Vorlesungsskript zu Tau. Historischer Hintergrund Theorie der automatischen Steuerung Vorlesungsverlauf

Theorie der automatischen Steuerung(TAU) ist eine wissenschaftliche Disziplin, die die Prozesse der automatischen Steuerung von Objekten unterschiedlicher physikalischer Natur untersucht. Gleichzeitig werden mit Hilfe mathematischer Mittel die Eigenschaften automatischer Steuerungssysteme identifiziert und Empfehlungen für deren Auslegung erarbeitet.

Geschichte

Informationen über Automaten erschienen erstmals zu Beginn unserer Zeitrechnung in den Werken „Pneumatik“ und „Mechanik“ von Heron von Alexandria, in denen von Heron selbst und seinem Lehrer Ctesibius geschaffene Automaten beschrieben wurden: eine pneumatische automatische Maschine zum Öffnen von Tempeltüren , eine Wasserorgel, eine automatische Maschine zum Verkauf von Weihwasser usw. Herons Ideen waren ihrer Zeit deutlich voraus und wurden zu seiner Zeit nicht verwendet.

Stabilität linearer Systeme

Nachhaltigkeit- die Eigenschaft eines automatischen Steuerungssystems, nach einer Störung zu einem bestimmten oder nahezu stabilen Zustand zurückzukehren.

Nachhaltige selbstfahrende Waffen- ein System, in dem transiente Prozesse gedämpft werden.

Operatorform zum Schreiben einer linearisierten Gleichung.

y(t) = y Mund(t)+y P= y aus(t)+y St.

j Mund(j aus) ist eine besondere Lösung der linearisierten Gleichung.

j P(j St.) ist die allgemeine Lösung einer linearisierten Gleichung als homogene Differentialgleichung, d. h

Das ACS ist stabil, wenn die durch Störungen verursachten transienten Prozesse in n (t) mit der Zeit abklingen, d. h. wann

Wenn wir die Differentialgleichung im allgemeinen Fall lösen, erhalten wir komplexe Wurzeln p i , p i+1 = ±α i ± jβ i

Jedes Paar komplex konjugierter Wurzeln entspricht der folgenden Komponente der Übergangsprozessgleichung:

Aus den erhaltenen Ergebnissen geht hervor, dass:

Stabilitätskriterien

Routing-Kriterium

Um die Stabilität des Systems zu bestimmen, werden Tabellen der Form erstellt:

Damit das System stabil ist, müssen alle Elemente der ersten Spalte positive Werte haben; Wenn die erste Spalte negative Elemente enthält, ist das System instabil. Wenn mindestens ein Element Null ist und der Rest positiv ist, befindet sich das System an der Stabilitätsgrenze.

Hurwitz-Kriterium

Hurwitz-Determinante

Satz: Für die Stabilität eines automatischen Regelsystems mit geschlossenem Regelkreis ist es notwendig und ausreichend, dass die Hurwitz-Determinante und alle ihre Nebenwerte positiv sind

Mikhailov-Kriterium

Ersetzen wir , wobei ω die Kreisfrequenz der Schwingungen ist, die der rein imaginären Wurzel dieses charakteristischen Polynoms entspricht.

Kriterium: Für die Stabilität eines linearen Systems n-ter Ordnung ist es notwendig und ausreichend, dass die in Koordinaten konstruierte Mikhailov-Kurve nacheinander n Quadranten durchläuft.

Betrachten wir die Beziehung zwischen der Mikhailov-Kurve und den Vorzeichen ihrer Wurzeln(α>0 und β>0)

1) Die Wurzel der charakteristischen Gleichung ist eine negative reelle Zahl

2) Die Wurzel der charakteristischen Gleichung ist eine positive reelle Zahl

Der einer gegebenen Wurzel entsprechende Faktor ist

3) Die Wurzel der charakteristischen Gleichung ist ein komplexes Zahlenpaar mit negativem Realteil

Der einer gegebenen Wurzel entsprechende Faktor ist

4) Die Wurzel der charakteristischen Gleichung ist ein komplexes Zahlenpaar mit positivem Realteil

Der einer gegebenen Wurzel entsprechende Faktor ist

Nyquist-Kriterium

Das Nyquist-Kriterium ist ein grafisch-analytisches Kriterium. Sein charakteristisches Merkmal besteht darin, dass der Rückschluss auf die Stabilität oder Instabilität eines Systems mit geschlossenem Regelkreis in Abhängigkeit von der Art der Amplituden-Phasen- oder logarithmischen Frequenzcharakteristik des Systems mit geschlossenem Regelkreis getroffen wird.

Das System mit offenem Regelkreis sei als Polynom dargestellt

dann führen wir eine Substitution durch und erhalten:

Für eine bequemere Konstruktion des Hodographen für n>2 reduzieren wir Gleichung (*) auf die „Standard“-Form:

Mit dieser Darstellung ist Modul A(ω) = | W(jω)| ist gleich dem Verhältnis der Absolutwerte von Zähler und Nenner, und das Argument (Phase) ψ(ω) ist die Differenz zwischen ihren Argumenten. Der Modul des Produkts komplexer Zahlen ist wiederum gleich dem Produkt der Module, und das Argument ist gleich der Summe der Argumente.

Module und Argumente, die den Faktoren der Übertragungsfunktion entsprechen

Anschließend erstellen wir einen Hodographen für die Hilfsfunktion, für die wir Änderungen vornehmen

Wann und wann (seit n

Um den resultierenden Drehwinkel zu bestimmen, ermitteln wir die Differenz zwischen den Argumenten Zähler und Nenner

Das Polynom des Zählers der Hilfsfunktion hat den gleichen Grad wie das Polynom ihres Nenners, was impliziert, dass der resultierende Drehwinkel der Hilfsfunktion daher 0 ist. Dies bedeutet, dass für die Stabilität eines geschlossenen Systems der Hodograph gilt Der Vektor der Hilfsfunktion sollte den Ursprung nicht überdecken, und der Hodograph der Funktion dementsprechend den Punkt mit Koordinaten

Teil 1. Theorie der automatischen Steuerung (TAC)

Vorlesung 1. Grundbegriffe und Definitionen von TAU. (2 Stunden)

Grundlegendes Konzept.

Steuerungssysteme für moderne chemisch-technologische Prozesse zeichnen sich durch eine Vielzahl technologischer Parameter aus, deren Anzahl mehrere Tausend erreichen kann. Um die erforderliche Betriebsweise und letztlich die Qualität der Produkte aufrechtzuerhalten, müssen alle diese Größen nach einem bestimmten Gesetz konstant gehalten oder verändert werden.

Man nennt physikalische Größen, die den Fortschritt eines technologischen Prozesses bestimmen Prozessparameter . Prozessparameter können beispielsweise sein: Temperatur, Druck, Durchfluss, Spannung usw.

Ein technologischer Prozessparameter, der nach einer bestimmten Gesetzmäßigkeit konstant gehalten oder verändert werden muss, heißt Regelgröße oder einstellbarer Parameter .

Der Wert der gesteuerten Größe zum betrachteten Zeitpunkt wird aufgerufen Momentanwert .

Der Wert der kontrollierten Größe, der zum betrachteten Zeitpunkt auf der Grundlage der Daten eines Messgeräts ermittelt wird, wird als sein bezeichnet Messwert .

Beispiel 1. Schema der manuellen Temperaturregelung des Trockenschranks.

Es ist notwendig, die Temperatur im Trockenschrank manuell auf dem T-Sollwert zu halten.

Abhängig von den Messwerten des Quecksilberthermometers RT schaltet der menschliche Bediener das Heizelement H mit dem Schalter P ein oder aus

Basierend auf diesem Beispiel können Sie Definitionen eingeben:

Kontrollobjekt (Regelungsgegenstand, OU) – ein Gerät, dessen gewünschte Betriebsart von außen durch speziell organisierte Steuermaßnahmen unterstützt werden muss.

Kontrolle – Bildung von Steuermaßnahmen, die den erforderlichen Betriebsmodus des Operationsverstärkers sicherstellen.

Verordnung – eine besondere Art der Steuerung, wenn die Aufgabe darin besteht, die Konstanz eines beliebigen Ausgangswerts des Operationsverstärkers sicherzustellen.

Automatische Kontrolle – Kontrolle ohne direkte menschliche Beteiligung.

Eingabeeinfluss(X)– Einfluss auf die Eingabe eines Systems oder Geräts.

Auswirkungen auf die Ausgabe(J)– die Wirkung, die am Ausgang eines Systems oder Geräts erzeugt wird.

Äußerer Einfluss – die Auswirkungen der äußeren Umgebung auf das System.

Das Blockschaltbild des Steuerungssystems für Beispiel 1 ist in Abb. dargestellt. 1.2.

Beispiel 3. Temperatur-ASR-Schaltung mit Messbrücke.

Wenn die Temperatur des Objekts der vorgegebenen Temperatur entspricht, ist die Messbrücke M (siehe Abb. 1.4) abgeglichen, am Eingang des elektronischen Verstärkers liegt kein Signal an und das System befindet sich im Gleichgewicht. Wenn die Temperatur abweicht, ändert sich der Widerstand des Thermistors R T und das Gleichgewicht der Brücke wird gestört. Am Eingang des EC entsteht eine Spannung, deren Phase vom Vorzeichen der Temperaturabweichung vom eingestellten Wert abhängt. Die im EC verstärkte Spannung wird dem Motor D zugeführt, der den Motor des Spartransformators AT in die entsprechende Richtung bewegt. Wenn die Temperatur den eingestellten Wert erreicht, wird die Brücke ausgeglichen und der Motor abgeschaltet.

Definitionen:

Einfluss einstellen (dasselbe wie der Eingangseinfluss X) – der Einfluss auf das System, der das erforderliche Änderungsgesetz der Regelgröße bestimmt).

Kontrollaktion (u) – der Einfluss des Steuergeräts auf das gesteuerte Objekt.

Kontrollgerät (CD) – ein Gerät, das das Steuerobjekt beeinflusst, um den erforderlichen Betriebsmodus sicherzustellen.

Störender Einfluss (f) – eine Auswirkung, die dazu neigt, die erforderliche funktionale Beziehung zwischen der Referenzauswirkung und der kontrollierten Variablen zu stören.

