, δηλαδή (x + 1), (x-3) και (x + 3).

Ως αποτέλεσμα, γίνεται προφανές ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες: -3; -1; 3.

Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας

Μια άλλη περίπτωση ημιτελούς εξίσωσης δεύτερης τάξης είναι μια έκφραση γραμμένη στη γλώσσα των γραμμάτων με τέτοιο τρόπο ώστε η δεξιά πλευρά να είναι κατασκευασμένη από τα συστατικά ax 2 και c. Εδώ, για να ληφθεί η τιμή της μεταβλητής, ο ελεύθερος όρος μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά και μετά από αυτό, η τετραγωνική ρίζα εξάγεται και από τις δύο πλευρές της ισότητας. Πρέπει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περίπτωση υπάρχουν συνήθως δύο ρίζες της εξίσωσης. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι ισότητες που δεν περιέχουν καθόλου τον όρο c, όπου η μεταβλητή είναι ίση με μηδέν, καθώς και οι παραλλαγές των παραστάσεων όταν η δεξιά πλευρά αποδεικνύεται αρνητική. Στην τελευταία περίπτωση, δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις, αφού οι παραπάνω ενέργειες δεν μπορούν να γίνουν με ρίζες. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη παραδείγματα λύσεων σε τετραγωνικές εξισώσεις αυτού του τύπου.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της εξίσωσης θα είναι οι αριθμοί -4 και 4.

Υπολογισμός της έκτασης της γης

Η ανάγκη για τέτοιου είδους υπολογισμούς εμφανίστηκε στην αρχαιότητα, επειδή η ανάπτυξη των μαθηματικών σε εκείνους τους μακρινούς χρόνους οφειλόταν σε μεγάλο βαθμό στην ανάγκη να καθοριστούν οι περιοχές και οι περιμέτρους των οικοπέδων με τη μεγαλύτερη ακρίβεια.

Θα πρέπει επίσης να εξετάσουμε παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων που συντάσσονται με βάση προβλήματα αυτού του είδους.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι υπάρχει ένα ορθογώνιο κομμάτι γης, το μήκος του οποίου είναι 16 μέτρα μεγαλύτερο από το πλάτος. Θα πρέπει να βρείτε το μήκος, το πλάτος και την περίμετρο της τοποθεσίας, εάν είναι γνωστό ότι η έκτασή της είναι 612 m 2.

Περνώντας στη δουλειά, στην αρχή θα κάνουμε την απαραίτητη εξίσωση. Ας συμβολίσουμε το πλάτος του τμήματος ως x, τότε το μήκος του θα είναι (x + 16). Από τα γραφόμενα προκύπτει ότι η περιοχή καθορίζεται από την παράσταση x (x + 16), η οποία, σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματός μας, είναι 612. Αυτό σημαίνει ότι x (x + 16) \u003d 612.

Η λύση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, και αυτή η έκφραση είναι ακριβώς αυτή, δεν μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο. Γιατί; Αν και η αριστερή πλευρά του εξακολουθεί να περιέχει δύο παράγοντες, το γινόμενο τους δεν είναι καθόλου ίσο με 0, επομένως χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι εδώ.

Διακριτικός

Πρώτα απ 'όλα, θα κάνουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς και, στη συνέχεια, η εμφάνιση αυτής της έκφρασης θα μοιάζει με αυτό: x 2 + 16x - 612 = 0. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε λάβει μια έκφραση με τη μορφή που αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο πρότυπο, όπου a=1, b=16, c= -612.

Αυτό μπορεί να είναι ένα παράδειγμα επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων μέσω του διαχωριστή. Εδώ γίνονται οι απαραίτητοι υπολογισμοί σύμφωνα με το σχήμα: D = b 2 - 4ac. Αυτή η βοηθητική τιμή όχι μόνο καθιστά δυνατή την εύρεση των επιθυμητών τιμών στην εξίσωση δεύτερης τάξης, αλλά καθορίζει τον αριθμό των πιθανών επιλογών. Στην περίπτωση D>0, υπάρχουν δύο από αυτά. για D=0 υπάρχει μία ρίζα. Στην περίπτωση Δ<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Σχετικά με τις ρίζες και τη φόρμουλα τους

Στην περίπτωσή μας, η διάκριση είναι: 256 - 4(-612) = 2704. Αυτό δείχνει ότι το πρόβλημά μας έχει απάντηση. Εάν γνωρίζετε, η επίλυση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων πρέπει να συνεχιστεί χρησιμοποιώντας τον παρακάτω τύπο. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε τις ρίζες.

Αυτό σημαίνει ότι στην προκειμένη περίπτωση: x 1 =18, x 2 =-34. Η δεύτερη επιλογή σε αυτό το δίλημμα δεν μπορεί να είναι λύση, γιατί το μέγεθος του οικοπέδου δεν μπορεί να μετρηθεί σε αρνητικές τιμές, που σημαίνει ότι το x (δηλαδή το πλάτος του οικοπέδου) είναι 18 μ. Από εδώ υπολογίζουμε το μήκος: 18+16=34, και η περίμετρος 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Παραδείγματα και εργασίες

Συνεχίζουμε τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων. Παραδείγματα και λεπτομερής λύση αρκετών από αυτά θα δοθούν παρακάτω.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Ας μεταφέρουμε τα πάντα στην αριστερή πλευρά της ισότητας, ας κάνουμε έναν μετασχηματισμό, δηλαδή παίρνουμε τη μορφή της εξίσωσης, που συνήθως ονομάζεται τυπική, και την εξισώνουμε με το μηδέν.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Έχοντας προσθέσει παρόμοια, προσδιορίζουμε τη διάκριση: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Άρα η εξίσωσή μας θα έχει δύο ρίζες. Τα υπολογίζουμε σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο, που σημαίνει ότι το πρώτο από αυτά θα είναι ίσο με 4/3 και το δεύτερο 1.

2) Τώρα θα αποκαλύψουμε αινίγματα διαφορετικού είδους.

Ας μάθουμε αν υπάρχουν καθόλου ρίζες x 2 - 4x + 5 = 1 εδώ; Για να λάβουμε μια εξαντλητική απάντηση, φέρνουμε το πολυώνυμο στην αντίστοιχη γνωστή μορφή και υπολογίζουμε τη διάκριση. Σε αυτό το παράδειγμα, δεν είναι απαραίτητο να λυθεί η τετραγωνική εξίσωση, επειδή η ουσία του προβλήματος δεν βρίσκεται καθόλου σε αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, πράγμα που σημαίνει ότι πραγματικά δεν υπάρχουν ρίζες.

Το θεώρημα του Βιέτα

Είναι βολικό να λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις μέσω των παραπάνω τύπων και του διαχωριστικού, όταν η τετραγωνική ρίζα εξάγεται από την τιμή του τελευταίου. Αυτό όμως δεν συμβαίνει πάντα. Ωστόσο, υπάρχουν πολλοί τρόποι για να λάβετε τις τιμές των μεταβλητών σε αυτήν την περίπτωση. Παράδειγμα: επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα. Πήρε το όνομά του από έναν άνδρα που έζησε στη Γαλλία του 16ου αιώνα και είχε μια λαμπρή καριέρα χάρη στο μαθηματικό του ταλέντο και τις διασυνδέσεις του στο δικαστήριο. Το πορτρέτο του φαίνεται στο άρθρο.

Το μοτίβο που παρατήρησε ο διάσημος Γάλλος ήταν το εξής. Απέδειξε ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με -p=b/a, και το γινόμενο τους αντιστοιχεί σε q=c/a.

Τώρα ας δούμε συγκεκριμένες εργασίες.

3x2 + 21x - 54 = 0

Για απλότητα, ας μετατρέψουμε την έκφραση:

x 2 + 7x - 18 = 0

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, αυτό θα μας δώσει τα εξής: το άθροισμα των ριζών είναι -7 και το γινόμενο τους είναι -18. Από εδώ παίρνουμε ότι οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι αριθμοί -9 και 2. Έχοντας κάνει έναν έλεγχο, θα βεβαιωθούμε ότι αυτές οι τιμές των μεταβλητών ταιριάζουν πραγματικά στην έκφραση.

Γράφημα και εξίσωση παραβολής

Οι έννοιες της τετραγωνικής συνάρτησης και των τετραγωνικών εξισώσεων συνδέονται στενά. Παραδείγματα αυτού έχουν ήδη δοθεί προηγουμένως. Τώρα ας δούμε μερικούς μαθηματικούς γρίφους με λίγο περισσότερες λεπτομέρειες. Οποιαδήποτε εξίσωση του περιγραφόμενου τύπου μπορεί να αναπαρασταθεί οπτικά. Μια τέτοια εξάρτηση, σχεδιασμένη με τη μορφή γραφήματος, ονομάζεται παραβολή. Οι διάφοροι τύποι του φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Οποιαδήποτε παραβολή έχει μια κορυφή, δηλαδή ένα σημείο από το οποίο βγαίνουν τα κλαδιά της. Αν a>0, πάνε ψηλά στο άπειρο, και όταν α<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Οι οπτικές αναπαραστάσεις συναρτήσεων βοηθούν στην επίλυση οποιωνδήποτε εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένων και των τετραγωνικών. Αυτή η μέθοδος ονομάζεται γραφική. Και η τιμή της μεταβλητής x είναι η συντεταγμένη της τετμημένης στα σημεία όπου η γραμμή του γραφήματος τέμνεται με το 0x. Οι συντεταγμένες της κορυφής μπορούν να βρεθούν από τον τύπο που μόλις δόθηκε x 0 = -b / 2a. Και, αντικαθιστώντας την προκύπτουσα τιμή στην αρχική εξίσωση της συνάρτησης, μπορείτε να βρείτε y 0, δηλαδή τη δεύτερη συντεταγμένη της κορυφής της παραβολής που ανήκει στον άξονα y.