Kontrollfehler (e = x – y) – die Differenz zwischen dem vorgeschriebenen (x) und dem tatsächlichen (y) Wert der Regelvariablen.

Regler (P) – eine Reihe von Geräten, die mit einem geregelten Objekt verbunden sind und die automatische Aufrechterhaltung des eingestellten Werts seiner Regelgröße oder deren automatische Änderung gemäß einem bestimmten Gesetz ermöglichen.

Automatisches Kontrollsystem (ASR) – ein automatisches System mit geschlossenem Einflusskreis, bei dem die Steuerung (u) als Ergebnis des Vergleichs des wahren Werts von y mit einem gegebenen Wert von x erzeugt wird.

Eine zusätzliche Verbindung im Strukturdiagramm eines automatisierten Steuerungssystems, die vom Ausgang zum Eingang des betrachteten Abschnitts der Einflusskette führt, wird als Feedback (FE) bezeichnet. Feedback kann negativ oder positiv sein.

Klassifizierung von ASR.

1. Nach Zweck (nach Art der Änderung der Aufgabe):

· stabilisierende ASR – ein System, dessen Betriebsalgorithmus eine Anweisung enthält, die Regelvariable auf einem konstanten Wert (x = const) zu halten;

· Software-ASR – ein System, dessen Betriebsalgorithmus eine Anweisung enthält, die Regelgröße gemäß einer vorgegebenen Funktion zu ändern (x wird durch Software geändert);

· Verfolgung von ASR - ein System, dessen Betriebsalgorithmus eine Anweisung enthält, die Regelgröße abhängig von einem bisher unbekannten Wert am ACP-Eingang (x = var) zu ändern.

2. Nach der Anzahl der Stromkreise:

· einkreisig - einen Stromkreis enthaltend,

· Mehrkreisig - mehrere Konturen enthalten.

3. Entsprechend der Anzahl der kontrollierten Größen:

· eindimensional - Systeme mit 1 Regelgröße,

· mehrdimensional - Systeme mit mehreren einstellbaren Mengen.

Mehrdimensionale ASRs wiederum werden in Systeme unterteilt:

a) unabhängige Regulierung, bei der die Regulierungsbehörden nicht direkt miteinander verbunden sind und nur über ein gemeinsames Kontrollobjekt interagieren können;

b) verknüpfte Regulierung, bei der Regler verschiedener Parameter desselben technologischen Prozesses außerhalb des Regulierungsgegenstandes miteinander verbunden sind.

4. Nach funktionalem Zweck:

ASR von Temperatur, Druck, Durchfluss, Füllstand, Spannung usw.

5. Aufgrund der Art der zur Steuerung verwendeten Signale:

· kontinuierlich,

· diskret (Relais, Impuls, digital).

6. Aufgrund der Natur mathematischer Beziehungen:

· linear, für die das Superpositionsprinzip gilt;

· nichtlinear.

Prinzip der Superposition (Überlagerung): Wenn mehrere Eingabeeinflüsse auf die Eingabe eines Objekts angewendet werden, ist die Reaktion des Objekts auf die Summe der Eingabeeinflüsse gleich der Summe der Reaktionen des Objekts auf jeden einzelnen Einfluss:

L(x 1 + x 2) = L(x 1) + L(x 2),

wobei L eine lineare Funktion ist (Integration, Differentiation usw.).

7. Nach Art der zur Regulierung verwendeten Energie:

· pneumatisch,

· hydraulisch,

· elektrisch,

· mechanisch usw.

8. Nach dem Regulierungsprinzip:

· durch Abweichung :

Die überwiegende Mehrheit der Systeme basiert auf dem Prinzip der Rückkopplung – Regelung durch Abweichung (siehe Abb. 1.7).

Das Element wird Addierer genannt. Sein Ausgangssignal ist gleich der Summe der Eingangssignale. Der geschwärzte Sektor zeigt an, dass dieses Eingangssignal mit umgekehrtem Vorzeichen angenommen werden sollte.

· durch Empörung .

Diese Systeme können eingesetzt werden, wenn der störende Einfluss messbar ist (siehe Abb. 1.8). Das Diagramm zeigt K - Verstärker mit Verstärkung K.

· kombiniert - Kombinieren Sie die Funktionen früherer ASRs.

Mit dieser Methode (siehe Abb. 1.9) wird eine hohe Qualitätskontrolle erreicht, ihre Anwendung ist jedoch dadurch eingeschränkt, dass der Störeinfluss f nicht immer gemessen werden kann.

Grundmodelle.

Die Funktionsweise des Regulierungssystems kann verbal beschrieben werden. So beschreibt Abschnitt 1.1 die Temperaturregelung für den Trockenschrank. Eine verbale Beschreibung hilft, das Funktionsprinzip des Systems, seinen Zweck, seine Betriebsmerkmale usw. zu verstehen. Am wichtigsten ist jedoch, dass es keine quantitativen Schätzungen der Regulierungsqualität liefert und daher nicht für die Untersuchung der Eigenschaften von Systemen und den Aufbau automatisierter Steuerungssysteme geeignet ist. Stattdessen verwendet TAU ​​genauere mathematische Methoden zur Beschreibung der Eigenschaften von Systemen:

· statische Eigenschaften,

· dynamische Eigenschaften,

· Differentialgleichung,

· Übertragungsfunktionen,

· Frequenzeigenschaften.

In jedem dieser Modelle kann das System als eine Verbindung mit Eingangseinflüssen X, Störungen F und Ausgangseinflüssen Y dargestellt werden

Unter dem Einfluss dieser Einflüsse kann sich der Ausgabewert ändern. Wenn in diesem Fall eine neue Aufgabe am Eingang des Systems ankommt, muss sie mit einem bestimmten Grad an Genauigkeit den neuen Wert der Regelgröße im eingeschwungenen Zustand liefern.

Gleichgewichtszustand - Dies ist ein Modus, in dem die Abweichung zwischen dem wahren Wert der Regelgröße und ihrem eingestellten Wert über die Zeit konstant bleibt.

Statische Eigenschaften.

Statische Eigenschaft Element ist die Abhängigkeit der stationären Werte der Ausgangsgröße vom Wert der Größe am Eingang des Systems, d.h.

y Mund = j(x).

Die statische Kennlinie (siehe Abb. 1.11) wird häufig grafisch als Kurve y(x) dargestellt.

Statisch ist ein Element, bei dem sich bei konstantem Eingangseinfluss über die Zeit ein konstanter Ausgangswert einstellt. Wenn beispielsweise unterschiedliche Spannungswerte an den Heizungseingang angelegt werden, erwärmt sich dieser auf die diesen Spannungen entsprechenden Temperaturwerte.

Astatisch ist ein Element, bei dem bei konstanter Eingangswirkung das Ausgangssignal kontinuierlich mit konstanter Geschwindigkeit, Beschleunigung usw. ansteigt.

Lineares statisches Element wird als trägheitsfreies Element bezeichnet, das eine lineare statische Charakteristik aufweist:

y Mund = K*x + a 0 .

Wie Sie sehen, hat die statische Charakteristik des Elements in diesem Fall die Form einer Geraden mit einem Steigungskoeffizienten K.

Lineare statische Eigenschaften sind im Gegensatz zu nichtlinearen aufgrund ihrer Einfachheit einfacher zu untersuchen. Wenn das Objektmodell nichtlinear ist, wird es normalerweise durch Linearisierung in eine lineare Form umgewandelt.

Die selbstfahrende Waffe heißt statisch , wenn bei konstantem Eingangseinfluss der Regelfehler e je nach Größe des Einflusses zu einem konstanten Wert tendiert.

Die selbstfahrende Waffe heißt astatisch , wenn bei konstantem Eingangseinfluss der Regelfehler unabhängig von der Größe des Einflusses gegen Null geht.

Laplace-Transformationen.

Das Studium der ASR wird durch den Einsatz angewandter mathematischer Methoden der Operationsrechnung erheblich vereinfacht. Beispielsweise wird die Funktionsweise eines bestimmten Systems durch eine Differentialgleichung der Form beschrieben

, (2.1)

wobei x und y Eingangs- und Ausgangsgrößen sind. Wenn wir in dieser Gleichung anstelle von x(t) und y(t) die Funktionen X(s) und Y(s) einer komplexen Variablen s ersetzen, so dass

Und , (2.2)

dann ist das ursprüngliche DE unter Null-Anfangsbedingungen äquivalent zur linearen algebraischen Gleichung

a 2 s 2 Y(s) + a 1 s Y(s) + a 0 Y(s) = b 1 X(s) + b 0 X(s).

Ein solcher Übergang von einer Differentialgleichung zu einer algebraischen Gleichung heißt Laplace-Transformation , Formeln (2.2) bzw Laplace-Transformationsformeln , und die resultierende Gleichung ist Operatorgleichung .

Die neuen Funktionen X(s) und Y(s) werden aufgerufen Bilder x(t) und y(t) sind Laplace-Werte, während x(t) und y(t) Laplace-Werte sind Originale in Bezug auf X(s) und Y(s).

Der Übergang von einem Modell zum anderen ist recht einfach und besteht darin, die Vorzeichen von Differentialen durch Operatoren s n , die Vorzeichen von Integralen durch Faktoren und x(t) und y(t) selbst durch Bilder X(s) und Y(s) zu ersetzen ).

Für den umgekehrten Übergang von der Operatorgleichung zu Funktionen der Zeit wird die Methode verwendet inverse Laplace-Transformation . Allgemeine Formel für die inverse Laplace-Transformation:

, (2.3)

Dabei ist f(t) das Original, F(jw) das Bild bei s = jw, j die imaginäre Einheit und w die Frequenz.

Diese Formel ist recht komplex, daher wurden spezielle Tabellen entwickelt (siehe Tabellen 1.1 und 1.2), die die am häufigsten vorkommenden Funktionen F(s) und ihre Originale f(t) zusammenfassen. Sie erlauben es, auf die direkte Verwendung der Formel (2.3) zu verzichten.

Tabelle 1.2 – Laplace-Transformationen

Tabelle 1.2 – Formeln für die inverse Laplace-Transformation (Addition)

Das Änderungsgesetz des Ausgangssignals ist normalerweise eine Funktion, die gefunden werden muss, und das Eingangssignal ist normalerweise bekannt. Einige typische Eingangssignale wurden in Abschnitt 2.3 besprochen. Hier sind ihre Bilder:

eine Einzelschrittaktion hat das Bild X(s) = ,

Deltafunktion X(s) = 1,

linearer Stoß X(s) = .