Η τομή των κλάδων της παραβολής με τον άξονα της τετμημένης

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα με τη λύση τετραγωνικών εξισώσεων, αλλά υπάρχουν και γενικά μοτίβα. Ας τα εξετάσουμε. Είναι σαφές ότι η τομή του γραφήματος με τον άξονα 0x για a>0 είναι δυνατή μόνο εάν το y 0 λάβει αρνητικές τιμές. Και για ένα<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Διαφορετικά Δ<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Από το γράφημα μιας παραβολής, μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε τις ρίζες. Ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή, εάν δεν είναι εύκολο να αποκτήσετε μια οπτική αναπαράσταση μιας τετραγωνικής συνάρτησης, μπορείτε να εξισώσετε τη δεξιά πλευρά της παράστασης με 0 και να λύσετε την εξίσωση που προκύπτει. Και γνωρίζοντας τα σημεία τομής με τον άξονα 0x, είναι πιο εύκολο να σχεδιάσετε.

Από την ιστορία

Με τη βοήθεια εξισώσεων που περιέχουν μια τετραγωνισμένη μεταβλητή, τα παλιά χρόνια, όχι μόνο έκαναν μαθηματικούς υπολογισμούς και καθόριζαν την περιοχή των γεωμετρικών σχημάτων. Οι αρχαίοι χρειάζονταν τέτοιους υπολογισμούς για μεγαλειώδεις ανακαλύψεις στον τομέα της φυσικής και της αστρονομίας, καθώς και για την πραγματοποίηση αστρολογικών προβλέψεων.

Όπως προτείνουν οι σύγχρονοι επιστήμονες, οι κάτοικοι της Βαβυλώνας ήταν από τους πρώτους που έλυσαν τετραγωνικές εξισώσεις. Συνέβη τέσσερις αιώνες πριν από την έλευση της εποχής μας. Φυσικά, οι υπολογισμοί τους ήταν θεμελιωδώς διαφορετικοί από αυτούς που γίνονται αποδεκτοί σήμερα και αποδείχθηκαν πολύ πιο πρωτόγονοι. Για παράδειγμα, οι μαθηματικοί της Μεσοποταμίας δεν είχαν ιδέα για την ύπαρξη αρνητικών αριθμών. Δεν ήταν επίσης εξοικειωμένοι με άλλες λεπτές αποχρώσεις εκείνων που ήταν γνωστές σε κανέναν μαθητή της εποχής μας.

Ίσως ακόμη και νωρίτερα από τους επιστήμονες της Βαβυλώνας, ο σοφός από την Ινδία, Baudhayama, ανέλαβε τη λύση των τετραγωνικών εξισώσεων. Αυτό συνέβη περίπου οκτώ αιώνες πριν από την έλευση της εποχής του Χριστού. Είναι αλήθεια ότι οι εξισώσεις δεύτερης τάξης, οι μέθοδοι επίλυσης που έδωσε, ήταν οι απλούστερες. Εκτός από αυτόν, οι Κινέζοι μαθηματικοί ενδιαφέρθηκαν επίσης για παρόμοιες ερωτήσεις παλιά. Στην Ευρώπη, οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις άρχισαν να λύνονται μόνο στις αρχές του 13ου αιώνα, αλλά αργότερα χρησιμοποιήθηκαν στο έργο τους από σπουδαίους επιστήμονες όπως ο Newton, ο Descartes και πολλοί άλλοι.

Τύποι για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Εξετάζονται οι περιπτώσεις πραγματικών, πολλαπλών και σύνθετων ριζών. Παραγοντοποίηση τετραγωνικού τριωνύμου. Γεωμετρική ερμηνεία. Παραδείγματα προσδιορισμού ριζών και παραγοντοποίησης.

Δείτε επίσης: Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων διαδικτυακά

Βασικές φόρμουλες

Θεωρήστε την τετραγωνική εξίσωση:
(1) .
Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης(1) καθορίζονται από τους τύπους:
; .
Αυτοί οι τύποι μπορούν να συνδυαστούν ως εξής:
.
Όταν οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι γνωστές, τότε το πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο παραγόντων (παραγοντικά):
.

Επιπλέον, υποθέτουμε ότι είναι πραγματικοί αριθμοί.
Σκεφτείτε διάκριση μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
.
Εάν η διάκριση είναι θετική, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:
; .
Τότε η παραγοντοποίηση του τετραγωνικού τριωνύμου έχει τη μορφή:
.
Εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο πολλαπλές (ίσες) πραγματικές ρίζες:
.
Παραγοντοποίηση:
.
Εάν η διάκριση είναι αρνητική, τότε η τετραγωνική εξίσωση (1) έχει δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες:
;
.
Εδώ είναι η φανταστική μονάδα, ;
και είναι τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη των ριζών:
; .
Επειτα

.

Γραφική ερμηνεία

Αν γράψουμε τη συνάρτηση
,
που είναι παραβολή, τότε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα θα είναι οι ρίζες της εξίσωσης
.
Όταν , το γράφημα διασχίζει τον άξονα της τετμημένης (άξονας) σε δύο σημεία ().
Όταν , το γράφημα αγγίζει τον άξονα x σε ένα σημείο ().
Όταν , το γράφημα δεν διασχίζει τον άξονα x ().

Χρήσιμοι τύποι που σχετίζονται με την τετραγωνική εξίσωση

(στ.1) ;
(στ.2) ;
(στ.3) .

Παραγωγή του τύπου για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Εκτελούμε μετασχηματισμούς και εφαρμόζουμε τους τύπους (f.1) και (f.3):




,
Οπου
; .

Έτσι, πήραμε τον τύπο για το πολυώνυμο του δεύτερου βαθμού με τη μορφή:
.
Από αυτό φαίνεται ότι η εξίσωση

εκτελείται στο
Και .
Δηλαδή και είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης
.

Παραδείγματα προσδιορισμού των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Παράδειγμα 1

(1.1) .

.
Συγκρίνοντας με την εξίσωσή μας (1.1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Εύρεση του διαχωριστικού:
.
Εφόσον η διάκριση είναι θετική, η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες:
;
;
.

Από εδώ παίρνουμε την αποσύνθεση του τετραγωνικού τριωνύμου σε παράγοντες:

.

Γράφημα της συνάρτησης y = 2 x 2 + 7 x + 3διασχίζει τον άξονα x σε δύο σημεία.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Διασχίζει τον άξονα x (άξονα) σε δύο σημεία:
Και .
Αυτά τα σημεία είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης (1.1).

;
;
.

Παράδειγμα 2

Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
(2.1) .

Γράφουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική μορφή:
.
Συγκρίνοντας με την αρχική εξίσωση (2.1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Εύρεση του διαχωριστικού:
.
Εφόσον η διάκριση είναι μηδέν, η εξίσωση έχει δύο πολλαπλές (ίσες) ρίζες:
;
.

Τότε η παραγοντοποίηση του τριωνύμου έχει τη μορφή:
.

Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 - 4 x + 4αγγίζει τον άξονα x σε ένα σημείο.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Αγγίζει τον άξονα x (άξονα) σε ένα σημείο:
.
Αυτό το σημείο είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης (2.1). Εφόσον αυτή η ρίζα συνυπολογίζεται δύο φορές:
,
τότε μια τέτοια ρίζα ονομάζεται πολλαπλή. Δηλαδή θεωρούν ότι υπάρχουν δύο ίσες ρίζες:
.

;
.

Παράδειγμα 3

Βρείτε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης:
(3.1) .

Γράφουμε την τετραγωνική εξίσωση σε γενική μορφή:
(1) .
Ας ξαναγράψουμε την αρχική εξίσωση (3.1):
.
Συγκρίνοντας με το (1), βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών:
.
Εύρεση του διαχωριστικού:
.
Η διάκριση είναι αρνητική, . Επομένως, δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Μπορείτε να βρείτε πολύπλοκες ρίζες:
;
;
.

Επειτα


.

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν διασχίζει τον άξονα x. Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση
.
Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι μια παραβολή. Δεν διασχίζει την τετμημένη (άξονα). Επομένως, δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες.

Δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες. Σύνθετες ρίζες:
;
;
.

Αυτό το θέμα μπορεί να φαίνεται περίπλοκο στην αρχή λόγω των πολλών όχι και τόσο απλών τύπων. Όχι μόνο οι ίδιες οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν μεγάλες εγγραφές, αλλά οι ρίζες βρίσκονται επίσης μέσω της διάκρισης. Υπάρχουν τρεις νέες φόρμουλες συνολικά. Δεν είναι πολύ εύκολο να θυμάστε. Αυτό είναι δυνατό μόνο μετά τη συχνή επίλυση τέτοιων εξισώσεων. Τότε όλοι οι τύποι θα θυμούνται από μόνες τους.

Γενική άποψη της τετραγωνικής εξίσωσης

Εδώ προτείνεται η ρητή σημείωση τους, όταν πρώτα γράφεται ο μεγαλύτερος βαθμός και μετά - με φθίνουσα σειρά. Συχνά υπάρχουν περιπτώσεις που οι όροι ξεχωρίζουν. Τότε είναι καλύτερο να ξαναγράψουμε την εξίσωση με φθίνουσα σειρά του βαθμού της μεταβλητής.