Beispiel. Lösen von DE mithilfe von Laplace-Transformationen.

Angenommen, das Eingangssignal hat die Form eines Einzelschritteffekts, d. h. x(t) = 1. Dann ist das Bild des Eingangssignals X(s) = .

Wir transformieren die ursprüngliche Differentialgleichung nach Laplace und ersetzen X(s):

s 2 Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,

s 2 Y + 5sY + 6Y = 2s + 12,

Y(s 3 + 5s 2 + 6s) = 2s + 12.

Der Ausdruck für Y ist definiert:

.

Das Original der empfangenen Funktion ist nicht in der Tabelle der Originale und Bilder enthalten. Um das Problem zu lösen, wird der Bruch in eine Summe einfacher Brüche unterteilt, wobei berücksichtigt wird, dass der Nenner als s(s + 2)(s + 3) dargestellt werden kann:

= = + + =

Durch den Vergleich des resultierenden Bruchs mit dem Original können Sie ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten erstellen:

M 1 + M 2 + M 3 = 0 M 1 = 2

5 . M 1 + 3. M 2 + 2. M 3 = 2 à M 2 = -4

6. M 1 = 12 M 3 = 2

Daher kann ein Bruch als Summe von drei Brüchen dargestellt werden:

= - + .

Nun wird mithilfe von Tabellenfunktionen die ursprüngliche Ausgabefunktion ermittelt:

y(t) = 2 - 4 . e -2 t + 2 . e -3 t . ¨

Übertragungsfunktionen.

Beispiele für typische Links.

Ein Link eines Systems ist ein Element eines Systems, das bestimmte dynamische Eigenschaften aufweist. Die Verbindungen von Steuerungssystemen können eine unterschiedliche physikalische Grundlage haben (elektrische, pneumatische, mechanische usw. Verbindungen), gehören aber zur gleichen Gruppe. Der Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgangssignalen in den Verknüpfungen einer Gruppe wird durch die gleichen Übertragungsfunktionen beschrieben.

Die einfachsten typischen Links:

· intensivierend,

· integrieren,

differenzieren

· aperiodisch,

· oszillierend,

· verzögert.

1) Verstärkungsglied.

Der Link verstärkt das Eingangssignal um das K-fache. Die Verknüpfungsgleichung y = K*x, Übertragungsfunktion W(s) = K. Der Parameter K wird aufgerufen gewinnen .

Das Ausgangssignal einer solchen Verbindung wiederholt exakt das K-fach verstärkte Eingangssignal (siehe Abb. 1.15).

Beispiele für solche Verbindungen sind: mechanische Getriebe, Sensoren, trägheitsfreie Verstärker usw.

2) Integrieren.

2.1) Ideale Integration.

Der Ausgabewert einer ideal integrierenden Verknüpfung ist proportional zum Integral des Eingabewerts.

; W(s) =

Bei einer Einflussverknüpfung am Eingang steigt das Ausgangssignal stetig an (siehe Abb. 1.16).

Dieser Link ist astatisch, d.h. hat keinen stabilen Zustand.

2.2) Echte Integration.

Die Übertragungsfunktion dieses Links hat die Form:

Die Übergangsreaktion ist im Gegensatz zu einer idealen Verbindung eine Kurve (siehe Abb. 1.17).

Ein Beispiel für eine integrierende Verbindung ist ein Gleichstrommotor mit unabhängiger Erregung, wenn die Versorgungsspannung des Stators als Eingangseffekt und der Rotordrehwinkel als Ausgangseffekt verwendet wird.

3) Differenzieren.

3.1) Ideales Unterscheidungsmerkmal.

Die Ausgangsgröße ist proportional zur zeitlichen Ableitung der Eingabe:

Bei einem sprungförmigen Eingangssignal ist das Ausgangssignal ein Impuls (d-Funktion).

3.2) Echte Differenzierung.

Ideale differenzierende Verknüpfungen sind physikalisch nicht realisierbar. Die meisten Objekte, die differenzierende Links darstellen, gehören zu echten differenzierenden Links. Das Einschwingverhalten und die Übertragungsfunktion dieser Verbindung haben die Form:

4) Aperiodisch (Trägheit).

Dieser Link entspricht Fernbedienung und PF der Form:

; W(s) = .

Lassen Sie uns die Art der Änderung des Ausgabewerts dieser Verknüpfung bestimmen, wenn ein schrittweiser Effekt des Werts x 0 auf die Eingabe angewendet wird.

Bild des Stufeneffekts: X(s) = . Dann ist das Bild der Ausgabemenge:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

Zerlegen wir den Bruch in Primzahlen:

= + = = - = -

Das Original des ersten Bruchs laut Tabelle: L -1 ( ) = 1, der zweite:

Dann bekommen wir endlich:

y(t) = K x 0 (1 - ).

Die Konstante T heißt Zeitkonstante.

Die meisten thermischen Objekte sind aperiodische Verbindungen. Wenn beispielsweise Spannung an den Eingang eines Elektroofens angelegt wird, ändert sich dessen Temperatur nach einem ähnlichen Gesetz (siehe Abb. 1.19).

5) Oszillatorische Verbindung hat ein DE und PF der Form

,

W(s) = .

Wenn ein Stufeneffekt mit einer Amplitude x 0 auf den Eingang angewendet wird, ergibt sich die Übergangskurve

haben einen von zwei Typen: aperiodisch (bei T 1 ³ 2T 2) oder oszillierend (bei T 1).< 2Т 2).

6) Verspätet.

y(t) = x(t – t), W(s) = e – t s.

Der Ausgabewert y wiederholt genau den Eingabewert x mit einer gewissen Verzögerung t. Beispiele: Bewegung von Fracht entlang eines Förderbands, Bewegung von Flüssigkeit durch eine Rohrleitung.

Linkverbindungen.

Da das untersuchte Objekt zur Vereinfachung der Analyse seiner Funktionsweise in Verknüpfungen unterteilt ist, stellt sich nach der Bestimmung der Übertragungsfunktionen für jede Verknüpfung die Aufgabe, diese zu einer Übertragungsfunktion des Objekts zusammenzufassen. Die Art der Übertragungsfunktion des Objekts hängt von der Reihenfolge der Verbindungen der Links ab:

1) Serielle Verbindung.

W rev = W 1. W2. W 3...

Wenn Verbindungen in Reihe geschaltet werden, vervielfachen sich ihre Übertragungsfunktionen.

2) Parallelschaltung.

W rev = W 1 + W 2 + W 3 + …

Bei Parallelschaltung von Strecken addieren sich deren Übertragungsfunktionen.

3) Rückmeldung

Übertragungsfunktion per Referenz (x):

„+“ entspricht negativem OS,

„-“ – positiv.

Um die Übertragungsfunktionen von Objekten mit komplexeren Verknüpfungen zu bestimmen, werden entweder sequentielle Vergrößerungen des Schaltkreises verwendet oder sie werden mithilfe der Meson-Formel umgerechnet.

Übertragungsfunktionen von ASR.

Für Forschung und Berechnung wird das Strukturdiagramm des ASR durch äquivalente Transformationen auf die einfachste Standardform „Objekt – Controller“ reduziert.

Dies ist erstens notwendig, um die mathematischen Abhängigkeiten im System zu ermitteln, und zweitens werden in der Regel alle ingenieurwissenschaftlichen Methoden zur Berechnung und Bestimmung der Einstellungen von Reglern auf eine solche Standardstruktur angewendet.

Im Allgemeinen kann jedes eindimensionale ASR mit Hauptrückmeldung durch schrittweises Erweitern der Verknüpfungen in diese Form gebracht werden.

Wenn der Ausgang des Systems y nicht seinem Eingang zugeführt wird, erhalten wir ein Steuerungssystem, dessen Übertragungsfunktion als Produkt definiert ist:

W ¥ = W p . W y

(W p - PF des Reglers, W y - PF des Steuerobjekts).

Das heißt, die Folge der Verknüpfungen W p und W y kann durch eine Verknüpfung mit W ¥ ersetzt werden. Die Übertragungsfunktion eines geschlossenen Systems wird üblicherweise als Ф(s) bezeichnet. Es kann in Form von W ¥ ausgedrückt werden:

Diese Übertragungsfunktion Фз(s) bestimmt die Abhängigkeit von y von x und wird als Übertragungsfunktion eines geschlossenen Regelkreises entlang des Kanals der Referenzaktion (durch Referenz) bezeichnet.

Für ASR gibt es auch Übertragungsfunktionen über andere Kanäle:

Ф e (s) = = - versehentlich,

Ф in (s) = = - durch Störung.

Da die Übertragungsfunktion eines Systems mit offenem Regelkreis im Allgemeinen eine gebrochenrationale Funktion der Form W ¥ = ist, können die Übertragungsfunktionen eines Systems mit geschlossenem Regelkreis wie folgt transformiert werden:

Ф z (s) = = , Ф e (s) = = .

Wie Sie sehen, unterscheiden sich diese Übertragungsfunktionen nur in den Ausdrücken ihrer Zähler. Der Nennerausdruck wird aufgerufen charakteristischer Ausdruck eines geschlossenen Systems und wird als D з (s) = A(s) + B(s) bezeichnet, während der im Zähler der Open-Loop-Systemübertragungsfunktion gefundene Ausdruck W ¥ genannt wird charakteristischer Ausdruck eines Open-Loop-Systems B(s).

Frequenzeigenschaften.

Beispiele für LCH.

1. Tiefpassfilter (LPF)

LACHH LFCH Beispiel einer Schaltung

Der Tiefpassfilter dient der Unterdrückung hochfrequenter Einflüsse.

2. Hochpassfilter (HPF)

LACHH LFCH Beispiel einer Schaltung

Der Hochpassfilter dient der Unterdrückung niederfrequenter Einflüsse.

3. Barrierefilter.

Ein Stoppfilter unterdrückt nur einen bestimmten Frequenzbereich

LFC und LFCH Beispiel einer Schaltung

Stabilitätskriterien.

Nachhaltigkeit.