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία. Παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα.

Εάν δεχθούμε αυτούς τους συμβολισμούς, όλες οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις ανάγονται στον ακόλουθο συμβολισμό.

Επιπλέον, ο συντελεστής a ≠ 0. Έστω ότι αυτός ο τύπος συμβολίζεται με τον αριθμό ένα.

Όταν δίνεται η εξίσωση, δεν είναι ξεκάθαρο πόσες ρίζες θα υπάρχουν στην απάντηση. Επειδή μία από τις τρεις επιλογές είναι πάντα δυνατή:

• η λύση θα έχει δύο ρίζες.
• η απάντηση θα είναι ένας αριθμός.
• Η εξίσωση δεν έχει καθόλου ρίζες.

Και ενώ η απόφαση δεν έχει τελειώσει, είναι δύσκολο να καταλάβουμε ποια από τις επιλογές θα πέσει έξω σε μια συγκεκριμένη περίπτωση.

Τύποι εγγραφών τετραγωνικών εξισώσεων

Οι εργασίες μπορεί να έχουν διαφορετικές καταχωρήσεις. Δεν θα μοιάζουν πάντα με τον γενικό τύπο μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Μερικές φορές θα λείπουν κάποιοι όροι. Αυτό που γράφτηκε παραπάνω είναι η πλήρης εξίσωση. Εάν αφαιρέσετε τον δεύτερο ή τον τρίτο όρο σε αυτό, θα έχετε κάτι διαφορετικό. Αυτές οι εγγραφές ονομάζονται επίσης τετραγωνικές εξισώσεις, μόνο ελλιπείς.

Επιπλέον, μόνο οι όροι για τους οποίους οι συντελεστές "β" και "γ" μπορούν να εξαφανιστούν. Ο αριθμός «α» δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να είναι ίσος με μηδέν. Γιατί σε αυτή την περίπτωση ο τύπος μετατρέπεται σε γραμμική εξίσωση. Οι τύποι για την ημιτελή μορφή των εξισώσεων θα είναι οι εξής:

Άρα, υπάρχουν μόνο δύο τύποι, εκτός από πλήρεις, υπάρχουν και ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Έστω ο πρώτος τύπος ο αριθμός δύο και ο δεύτερος αριθμός τρία.

Η διάκριση και η εξάρτηση του αριθμού των ριζών από την αξία του

Αυτός ο αριθμός πρέπει να είναι γνωστός για να υπολογιστούν οι ρίζες της εξίσωσης. Μπορεί πάντα να υπολογιστεί, ανεξάρτητα από το ποιος είναι ο τύπος της τετραγωνικής εξίσωσης. Για να υπολογίσετε τη διάκριση, πρέπει να χρησιμοποιήσετε την ισότητα που γράφεται παρακάτω, η οποία θα έχει τον αριθμό τέσσερα.

Αφού αντικαταστήσετε τις τιμές των συντελεστών σε αυτόν τον τύπο, μπορείτε να πάρετε αριθμούς με διαφορετικά πρόσημα. Εάν η απάντηση είναι ναι, τότε η απάντηση στην εξίσωση θα είναι δύο διαφορετικές ρίζες. Με αρνητικό αριθμό, οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης θα απουσιάζουν. Αν είναι ίσο με μηδέν, η απάντηση θα είναι ένα.

Πώς λύνεται μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση;

Μάλιστα, η εξέταση αυτού του θέματος έχει ήδη ξεκινήσει. Γιατί πρώτα πρέπει να βρεις το διακριτικό. Αφού διευκρινιστεί ότι υπάρχουν ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης και είναι γνωστός ο αριθμός τους, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους τύπους για τις μεταβλητές. Εάν υπάρχουν δύο ρίζες, τότε πρέπει να εφαρμόσετε έναν τέτοιο τύπο.

Εφόσον περιέχει το σύμβολο «±», θα υπάρχουν δύο τιμές. Η έκφραση κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας είναι η διάκριση. Επομένως, ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί με διαφορετικό τρόπο.

Φόρμουλα πέντε. Από την ίδια εγγραφή μπορεί να φανεί ότι εάν η διάκριση είναι μηδέν, τότε και οι δύο ρίζες θα λάβουν τις ίδιες τιμές.

Εάν η λύση των τετραγωνικών εξισώσεων δεν έχει ακόμη επεξεργαστεί, τότε είναι καλύτερο να γράψετε τις τιμές όλων των συντελεστών πριν εφαρμόσετε τους τύπους διάκρισης και μεταβλητής. Αργότερα αυτή η στιγμή δεν θα προκαλέσει δυσκολίες. Αλλά στην αρχή υπάρχει σύγχυση.

Πώς λύνεται μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση;

Όλα είναι πολύ πιο απλά εδώ. Ακόμη και δεν υπάρχει ανάγκη για πρόσθετους τύπους. Και δεν θα χρειαστείτε αυτά που έχουν ήδη γραφτεί για το διακριτικό και το άγνωστο.

Αρχικά, θεωρήστε την ημιτελή εξίσωση με αριθμό δύο. Σε αυτή την ισότητα, υποτίθεται ότι αφαιρεί την άγνωστη τιμή από την αγκύλη και λύνει τη γραμμική εξίσωση, η οποία θα παραμείνει στις αγκύλες. Η απάντηση θα έχει δύο ρίζες. Το πρώτο είναι απαραίτητα ίσο με μηδέν, γιατί υπάρχει ένας παράγοντας που αποτελείται από την ίδια τη μεταβλητή. Το δεύτερο προκύπτει με την επίλυση μιας γραμμικής εξίσωσης.

Η ημιτελής εξίσωση στον αριθμό τρία λύνεται μεταφέροντας τον αριθμό από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης προς τα δεξιά. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε με τον συντελεστή μπροστά από το άγνωστο. Απομένει μόνο να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα και μην ξεχάσετε να τη γράψετε δύο φορές με αντίθετα σημάδια.

Ακολουθούν ορισμένες ενέργειες που σας βοηθούν να μάθετε πώς να λύνετε κάθε είδους ισότητες που μετατρέπονται σε εξισώσεις δευτεροβάθμιας. Θα βοηθήσουν τον μαθητή να αποφύγει λάθη που οφείλονται σε απροσεξία. Αυτές οι ελλείψεις είναι η αιτία των κακών βαθμών κατά τη μελέτη του εκτενούς θέματος «Τετραγωνικές Εξισώσεις (Βαθμός 8)». Στη συνέχεια, αυτές οι ενέργειες δεν θα χρειάζεται να εκτελούνται συνεχώς. Γιατί θα υπάρχει μια σταθερή συνήθεια.

• Πρώτα πρέπει να γράψετε την εξίσωση σε τυπική μορφή. Δηλαδή πρώτα ο όρος με τον μεγαλύτερο βαθμό της μεταβλητής και μετά -χωρίς το βαθμό και τον τελευταίο- απλώς ένας αριθμός.

• Εάν ένα μείον εμφανίζεται πριν από τον συντελεστή "a", τότε μπορεί να περιπλέξει τη δουλειά για έναν αρχάριο να μελετήσει τις εξισώσεις του δευτεροβάθμιου επιπέδου. Είναι καλύτερα να το ξεφορτωθείς. Για το σκοπό αυτό, όλη η ισότητα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με "-1". Αυτό σημαίνει ότι όλοι οι όροι θα αλλάξουν πρόσημο στο αντίθετο.

• Με τον ίδιο τρόπο, συνιστάται να απαλλαγείτε από κλάσματα. Απλώς πολλαπλασιάστε την εξίσωση με τον κατάλληλο παράγοντα έτσι ώστε οι παρονομαστές να ακυρωθούν.

Παραδείγματα

Απαιτείται η επίλυση των ακόλουθων τετραγωνικών εξισώσεων:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Η πρώτη εξίσωση: x 2 - 7x \u003d 0. Είναι ελλιπής, επομένως επιλύεται όπως περιγράφεται για τον τύπο δύο.

Μετά την αγκύρωση, αποδεικνύεται: x (x - 7) \u003d 0.

Η πρώτη ρίζα παίρνει την τιμή: x 1 \u003d 0. Η δεύτερη θα βρεθεί από τη γραμμική εξίσωση: x - 7 \u003d 0. Είναι εύκολο να δούμε ότι x 2 \u003d 7.

Δεύτερη εξίσωση: 5x2 + 30 = 0. Και πάλι ημιτελής. Μόνο που λύνεται όπως περιγράφεται για τον τρίτο τύπο.

Αφού μεταφέρετε το 30 στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης: 5x 2 = 30. Τώρα πρέπει να διαιρέσετε με το 5. Αποδεικνύεται: x 2 = 6. Οι απαντήσεις θα είναι αριθμοί: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Τρίτη εξίσωση: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Εδώ και παρακάτω, η λύση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων θα ξεκινήσει ξαναγράφοντας τις σε μια τυπική μορφή: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Τώρα είναι ώρα να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη χρήσιμη συμβουλή και πολλαπλασιάστε τα πάντα με μείον ένα . Αποδεικνύεται x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Σύμφωνα με τον τέταρτο τύπο, πρέπει να υπολογίσετε τη διάκριση: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Είναι θετικός αριθμός. Από όσα ειπώθηκαν παραπάνω, προκύπτει ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Πρέπει να υπολογιστούν σύμφωνα με τον πέμπτο τύπο. Σύμφωνα με αυτό, αποδεικνύεται ότι x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Στη συνέχεια, x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Η τέταρτη εξίσωση x 2 + 8 + 3x \u003d 0 μετατρέπεται σε αυτό: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Η διάκρισή της είναι ίση με αυτήν την τιμή: -23. Δεδομένου ότι αυτός ο αριθμός είναι αρνητικός, η απάντηση σε αυτήν την εργασία θα είναι η ακόλουθη καταχώρηση: "Δεν υπάρχουν ρίζες".