Ein wichtiger Indikator für ASR ist die Stabilität, da ihr Hauptzweck darin besteht, einen bestimmten konstanten Wert eines kontrollierten Parameters aufrechtzuerhalten oder ihn gemäß einem bestimmten Gesetz zu ändern. Weicht der Regelparameter vom vorgegebenen Wert ab (z. B. unter Einfluss einer Störung oder einer Einstellungsänderung), wirkt der Regler so auf das System ein, dass diese Abweichung beseitigt wird. Wenn das System infolge dieser Wirkung in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt oder in einen anderen Gleichgewichtszustand übergeht, wird ein solches System aufgerufen nachhaltig . Treten Schwingungen mit immer größer werdender Amplitude oder ein monotoner Anstieg des Fehlers e auf, so wird das System aufgerufen instabil .

Um festzustellen, ob ein System stabil ist oder nicht, werden Stabilitätskriterien verwendet:

1) Wurzelkriterium,

2) Stodola-Kriterium,

3) Hurwitz-Kriterium,

4) Nyquist-Kriterium,

5) Kriterium von Mikhailov et al.

Die ersten beiden Kriterien sind notwendige Kriterien für die Stabilität einzelner Verbindungen und Open-Loop-Systeme. Das Hurwitz-Kriterium ist algebraisch und wurde entwickelt, um die Stabilität geschlossener Systeme ohne Verzögerung zu bestimmen. Die letzten beiden Kriterien gehören zur Gruppe der Frequenzkriterien, da sie die Stabilität geschlossener Systeme anhand ihrer Frequenzeigenschaften bestimmen. Ihr Merkmal ist die Möglichkeit der Anwendung auf geschlossene Systeme mit Verzögerung, die die überwiegende Mehrheit der Steuerungssysteme ausmachen.

Wurzelkriterium.

Das Wurzelkriterium bestimmt die Stabilität des Systems durch die Art der Übertragungsfunktion. Das dynamische Merkmal des Systems, das die grundlegenden Verhaltenseigenschaften beschreibt, ist das charakteristische Polynom im Nenner der Übertragungsfunktion. Indem man den Nenner auf Null setzt, erhält man eine charakteristische Gleichung, deren Wurzeln zur Bestimmung der Stabilität verwendet werden können.

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung können reell oder komplex sein und werden zur Bestimmung der Stabilität auf der komplexen Ebene aufgetragen (siehe Abb. 1.34).

(Das Symbol gibt die Wurzeln der Gleichung an.)

Arten von Wurzeln der charakteristischen Gleichung:

Gültig:

positiv (Wurzelzahl 1);

negativ (2);

Null (3);

Komplex

komplexe Konjugate (4);

rein imaginär (5);

In der Reihenfolge der Multiplizität sind die Wurzeln:

einzeln (1, 2, 3);

Konjugat (4, 5): s i = a ± jw;

Vielfache (6) s i = s i +1 = …

Das Wurzelkriterium ist wie folgt formuliert:

Lineares ASR ist stabil, wenn alle Wurzeln der charakteristischen Gleichung in der linken Halbebene liegen. Liegt mindestens eine Wurzel auf der imaginären Achse, die die Stabilitätsgrenze darstellt, dann spricht man von einem System, das sich auf der Stabilitätsgrenze befindet. Wenn mindestens eine Wurzel in der rechten Halbebene liegt (unabhängig von der Anzahl der Wurzeln in der linken), dann ist das System instabil.

Mit anderen Worten: Alle reellen Wurzeln und reellen Teile komplexer Wurzeln müssen negativ sein. Ansonsten ist das System instabil.

Beispiel 3.1. Die Übertragungsfunktion des Systems hat die Form:

.

Charakteristische Gleichung: s 3 + 2s 2 + 2,25s + 1,25 = 0.

Wurzeln: s 1 = -1; s 2 = -0,5 + j; s 3 = -0,5 - j.

Daher ist das System stabil. ¨

Stodola-Kriterium.

Dieses Kriterium ist eine Konsequenz des vorherigen und wird wie folgt formuliert: Ein lineares System ist stabil, wenn alle Koeffizienten des charakteristischen Polynoms positiv sind.

Das heißt, für den Übertragungskoeffizienten aus Beispiel 3.1 entspricht er nach dem Stodol-Kriterium einem stabilen System.

Hurwitz-Kriterium.

Das Hurwitz-Kriterium arbeitet mit dem charakteristischen Polynom eines geschlossenen Systems. Bekanntlich sieht das Blockschaltbild des ACP fälschlicherweise so aus (siehe Abbildung)

W p - Übertragungsfunktion des Reglers,

W y ist die Übertragungsfunktion des Kontrollobjekts.

Bestimmen wir die Übertragungsfunktion für die direkte Kommunikation (Übertragungsfunktion eines Open-Loop-Systems, siehe Abschnitt 2.6.4): W ¥ = W p W y.

.

In der Regel hat die Übertragungsfunktion eines Open-Loop-Systems eine gebrochenrationale Form:

.

Dann erhalten wir nach Substitution und Transformation:

.

Daraus folgt, dass das charakteristische Polynom eines geschlossenen Regelkreises (CPPS) als Summe aus Zähler und Nenner W ¥ definiert werden kann:

D ç (s) = A(s) + B(s).

Zur Bestimmung der Hurwitz-Stabilität wird eine Matrix so aufgebaut, dass entlang der Hauptdiagonale die HPZS-Koeffizienten von a n +1 bis a 0 liegen. Rechts und links davon sind Koeffizienten mit durch 2 getrennten Indizes geschrieben (a 0, a 2, a 4 ... oder a 1, a 3, a 5 ...). Dann ist es für ein stabiles System notwendig und ausreichend, dass die Determinante und alle Hauptdiagonalen der Matrix größer als Null sind.

Wenn mindestens eine Determinante gleich Null ist, befindet sich das System an der Stabilitätsgrenze.

Wenn mindestens eine Determinante negativ ist, ist das System unabhängig von der Anzahl der positiven oder Null-Determinanten instabil.

Beispiel. Die Übertragungsfunktion des Open-Loop-Systems ist angegeben

.

Es ist erforderlich, die Stabilität eines geschlossenen Systems anhand des Hurwitz-Kriteriums zu bestimmen.

Zu diesem Zweck wird die HPZ definiert:

D(s) = A(s) + B(s) = 2s 4 + 3s 3 + s 2 + 2s 3 + 9s 2 + 6s + 1 = 2s 4 + 5s 3 + 10s 2 + 6s + 1.

Da der Grad der HPLC n = 4 ist, hat die Matrix eine Größe von 4x4. Die HPZ-Koeffizienten sind a 4 = 2, a 3 = 5, a 2 = 10, a 1 = 6 und 0 = 1.

Die Matrix sieht so aus:

(Beachten Sie die Ähnlichkeit der Matrixzeilen: 1 mit 3 und 2 mit 4). Qualifikanten:

Δ 1 = 5 > 0,

,

Δ 4 = 1* Δ 3 = 1*209 > 0.

Da alle Determinanten positiv sind, gilt ACP stabil. ♦

Mikhailov-Kriterium.

Die oben beschriebenen Stabilitätskriterien funktionieren nicht, wenn die Übertragungsfunktion des Systems eine Verzögerung aufweist, das heißt, sie kann in der Form geschrieben werden

,

wobei t die Verzögerung ist.

In diesem Fall ist der charakteristische Ausdruck des geschlossenen Systems kein Polynom und seine Wurzeln können nicht bestimmt werden. Um die Stabilität zu bestimmen, werden in diesem Fall die Häufigkeitskriterien von Mikhailov und Nyquist verwendet.

Das Verfahren zur Anwendung des Mikhailov-Kriteriums:

1) Der charakteristische Ausdruck des geschlossenen Systems lautet:

D з (s) = A(s) + B(s). e - t s .

MINISTERIUM FÜR BILDUNG UND WISSENSCHAFT DER RUSSISCHEN FÖDERATION

Autonome Bildungseinrichtung des Bundeslandes für höhere Berufsbildung

„Staatliche Universität für Luft- und Raumfahrtinstrumentierung St. Petersburg“

_________________________________________________________________

M. V. Burakow

Theorie der automatischen Steuerung.

Lernprogramm

Sankt Petersburg

Rezensenten:

Kandidat der technischen Wissenschaften D. O. Yakimovsky (Bundesstaatliches Unternehmen „Forschungsinstitut für Befehlsgeräte“). Kandidat der Technischen Wissenschaften, außerordentlicher Professor A. A. Martynov

(Staatliche Universität für Luft- und Raumfahrtinstrumentierung St. Petersburg)

Genehmigt vom Redaktions- und Verlagsrat der Universität

als Lehrmittel

Burakov M.V.

D79 Theorie der automatischen Steuerung: Lehrbuch. Zuschuss. Teil 1 / M. V. Burakov; – St. Petersburg: GUAP, 2013. -258 S.: Abb.

Das Lehrbuch behandelt die Grundlagen der Theorie der automatischen Steuerung – ein Grundkurs für die Ausbildung von Ingenieuren im Bereich Automatisierung und Steuerung.

Es werden die Grundkonzepte und Prinzipien der Regelung vorgestellt, mathematische Modelle sowie Methoden zur Analyse und Synthese linearer und diskreter Regelungssysteme auf Basis des Übertragungsfunktionsapparates betrachtet.

Das Lehrbuch richtet sich an die Vorbereitung von Bachelor- und Masterstudiengängen der Studienrichtung 220400 „Steuerung in technischen Systemen“ sowie an Studierende anderer Fachrichtungen, die die Disziplinen „Theorie der automatischen Steuerung“ und „Grundlagen der Steuerungstheorie“ studieren.

− GRUNDLEGENDE KONZEPTE UND DEFINITIONEN

o Kurze Geschichte der Entwicklung der Theorie der Automatik

Skogo-Management

Die Theorie der automatischen Steuerung kann als die Wissenschaft von Methoden zur Bestimmung der mit technischen Mitteln realisierbaren Steuerungsgesetze beliebiger Objekte definiert werden.