Η πέμπτη εξίσωση 12x + x 2 + 36 = 0 θα πρέπει να ξαναγραφτεί ως εξής: x 2 + 12x + 36 = 0. Μετά την εφαρμογή του τύπου για τη διάκριση, προκύπτει ο αριθμός μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι θα έχει μία ρίζα, δηλαδή: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Η έκτη εξίσωση (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) απαιτεί μετασχηματισμούς, οι οποίοι συνίστανται στο γεγονός ότι πρέπει να φέρετε παρόμοιους όρους, πριν ανοίξετε τις αγκύλες. Στη θέση του πρώτου θα υπάρχει μια τέτοια έκφραση: x 2 + 2x + 1. Μετά την ισότητα, θα εμφανιστεί αυτή η καταχώρηση: x 2 + 3x + 2. Αφού μετρηθούν παρόμοιοι όροι, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x 2 - x \u003d 0. Έχει γίνει ημιτελές . Παρόμοιο με αυτό έχει ήδη θεωρηθεί λίγο υψηλότερο. Οι ρίζες αυτού θα είναι οι αριθμοί 0 και 1.

”, δηλαδή εξισώσεις πρώτου βαθμού. Σε αυτό το μάθημα, θα εξερευνήσουμε τι είναι μια τετραγωνική εξίσωσηκαι πώς να το λύσετε.

Τι είναι η τετραγωνική εξίσωση

Σπουδαίος!

Ο βαθμός μιας εξίσωσης καθορίζεται από τον υψηλότερο βαθμό στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος.

Εάν ο μέγιστος βαθμός στον οποίο βρίσκεται ο άγνωστος είναι "2", τότε έχετε μια τετραγωνική εξίσωση.

Παραδείγματα τετραγωνικών εξισώσεων

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Σπουδαίος! Η γενική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης μοιάζει με αυτό:

A x 2 + b x + c = 0

• "α" - ο πρώτος ή ανώτερος συντελεστής.
• "β" - ο δεύτερος συντελεστής.
• Το "c" είναι ελεύθερο μέλος.

Για να βρείτε τα "a", "b" και "c" Πρέπει να συγκρίνετε την εξίσωσή σας με τη γενική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Ας εξασκηθούμε στον προσδιορισμό των συντελεστών «α», «β» και «γ» σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

• a = -1
• b = 1
• γ =

  1

  3

• α = 1
• b = 0,25
• c = 0

• α = 1
• b = 0
• c = −8

Πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις

Σε αντίθεση με τις γραμμικές εξισώσεις, μια ειδική εξίσωση χρησιμοποιείται για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. τύπος για την εύρεση ριζών.

Θυμάμαι!

Για να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση χρειάζεστε:

• φέρτε την τετραγωνική εξίσωση στη γενική μορφή "ax 2 + bx + c \u003d 0". Δηλαδή, μόνο το "0" θα πρέπει να παραμείνει στη δεξιά πλευρά.
• χρησιμοποιήστε τον τύπο για τις ρίζες:

Ας χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα για να καταλάβουμε πώς να εφαρμόσουμε τον τύπο για να βρούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης. Ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση.

X 2 - 3x - 4 = 0

Η εξίσωση "x 2 - 3x - 4 = 0" έχει ήδη αναχθεί στη γενική μορφή "ax 2 + bx + c = 0" και δεν απαιτεί πρόσθετες απλοποιήσεις. Για να το λύσουμε, χρειάζεται μόνο να εφαρμόσουμε τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Ας ορίσουμε τους συντελεστές "a", "b" και "c" για αυτήν την εξίσωση.

Με τη βοήθειά του λύνεται οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση.

Στον τύπο "x 1; 2 \u003d" η έκφραση ρίζας αντικαθίσταται συχνά
"b 2 − 4ac" στο γράμμα "D" και ονομάζεται διακριτικό. Η έννοια του διακριτικού αναλύεται λεπτομερέστερα στο μάθημα «Τι είναι ο διακριτικός».

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα τετραγωνικής εξίσωσης.

x 2 + 9 + x = 7x

Σε αυτή τη μορφή, είναι μάλλον δύσκολο να προσδιοριστούν οι συντελεστές "a", "b" και "c". Ας φέρουμε πρώτα την εξίσωση στη γενική μορφή "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τις ρίζες.