Die ersten automatischen Geräte wurden in der Antike von Menschen entwickelt, wie die uns vorliegenden schriftlichen Zeugnisse belegen. Die Arbeiten antiker griechischer und römischer Wissenschaftler enthalten Beschreibungen verschiedener automatischer Geräte: Hodometer – ein automatisches Gerät zur Entfernungsmessung, das auf der Neuberechnung der Anzahl der Umdrehungen eines Wagenrades basiert; Maschinen zum Öffnen von Türen und zum Verkauf von Wasser in Tempeln; automatische Kinos mit Nockenmechanismen; Vorrichtung zum Werfen von Pfeilen mit automatischer Zuführung. Um die Wende unserer Zeitrechnung rüsteten die Araber Wasseruhren mit einem Schwimmer-Füllstandsregler aus (Abb. 1.1).

Im Mittelalter entwickelte sich die „androide“ Automatisierung, als mechanische Konstrukteure Geräte entwickelten, die einzelne menschliche Handlungen nachahmten. Der Name „Android“ betont den humanoiden Charakter der Maschine. Androiden basierten auf Uhrmechanismen.

Es lassen sich mehrere Faktoren identifizieren, die im 17.–18. Jahrhundert die Entwicklung von Kontrollsystemen erforderlich machten:

1. die Entwicklung der Uhrmacherei, angetrieben durch die Bedürfnisse der sich schnell entwickelnden Schifffahrt;

2. die Entwicklung der Getreidemühlenindustrie und die Notwendigkeit, den Betrieb von Wassermühlen zu regulieren;

3. Erfindung der Dampfmaschine.

Reis. 1.1. Design einer Wasseruhr

Obwohl bekannt ist, dass bereits im Mittelalter Zentriin Wassermühlen eingesetzt wurden, gilt der Temperaturregler des Niederländers Cornelius Drebbel (1600) als erstes Rückkopplungssystem. Im Jahr 1675 baute X. Huygens einen Pendelregulator in die Uhr ein. Denis Papin erfand 1681 den ersten Druckregler für Dampfkessel.

Die Dampfmaschine wurde zum ersten Ziel industrieller Regulierungsbehörden, da sie nicht in der Lage war, selbstständig stabil zu arbeiten, d. h. hatte keine „Selbstnivellierung“

wir“ (Abb. 1.2).

Abb.1.2. Dampfmaschine mit Regler

Die ersten industriellen Regler sind ein automatischer Schwimmerregler zur Versorgung eines Kessels einer Dampfmaschine, gebaut 1765 von I. I. Polzunov, und ein Fliehkraftregler für eine Dampfmaschine, für den J. Watt 1784 ein Patent erhielt (Abb. 1.3). .

Bei diesen ersten Reglern handelte es sich um direkte Steuerungssysteme, d. h. es waren keine zusätzlichen Energiequellen erforderlich, um die Regler zu betätigen – das empfindliche Element bewegte den Regler direkt (moderne Steuerungssysteme sind indirekte Steuerungssysteme, da das Fehlersignal fast immer nicht ausreicht, um die Regulierung zu steuern). Körper).

Reis. 1.3. Watts Fliehkraftregler.

Es war kein Zufall, dass die Dampfmaschine das erste Objekt für die Anwendung von Technologie und Steuerungstheorie war, da sie nicht in der Lage war, selbstständig stabil zu arbeiten, und keine Selbstnivellierung besaß.

Hervorzuheben ist auch die Bedeutung der Entwicklung des ersten Softwaregeräts zur Steuerung eines Webstuhls mithilfe einer Lochkarte (zur Reproduktion von Mustern auf Teppichen), das 1808 von J. Jacquard gebaut wurde.

Polzunovs Erfindung war kein Zufall, denn Ende des 18. Jahrhunderts nahm die russische Metallindustrie eine weltweit führende Position ein. Anschließend leisteten russische Wissenschaftler und Ingenieure weiterhin große Beiträge zur Entwicklung der Theorie der automatischen Steuerung.

Das erste Werk zur Regulierungstheorie erschien 1823 und wurde von Chizhov, einem Professor an der Universität St. Petersburg, verfasst.

IN 1854 schlug K.I. Konstantinov vor, den von ihm entwickelten „elektromagnetischen Geschwindigkeitsregler“ anstelle eines konischen Pendels in Dampfmaschinen zu verwenden. Anstelle eines Zentrifugalmechanismus wird der Dampffluss in die Maschine mithilfe eines Elektromagneten gesteuert. Der von Konstantinov vorgeschlagene Regulator hatte eine größere Empfindlichkeit als ein konisches Pendel.

IN 1866 entwickelte A.I. Shpakovsky einen Regler für einen Dampfkessel, der über Düsen erhitzt wurde. Die Brennstoffzufuhr durch die Düsen war proportional zur Änderung des Dampfdrucks im Kessel. Sinkte der Druck, erhöhte sich der Kraftstoffdurchfluss durch die Einspritzdüsen, was zu einem Temperaturanstieg und in der Folge zu einem Druckanstieg führte.

IN 1856 wurden in Moskau während der Krönung Alexanders III. sechs leistungsstarke elektrische Bogenlampen mit automatischem Shpakovsky-Regler installiert. Dies war die erste praktische Erfahrung bei der Herstellung, Installation und dem Langzeitbetrieb einer Reihe elektromechanischer Regler.

Von 1869–1883 V. N. Chikolev entwickelte eine Reihe elektromechanischer Regler, darunter einen Differentialregler für Bogenlampen, der in der Geschichte der Regelungstechnik eine wichtige Rolle spielte.

Als Geburtsdatum der Theorie der automatischen Steuerung (ATC) wird üblicherweise das Jahr 1868 bezeichnet, als J. Maxwells Werk „On Regulators“ veröffentlicht wurde, in dem die Differentialgleichung als Modell der Steuerung verwendet wurde.

Einen großen Beitrag zur Entwicklung von TAU leistete der russische Mathematiker und Ingenieur I. A. Vyshnegradsky. In seinem 1876 veröffentlichten Werk „Zur allgemeinen Theorie der Regler“ untersuchte er die Dampfmaschine und den Fliehkraftregler als ein einziges dynamisches System. Vyshnegradsky hat die praktisch wichtigsten Schlussfolgerungen zur stabilen Bewegung von Systemen gezogen. Er führte erstmals das Konzept der Linearisierung von Differentialgleichungen ein und vereinfachte damit den mathematischen Forschungsapparat erheblich.

DIE THEORIE DER AUTOMATISCHEN STEUERUNG FÜR „DUMMIES“

K. Yu. Poljakow

Sankt Petersburg

© K.Yu. Poljakow, 2008

„An einer Universität muss man den Stoff auf einem hohen professionellen Niveau präsentieren. Da dieses Niveau jedoch weit über den Kopf eines durchschnittlichen Schülers hinausgeht, werde ich es an meinen Fingern erklären. Es ist zwar nicht sehr professionell, aber verständlich.“

Unbekannter Lehrer

Vorwort

Dieses Handbuch dient der ersten Einarbeitung in die Thematik. Seine Aufgabe ist es, die Grundkonzepte „an den Fingern“ zu erklären. Theorie der automatischen Steuerung und stellen Sie sicher, dass Sie nach der Lektüre in der Lage sind, Fachliteratur zu diesem Thema wahrzunehmen. Dieses Handbuch sollte nur als Grundlage betrachtet werden, als Ausgangspunkt für die ernsthafte Auseinandersetzung mit einem ernsten Thema, das sehr interessant und spannend werden kann.

Es gibt Hunderte von Lehrbüchern zur automatischen Steuerung. Das ganze Problem besteht jedoch darin, dass das Gehirn bei der Wahrnehmung neuer Informationen nach etwas Bekanntem sucht, das es „erfassen“ kann, und auf dieser Grundlage das Neue mit bereits bekannten Konzepten „verknüpft“. Die Praxis zeigt, dass es für einen modernen Studenten schwierig ist, ernsthafte Lehrbücher zu lesen. Es gibt nichts, woran man sich festhalten könnte. Und hinter strengen wissenschaftlichen Beweisen verbirgt sich oft der Kern der Sache, der meist recht einfach ist. Der Autor versuchte, auf eine niedrigere Ebene „abzusteigen“ und eine Kette von „alltäglichen“ Konzepten zu den Konzepten der Managementtheorie aufzubauen.

Die Darstellung leidet in jedem Schritt unter mangelnder Genauigkeit, Beweise werden nicht vorgelegt, Formeln werden nur dort verwendet, wo es ohne sie nicht möglich ist. Der Mathematiker wird hier viele Ungereimtheiten und Auslassungen finden, da (gemäß den Zielen des Handbuchs) zwischen Genauigkeit und Verständlichkeit immer die Wahl zugunsten der Verständlichkeit getroffen wird.

Vom Leser sind nur geringe Vorkenntnisse erforderlich. Muss eine Idee haben

Ö einige Abschnitte des höheren Mathematikstudiums:

1) Ableitungen und Integrale;

2) Differentialgleichung;

3) lineare Algebra, Matrizen;

4) komplexe Zahlen.

Danksagungen

Der Autor bedankt sich herzlich bei Dr. EIN. Churilov, Ph.D. V.N. Kalinichenko und Ph.D. IN. Rybinsky, der die vorläufige Version des Handbuchs sorgfältig gelesen und viele wertvolle Kommentare abgegeben hat, die es ermöglichten, die Präsentation zu verbessern und verständlicher zu machen.

© K.Yu. Poljakow, 2008

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1. Grundkonzepte

1.1. Einführung

Seit der Antike wollte der Mensch Gegenstände und Kräfte der Natur für seine Zwecke nutzen, also kontrollieren. Sie können unbelebte Objekte (z. B. einen Stein an einen anderen Ort rollen), Tiere (Training) und Menschen (Chef – Untergebener) steuern. Viele Managementaufgaben in der modernen Welt sind mit technischen Systemen verbunden – Autos, Schiffen, Flugzeugen, Werkzeugmaschinen. Beispielsweise müssen Sie einen bestimmten Kurs eines Schiffes, die Höhe eines Flugzeugs, die Motordrehzahl oder die Temperatur in einem Kühlschrank oder Ofen aufrechterhalten. Werden diese Aufgaben ohne menschliche Beteiligung gelöst, spricht man von automatische Kontrolle.

Die Managementtheorie versucht, die Frage „Wie soll man managen?“ zu beantworten. Bis zum 19. Jahrhundert existierte die Wissenschaft der Steuerung nicht, obwohl es bereits erste automatische Steuerungssysteme gab (zum Beispiel wurde Windmühlen „beigebracht“, sich in Richtung des Windes zu drehen). Die Entwicklung der Managementtheorie begann während der industriellen Revolution. Diese Richtung in der Wissenschaft wurde zunächst von der Mechanik entwickelt, um Regulierungsprobleme zu lösen, also die Aufrechterhaltung eines bestimmten Wertes von Drehzahl, Temperatur und Druck in technischen Geräten (z. B. in Dampfmaschinen). Daher kommt auch der Name „Theorie der automatischen Regulierung“.

Später stellte sich heraus, dass Managementprinzipien nicht nur in der Technik, sondern auch in der Biologie, den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften erfolgreich angewendet werden können. Die Wissenschaft der Kybernetik untersucht die Prozesse der Steuerung und Informationsverarbeitung in Systemen jeglicher Art. Einer seiner Abschnitte, der sich hauptsächlich auf technische Systeme bezieht, heißt Theorie der automatischen Steuerung. Neben klassischen Regelungsproblemen werden auch die Optimierung von Regelungsgesetzen und Fragen der Anpassungsfähigkeit (Adaption) behandelt.

Manchmal werden die Namen „Theorie der automatischen Steuerung“ und „Theorie der automatischen Steuerung“ synonym verwendet. In der modernen ausländischen Literatur findet man beispielsweise nur einen Begriff – Kontrolltheorie.

1.2. Kontroll systeme

1.2.1. Woraus besteht das Steuerungssystem?

IN Bei Verwaltungsaufgaben gibt es immer zwei Objekte – das verwaltete Objekt und das Managerobjekt. Das verwaltete Objekt wird normalerweise aufgerufenKontrollobjekt oder einfach ein Objekt, und das Kontrollobjekt – ein Regler. Bei der Drehzahlregelung ist das Regelobjekt beispielsweise ein Motor (Elektromotor, Turbine); beim Problem der Stabilisierung des Kurses eines Schiffes – eines in Wasser getauchten Schiffes; bei der Aufgabe, den Lautstärkepegel aufrechtzuerhalten - dynamisch

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ka. Ein modernes Auto ist im wahrsten Sinne des Wortes „vollgestopft“ mit Steuerelektronik, bis hin zum Bordcomputer.

Typischerweise wirkt der Regler nicht direkt auf das gesteuerte Objekt, sondern über Aktoren (Antriebe), die das Steuersignal verstärken und umwandeln können, beispielsweise kann ein elektrisches Signal in die Bewegung eines Ventils „umwandeln“, das den Kraftstoffverbrauch reguliert, oder dazu, das Lenkrad in einem bestimmten Winkel zu drehen.

Damit der Regler „sehen“ kann, was tatsächlich mit dem Objekt passiert, sind Sensoren erforderlich. Sensoren werden am häufigsten verwendet, um die Eigenschaften eines Objekts zu messen, die gesteuert werden müssen. Darüber hinaus kann die Qualität des Managements verbessert werden, wenn zusätzliche Informationen gewonnen werden – durch die Messung der inneren Eigenschaften des Objekts.

1.2.2. Systemstruktur

Ein typisches Steuerungssystem umfasst also eine Anlage, eine Steuerung, einen Aktor und Sensoren. Eine Menge dieser Elemente ist jedoch noch kein System. Um sich in ein System zu verwandeln, sind Kommunikationskanäle erforderlich, über die Informationen zwischen Elementen ausgetauscht werden. Zur Übertragung von Informationen können elektrischer Strom, Luft (pneumatische Systeme), Flüssigkeit (hydraulische Systeme) und Computernetzwerke verwendet werden.

Miteinander verbundene Elemente sind bereits ein System, das (aufgrund der Verbindungen) besondere Eigenschaften aufweist, die einzelne Elemente und jede Kombination davon nicht haben.

Die Hauptintrige des Managements hängt mit der Tatsache zusammen, dass die Umgebung das Objekt beeinflusst – äußere Störungen, die die Regulierungsbehörde an der Erfüllung ihrer zugewiesenen Aufgabe „hindern“. Die meisten Störungen sind im Voraus unvorhersehbar, das heißt, sie sind zufälliger Natur.

Darüber hinaus messen Sensoren Parameter nicht genau, sondern mit einigen, wenn auch kleinen Fehlern. In diesem Fall sprechen sie von „Messrauschen“ in Analogie zu Rauschen in der Funktechnik, das Signale verzerrt.

Zusammenfassend können wir ein Blockdiagramm des Steuerungssystems wie folgt zeichnen:

Zum Beispiel im Kurskontrollsystem eines Schiffes

Kontrollobjekt- das ist das Schiff selbst, das sich im Wasser befindet; Um seinen Kurs zu steuern, wird ein Ruder verwendet, um die Richtung des Wasserflusses zu ändern.

Regler – Digitalrechner;

Antrieb – eine Lenkvorrichtung, die das elektrische Steuersignal verstärkt und in eine Lenkdrehung umwandelt;

Sensoren – ein Messsystem, das den tatsächlichen Kurs bestimmt;

äußere Störungen- das sind Meereswellen und Wind, die das Schiff vom vorgegebenen Kurs abbringen;

Messrauschen sind Sensorfehler.

Die Informationen im Kontrollsystem scheinen sich „im Kreis zu drehen“: Die Regulierungsbehörde gibt ein Signal

Steuerung am Antrieb, der direkt auf das Objekt einwirkt; Dann werden Informationen über das Objekt über die Sensoren an die Steuerung zurückgesendet und alles beginnt von vorne. Sie sagen, dass das System über Feedback verfügt, das heißt, der Regler nutzt Informationen über den Zustand des Objekts, um die Kontrolle zu entwickeln. Rückkopplungssysteme werden als geschlossen bezeichnet, da Informationen in einem geschlossenen Kreislauf übertragen werden.

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1.2.3. Wie funktioniert der Regler?

Der Regler vergleicht das Stellsignal („Sollwert“, „Sollwert“, „Sollwert“) mit Rückmeldungssignalen von Sensoren und ermittelt daraus Nichtübereinstimmung(Kontrollfehler) – der Unterschied zwischen dem gegebenen und dem tatsächlichen Zustand. Wenn es Null ist, ist keine Steuerung erforderlich. Bei einer Differenz gibt der Regler ein Steuersignal aus, das die Abweichung auf Null reduzieren soll. Daher kann die Reglerschaltung in vielen Fällen wie folgt gezeichnet werden:

Rückkopplung

Dieses Diagramm zeigt Fehlerkontrolle(oder durch Abweichung). Das bedeutet, dass der Regelwert vom eingestellten Wert abweichen muss, damit der Regler wirken kann. Der mit ≠ markierte Block findet die Nichtübereinstimmung. Im einfachsten Fall subtrahiert es ein Rückmeldesignal (Messwert) von einem vorgegebenen Wert.

Ist es möglich, ein Objekt zu steuern, ohne einen Fehler zu verursachen? In realen Systemen nein. Erstens aufgrund äußerer Einflüsse und Geräusche, die im Vorfeld nicht bekannt sind. Darüber hinaus weisen Kontrollobjekte Trägheit auf, das heißt, sie können nicht sofort von einem Zustand in einen anderen wechseln. Die Fähigkeiten der Steuerung und der Antriebe (also die Leistung des Steuersignals) sind immer begrenzt, daher ist auch die Geschwindigkeit des Steuersystems (die Geschwindigkeit des Übergangs in einen neuen Modus) begrenzt. Beispielsweise überschreitet der Ruderwinkel bei der Steuerung eines Schiffes in der Regel 30–35° nicht, wodurch die Geschwindigkeit der Kursänderung begrenzt wird.

Wir haben die Option in Betracht gezogen, bei der Feedback verwendet wird, um die Differenz zwischen dem spezifizierten und dem tatsächlichen Zustand des Kontrollobjekts zu verringern. Eine solche Rückkopplung wird als negative Rückkopplung bezeichnet, da das Rückkopplungssignal vom Befehlssignal subtrahiert wird. Könnte es umgekehrt sein? Es stellt sich heraus, ja. In diesem Fall wird das Feedback als positiv bezeichnet, es erhöht die Nichtübereinstimmung, das heißt, es neigt dazu, das System zu „erschüttern“. In der Praxis wird die positive Rückkopplung beispielsweise bei Generatoren genutzt, um ungedämpfte elektrische Schwingungen aufrechtzuerhalten.

1.2.4. Open-Loop-Systeme

Ist eine Steuerung ohne Feedback möglich? Im Prinzip ist es möglich. In diesem Fall erhält der Controller keine Informationen über den tatsächlichen Zustand des Objekts, daher muss genau bekannt sein, wie sich dieses Objekt verhält. Nur dann können Sie im Voraus berechnen, wie es gesteuert werden muss (erstellen Sie das erforderliche Steuerungsprogramm). Es gibt jedoch keine Garantie dafür, dass die Aufgabe erledigt wird. Solche Systeme heißen Programmsteuerungssysteme oder Open-Loop-Systeme, da Informationen nicht in einem geschlossenen Kreislauf übertragen werden, sondern nur in eine Richtung.

Auch ein blinder oder gehörloser Fahrer kann Auto fahren. Einige Zeit. Solange er sich an die Straße erinnert und seinen Platz richtig berechnen kann. Bis er unterwegs auf Fußgänger oder andere Autos trifft, von denen er vorher nichts wissen kann. Aus diesem einfachen Beispiel wird deutlich, dass ohne

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Feedback (Informationen von Sensoren) Es ist unmöglich, den Einfluss unbekannter Faktoren und die Unvollständigkeit unseres Wissens zu berücksichtigen.

Trotz dieser Nachteile werden in der Praxis Open-Loop-Systeme eingesetzt. Zum Beispiel eine Informationstafel an einem Bahnhof. Oder eine einfache Motorsteuerung, bei der es nicht notwendig ist, die Drehzahl sehr genau einzuhalten. Aus regelungstheoretischer Sicht sind Open-Loop-Systeme jedoch von geringem Interesse, und wir werden nicht mehr darüber sprechen.

1.3. Welche Arten von Steuerungssystemen gibt es?

Automatisches System ist ein System, das ohne menschliches Eingreifen funktioniert. Gibt es noch mehr? automatisiert Systeme, in denen Routineprozesse (Sammlung und Analyse von Informationen) von einem Computer ausgeführt werden, das gesamte System jedoch von einem menschlichen Bediener gesteuert wird, der Entscheidungen trifft. Wir werden nur automatische Systeme weiter untersuchen.