Χ 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

Υπάρχουν φορές που δεν υπάρχουν ρίζες στις δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Αυτή η κατάσταση συμβαίνει όταν εμφανίζεται ένας αρνητικός αριθμός στον τύπο κάτω από τη ρίζα.

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στην 8η τάξη, επομένως δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c = 0, όπου οι συντελεστές a , b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσουμε συγκεκριμένες μεθόδους λύσης, σημειώνουμε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες:

1. Δεν έχουν ρίζες.
2. Έχουν ακριβώς μια ρίζα.
3. Έχουν δύο διαφορετικές ρίζες.

Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά μεταξύ τετραγωνικών και γραμμικών εξισώσεων, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - διακριτική.

Διακριτικός

Έστω η τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Τότε η διάκριση είναι απλώς ο αριθμός D = b 2 − 4ac .

Αυτή η φόρμουλα πρέπει να είναι γνωστή από καρδιάς. Από πού προέρχεται δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το πρόσημο της διάκρισης, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει μια τετραγωνική εξίσωση. Και συγκεκριμένα:

1. Αν ο Δ< 0, корней нет;
2. Αν D = 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
3. Αν D > 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: το διακριτικό υποδεικνύει τον αριθμό των ριζών και καθόλου τα σημάδια τους, όπως για κάποιο λόγο πιστεύουν πολλοί άνθρωποι. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και θα καταλάβετε τα πάντα μόνοι σας:

Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Γράφουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε τη διάκριση:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Άρα, η διάκριση είναι θετική, άρα η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με τον ίδιο τρόπο:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Η διάκριση είναι αρνητική, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση παραμένει:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Η διάκριση ισούται με μηδέν - η ρίζα θα είναι μία.

Σημειώστε ότι έχουν γραφεί συντελεστές για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μακρύ, ναι, είναι κουραστικό - αλλά δεν θα μπερδεύετε τις πιθανότητες και δεν θα κάνετε ανόητα λάθη. Επιλέξτε μόνοι σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, εάν "γεμίσετε το χέρι σας", μετά από λίγο δεν θα χρειάζεται πλέον να γράψετε όλους τους συντελεστές. Θα κάνεις τέτοιες επεμβάσεις στο κεφάλι σου. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν αυτό κάπου μετά από 50-70 λυμένες εξισώσεις - γενικά, όχι τόσο πολλές.

Οι ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση. Εάν η διάκριση D > 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Ο βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D = 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - παίρνετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, αν ο Δ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ η εξίσωση έχει πάλι δύο ρίζες. Ας τα βρούμε

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιαδήποτε φόρμουλα. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετράτε, δεν θα υπάρχουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, συμβαίνουν σφάλματα όταν οι αρνητικοί συντελεστές αντικαθίστανται στον τύπο. Εδώ, πάλι, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα σας βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, ζωγραφίστε κάθε βήμα - και απαλλαγείτε από τα λάθη πολύ σύντομα.

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Είναι εύκολο να δούμε ότι λείπει ένας από τους όρους σε αυτές τις εξισώσεις. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να λυθούν από τις τυπικές: δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουν τη διάκριση. Ας εισαγάγουμε λοιπόν μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0 ονομάζεται ημιτελής τετραγωνική εξίσωση αν b = 0 ή c = 0, δηλ. ο συντελεστής της μεταβλητής x ή του ελεύθερου στοιχείου είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b \u003d c \u003d 0. Σε αυτή την περίπτωση, η εξίσωση έχει τη μορφή ax 2 \u003d 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μια ενιαία ρίζα: x \u003d 0.

Ας εξετάσουμε άλλες περιπτώσεις. Έστω b \u003d 0, τότε παίρνουμε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0. Ας το μετατρέψουμε ελαφρώς:

Εφόσον η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο όταν (−c / a ) ≥ 0. Συμπέρασμα:

1. Αν μια ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c = 0 ικανοποιεί την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
2. Αν (−c / a )< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, η διάκριση δεν ήταν απαραίτητη - δεν υπάρχουν καθόλου σύνθετοι υπολογισμοί σε ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c / a ) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή του x 2 και να δούμε τι βρίσκεται στην άλλη πλευρά του πρόσημου ίσου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Εάν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Ας ασχοληθούμε τώρα με εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx = 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσο με μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να παραγοντοποιήσουμε το πολυώνυμο:

Το γινόμενο είναι ίσο με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Από εδώ προέρχονται οι ρίζες. Συμπερασματικά, θα αναλύσουμε αρκετές από αυτές τις εξισώσεις:

Εργο. Λύστε δευτεροβάθμιες εξισώσεις:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί το τετράγωνο δεν μπορεί να είναι ίσο με αρνητικό αριθμό.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.