1.3.1. Ziele von Kontrollsystemen

Automatische Steuerungssysteme werden zur Lösung von drei Arten von Problemen eingesetzt:

Stabilisierung, d. h. Beibehaltung einer bestimmten Betriebsart, die sich über einen längeren Zeitraum nicht ändert (das Einstellsignal ist konstant, oft Null);

Softwaresteuerung– Steuerung nach einem vorher bekannten Programm (das Einstellsignal ändert sich, ist aber im Voraus bekannt);

Verfolgung eines unbekannten Mastersignals.

ZU Zu den Stabilisierungssystemen gehören beispielsweise Autopiloten auf Schiffen (die einen bestimmten Kurs beibehalten) und Turbinengeschwindigkeitskontrollsysteme. Programmierte Steuerungssysteme werden häufig in Haushaltsgeräten wie Waschmaschinen eingesetzt. Servosysteme dienen der Signalverstärkung und -wandlung; sie werden in Antrieben und bei der Übertragung von Befehlen über Kommunikationsleitungen, beispielsweise über das Internet, eingesetzt.

1.3.2. Eindimensionale und mehrdimensionale Systeme

Entsprechend der Anzahl der vorhandenen Ein- und Ausgänge

eindimensionale Systeme, die einen Eingang und einen Ausgang haben (sie werden in der sogenannten klassischen Kontrolltheorie berücksichtigt);

mehrdimensionale Systeme mit mehreren Ein- und/oder Ausgängen (das Hauptthema der modernen Kontrolltheorie).

Wir werden nur eindimensionale Systeme untersuchen, bei denen sowohl das Objekt als auch der Controller ein Eingangs- und ein Ausgangssignal haben. Wenn wir beispielsweise ein Schiff entlang eines Kurses steuern, können wir davon ausgehen, dass es eine Steueraktion (Drehen des Ruders) und eine Regelgröße (Kurs) gibt.

In Wirklichkeit ist dies jedoch nicht ganz richtig. Tatsache ist, dass sich bei einer Kursänderung auch die Roll- und Trimmung des Schiffes ändert. In einem eindimensionalen Modell vernachlässigen wir diese Änderungen, obwohl sie sehr bedeutsam sein können. Beispielsweise kann bei einer scharfen Kurve das Wanken einen inakzeptablen Wert erreichen. Andererseits können Sie zur Steuerung nicht nur das Lenkrad, sondern auch verschiedene Triebwerke, Nickstabilisatoren usw. verwenden, d. h. das Objekt verfügt über mehrere Eingänge. Somit ist das eigentliche Kurskontrollsystem mehrdimensional.

Das Studium mehrdimensionaler Systeme ist eine recht komplexe Aufgabe und würde den Rahmen dieses Handbuchs sprengen. Daher wird bei technischen Berechnungen manchmal versucht, ein mehrdimensionales System als mehrere eindimensionale zu vereinfachen, und nicht selten führt diese Methode zum Erfolg.

1.3.3. Kontinuierliche und diskrete Systeme

Je nach Art der Systemsignale kann dies der Fall sein

kontinuierlich, wobei alle Signale Funktionen einer kontinuierlichen Zeit sind, die über ein bestimmtes Intervall definiert ist;

diskret, wobei diskrete Signale (Zahlenfolgen) verwendet werden, die nur zu bestimmten Zeitpunkten definiert sind;

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kontinuierlich-diskret, die sowohl kontinuierliche als auch diskrete Signale enthalten. Kontinuierliche (oder analoge) Systeme werden üblicherweise durch Differentialgleichungen beschrieben. Dies sind alles Bewegungssteuerungssysteme, die keine Computer oder andere Elemente enthalten.

diskrete Aktionsgeräte (Mikroprozessoren, logische integrierte Schaltkreise). Mikroprozessoren und Computer sind diskrete Systeme, da sie alle Informationen enthalten

Die Daten werden in diskreter Form gespeichert und verarbeitet. Der Computer kann keine kontinuierlichen Signale verarbeiten, da er nur mit arbeitet Sequenzen Zahlen. Beispiele für diskrete Systeme finden sich in der Ökonomie (Bezugszeitraum – Quartal oder Jahr) und in der Biologie (Raubtier-Beute-Modell). Zur Beschreibung werden Differenzengleichungen verwendet.

Es gibt auch Hybride kontinuierlich-diskret Systeme, zum Beispiel Computersysteme zur Steuerung bewegter Objekte (Schiffe, Flugzeuge, Autos usw.). In ihnen werden einige Elemente durch Differentialgleichungen und andere durch Differenzengleichungen beschrieben. Aus mathematischer Sicht stellt dies große Schwierigkeiten für ihre Untersuchung dar, weshalb kontinuierlich-diskrete Systeme in vielen Fällen auf vereinfachte rein kontinuierliche oder rein diskrete Modelle reduziert werden.

1.3.4. Stationäre und instationäre Systeme

Für das Management ist die Frage, ob sich die Eigenschaften eines Objekts im Laufe der Zeit ändern, von großer Bedeutung. Systeme, in denen alle Parameter konstant bleiben, werden als stationär bezeichnet, was bedeutet, dass sie sich „im Laufe der Zeit nicht ändern“. Dieses Tutorial behandelt nur stationäre Systeme.

Bei praktischen Problemen sieht es oft nicht so rosig aus. Beispielsweise verbraucht eine fliegende Rakete Treibstoff und dadurch ändert sich ihre Masse. Somit ist eine Rakete ein instationäres Objekt. Als Systeme werden Systeme bezeichnet, bei denen sich die Parameter eines Objekts oder Controllers im Laufe der Zeit ändern instationär. Obwohl die Theorie instationärer Systeme existiert (die Formeln wurden geschrieben), ist ihre praktische Anwendung nicht so einfach.

1.3.5. Gewissheit und Zufälligkeit

Die einfachste Möglichkeit besteht darin, davon auszugehen, dass alle Parameter des Objekts genau bestimmt (eingestellt) sind, genau wie äußere Einflüsse. In diesem Fall sprechen wir darüber deterministisch Systeme, die in der klassischen Kontrolltheorie berücksichtigt wurden.

Für reale Probleme liegen uns jedoch keine genauen Daten vor. Dies gilt zunächst für äußere Einflüsse. Um beispielsweise das Schaukeln eines Schiffes im ersten Stadium zu untersuchen, können wir davon ausgehen, dass die Welle die Form eines Sinus mit bekannter Amplitude und Frequenz hat. Dies ist ein deterministisches Modell. Trifft das in der Praxis zu? Natürlich nicht. Mit diesem Ansatz können nur ungefähre, grobe Ergebnisse erzielt werden.

Nach modernen Konzepten wird die Wellenform näherungsweise als Summe von Sinuskurven beschrieben, die zufällige, also im Voraus unbekannte Frequenzen, Amplituden und Phasen aufweisen. Auch Störungen und Messrauschen sind Zufallssignale.

Man nennt Systeme, in denen zufällige Störungen wirken oder sich die Parameter eines Objekts zufällig ändern können stochastisch(wahrscheinlich). Die Theorie stochastischer Systeme erlaubt es, nur probabilistische Ergebnisse zu erhalten. Sie können beispielsweise nicht garantieren, dass die Kursabweichung des Schiffes immer nicht mehr als 2° beträgt, Sie können jedoch versuchen, eine solche Abweichung mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit sicherzustellen (99 % Wahrscheinlichkeit bedeutet, dass die Anforderung in 99 von 100 Fällen erfüllt wird). ).

1.3.6. Optimale Systeme

Oft können Systemanforderungen wie folgt formuliert werden: Optimierungsprobleme. In optimalen Systemen ist der Regler darauf ausgelegt, ein Minimum oder Maximum eines Qualitätskriteriums bereitzustellen. Es muss daran erinnert werden, dass der Ausdruck „optimales System“ nicht bedeutet, dass es wirklich ideal ist. Alles wird durch das akzeptierte Kriterium bestimmt – wenn es erfolgreich gewählt wird, wird das System gut, wenn nicht, dann umgekehrt.

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1.3.7. Spezielle Klassen von Systemen

Wenn die Parameter des Objekts oder der Störungen nicht genau bekannt sind oder sich im Laufe der Zeit ändern können (in instationären Systemen), werden adaptive oder selbstanpassende Regler verwendet, bei denen sich das Regelgesetz ändert, wenn sich die Bedingungen ändern. Im einfachsten Fall (bei mehreren vorbekannten Betriebsarten) erfolgt eine einfache Umschaltung zwischen mehreren Regelgesetzen. In adaptiven Systemen wertet der Controller häufig die Parameter des Objekts in Echtzeit aus und ändert dementsprechend das Steuergesetz gemäß einer vorgegebenen Regel.

Ein selbstoptimierendes System, das versucht, den Regler so einzustellen, dass er das Maximum oder Minimum eines Qualitätskriteriums „findet“, wird als „Extrem“ bezeichnet (vom Wort „Extremum“, was „Maximum“ oder „Minimum“ bedeutet).

Viele moderne Haushaltsgeräte (zum Beispiel Waschmaschinen) verwenden Fuzzy-Controller, basierend auf den Prinzipien der Fuzzy-Logik. Mit diesem Ansatz können wir die menschliche Entscheidungsfindung formalisieren: „Wenn das Schiff zu weit nach rechts gegangen ist, muss das Ruder sehr weit nach links bewegt werden.“

Eine der beliebtesten Richtungen in der modernen Theorie ist der Einsatz von Errungenschaften der künstlichen Intelligenz zur Steuerung technischer Systeme. Der Regler wird auf der Grundlage eines neuronalen Netzwerks aufgebaut (oder einfach nur konfiguriert), das von einem menschlichen Experten vorab trainiert wird.

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2. Mathematische Modelle

2.1. Was müssen Sie wissen, um zurechtzukommen?

Ziel jeder Steuerung ist es, den Zustand eines Objekts in der gewünschten Weise (entsprechend der Aufgabenstellung) zu ändern. Die Theorie der automatischen Steuerung muss die Frage beantworten: „Wie baut man einen Regler, der ein bestimmtes Objekt so steuern kann, dass das Ziel erreicht wird?“ Dazu muss der Entwickler wissen, wie das Steuerungssystem auf verschiedene Einflüsse reagiert, also ein Modell des Systems benötigt wird: Objekt, Antrieb, Sensoren, Kommunikationskanäle, Störungen, Lärm.

Ein Modell ist ein Objekt, das wir verwenden, um ein anderes Objekt (Original) zu untersuchen. Das Modell und das Original müssen in irgendeiner Weise ähnlich sein, damit die aus der Untersuchung des Modells gezogenen Schlussfolgerungen (mit einiger Wahrscheinlichkeit) auf das Original übertragen werden können. Uns wird vor allem interessiert sein Mathematische Modelle, ausgedrückt als Formeln. Darüber hinaus werden in der Wissenschaft auch deskriptive (verbale), grafische, tabellarische und andere Modelle verwendet.

2.2. Ein- und Ausgangsanschluss

Jedes Objekt interagiert über Ein- und Ausgänge mit der externen Umgebung. Inputs sind mögliche Einwirkungen auf ein Objekt, Outputs sind die Signale, die gemessen werden können. Beispielsweise können bei einem Elektromotor die Eingänge Versorgungsspannung und Last und die Ausgänge sein

– Wellendrehzahl, Temperatur.

Die Eingaben sind unabhängig, sie „kommen“ aus der externen Umgebung. Wenn sich die Informationen am Eingang ändern, ändert sich die interne Objektzustand(so werden seine sich ändernden Eigenschaften genannt) und gibt als Konsequenz Folgendes aus:

Das bedeutet, dass es eine Regel gibt, nach der das Element die Eingabe x in die Ausgabe y umwandelt. Diese Regel wird als Operator bezeichnet. Das Schreiben von y = U bedeutet, dass die Ausgabe y empfangen wird

das Ergebnis der Anwendung des Operators U auf die Eingabe x.

Ein Modell zu erstellen bedeutet, einen Operator zu finden, der Ein- und Ausgänge verbindet. Mit seiner Hilfe können Sie die Reaktion eines Objekts auf ein beliebiges Eingangssignal vorhersagen.

Betrachten Sie einen Gleichstrom-Elektromotor. Der Eingang dieses Objekts ist die Versorgungsspannung (in Volt), der Ausgang ist die Drehzahl (in Umdrehungen pro Sekunde). Wir gehen davon aus, dass bei einer Spannung von 1 V die Rotationsfrequenz 1 U/min beträgt und bei einer Spannung von 2 V – 2 U/min, d. h. die Rotationsfrequenz ist betragsmäßig gleich der Spannung1. Es ist leicht zu erkennen, dass die Aktion eines solchen Operators in das Formular geschrieben werden kann

U[ x] = x .

Nehmen wir nun an, dass derselbe Motor das Rad dreht und wir die Anzahl der Umdrehungen des Rades relativ zur Ausgangsposition (im Moment t = 0) als Ausgabe des Objekts gewählt haben. In diesem Fall gibt uns das Produkt x ∆ t bei gleichförmiger Rotation die Anzahl der Umdrehungen in der Zeit ∆ t, also y (t) = x ∆ t (hier bezeichnet die Notation y (t) eindeutig die Abhängigkeit der Ausgabe). pünktlich

weder t). Können wir davon ausgehen, dass wir mit dieser Formel den Operator U definiert haben? Offensichtlich nicht, denn die resultierende Abhängigkeit gilt nur für ein konstantes Eingangssignal. Ändert sich die Spannung am Eingang x(t) (egal wie!), wird der Drehwinkel als Integral geschrieben

1 Dies gilt natürlich nur für einen bestimmten Spannungsbereich.

THEORIE DER AUTOMATISCHEN STEUERUNG

Vorlesungsnotizen

EINFÜHRUNG

Du wirst es lernen:

· Was ist die Theorie der automatischen Steuerung (TAC)?

· Was ist Gegenstand, Gegenstand und Zweck des TAU-Studiums?

· Was ist die Hauptforschungsmethode an der TAU?

· Welchen Stellenwert hat TAU ​​unter anderen Wissenschaften?

· Was ist die Geschichte von TAU?

· Warum ist das Studium von TAU wichtig?

· Was sind die aktuellen Trends in der Produktionsautomatisierung?

Was ist die Theorie der automatischen Steuerung?

Das Konzept von TAU fasst die in seinem Namen enthaltenen Begriffe zusammen:

· Theorie – ein Wissensbestand, der es unter bestimmten Bedingungen ermöglicht, zuverlässige Ergebnisse zu erzielen

· Kontrolle – die Wirkung, die auf ein Objekt ausgeübt wird, um ein bestimmtes Ziel zu erreichen;

· automatische Kontrolle – Steuerung ohne menschliches Eingreifen mit technischen Mitteln.

Deshalb

TAU– ein Wissensschatz, der es Ihnen ermöglicht, automatische Prozessleitsysteme mit spezifizierten Eigenschaften zu erstellen und zu implementieren.

Was ist Gegenstand, Gegenstand und Zweck des TAU-Studiums?

Studienobjekt TAU– Automatisches Kontrollsystem (ACS).

Studienfach TAU– Prozesse, die im automatisierten Kontrollsystem ablaufen.

Zweck des TAU-Studiums– Berücksichtigung erworbener Kenntnisse in praktischen Tätigkeiten bei Entwurf, Produktion, Installation, Inbetriebnahme und Betrieb automatisierter Steuerungssysteme.

Die wichtigste Forschungsmethode an der TAU.

Bei der Untersuchung von Steuerungsprozessen in TAU abstrahieren sie von den physikalischen und konstruktiven Merkmalen des automatisierten Steuerungssystems und berücksichtigen anstelle realer automatischer Steuerungssysteme deren adäquate mathematische Modelle. Deshalb die wichtigste Forschungsmethode an der TAU Ist Mathe-Modellierung.

Platz der TAU unter anderen Wissenschaften.

TAU bildet zusammen mit der Theorie der Funktionsweise von Steuerungssystemelementen (Sensoren, Regler, Aktoren) einen breiteren Wissenschaftszweig – Automatisierung. Die Automatisierung wiederum ist einer der Abschnitte Technische Kybernetik. Die technische Kybernetik untersucht komplexe automatisierte Steuerungssysteme für technologische Prozesse (APCS) und Unternehmen (APCS), die unter Verwendung elektronischer Steuerungscomputer aufgebaut sind.

Geschichte der TAU.

Die ersten theoretischen Arbeiten auf dem Gebiet der automatischen Steuerung erschienen Ende des 19. Jahrhunderts, als Dampfmaschinenregler in der Industrie weit verbreitet waren und praktische Ingenieure bei der Konstruktion und Einrichtung dieser Regler auf Schwierigkeiten stießen. In dieser Zeit wurden zahlreiche Studien durchgeführt, in denen erstmals die Dampfmaschine und ihr Regler mit mathematischen Methoden als ein einziges dynamisches System analysiert wurden.

Bis etwa zur Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelte sich die Theorie der Regler von Dampfmaschinen und Kesseln als Teilgebiet der angewandten Mechanik. Gleichzeitig wurden Methoden zur Analyse und Berechnung automatischer Geräte in der Elektrotechnik entwickelt. Die Entstehung der TAU zu einer eigenständigen wissenschaftlichen und pädagogischen Disziplin erfolgte in der Zeit von 1940 bis 1950. Zu dieser Zeit erschienen die ersten Monographien und Lehrbücher, in denen automatische Geräte unterschiedlicher physikalischer Natur mit einheitlichen Methoden betrachtet wurden.

Derzeit spielt TAU ​​zusammen mit den neuesten Abschnitten der sogenannten allgemeinen Managementtheorie (Operations Research, Systems Engineering, Spieltheorie, Warteschlangentheorie) eine wichtige Rolle bei der Verbesserung und Automatisierung des Produktionsmanagements.

Warum ist das Studium der TAU wichtig?

Automatisierung ist eine der Hauptrichtungen des wissenschaftlichen und technischen Fortschritts und ein wichtiges Mittel zur Steigerung der Produktionseffizienz. Die moderne industrielle Produktion ist gekennzeichnet durch eine Zunahme des Umfangs und der Komplexität technologischer Prozesse, eine Erhöhung der Einheitskapazität einzelner Einheiten und Anlagen, den Einsatz intensiver Hochgeschwindigkeitsmodi nahe dem Kritischen, steigende Anforderungen an die Produktqualität, die Sicherheit des Personals, Ausrüstung und Umwelt.

Der wirtschaftliche, zuverlässige und sichere Betrieb komplexer technischer Objekte kann nur mit modernsten technischen Mitteln gewährleistet werden, deren Entwicklung, Herstellung, Installation, Inbetriebnahme und Betrieb ohne TAU-Kenntnisse undenkbar sind.

Moderne Trends in der Produktionsautomatisierung.

Moderne Trends in der Produktionsautomatisierung sind:

- weitverbreiteter Einsatz von Computern zur Steuerung;

- Schaffung von Maschinen und Geräten mit eingebauten Mikroprozessormitteln zur Messung, Steuerung und Regelung;

- Übergang zu dezentralen (verteilten) Steuerungsstrukturen mit Mikrocomputern;

- Implementierung von Mensch-Maschine-Systemen;

- Einsatz äußerst zuverlässiger technischer Mittel;

- Automatisierter Entwurf von Steuerungssystemen.

1. ALLGEMEINE GRUNDSÄTZE FÜR DEN BAU VON ACS

Du wirst treffen:

· Mit grundlegenden Konzepten und Definitionen.

· Mit ACS-Struktur.

· Mit ACS-Klassifizierung.

1.1. Grundlegende Konzepte und Definitionen

Algorithmus für die Funktionsweise des Geräts (Systems)– eine Reihe von Anweisungen, die zur korrekten Umsetzung eines technischen Prozesses in einem Gerät oder einer Reihe von Geräten (System) führen.

Zum Beispiel, elektrisches System– eine Reihe von Geräten, die die Einheit der Prozesse der Erzeugung, Umwandlung, Übertragung, Verteilung und des Verbrauchs elektrischer Energie gewährleisten und gleichzeitig eine Reihe von Anforderungen an Betriebsparameter (Frequenz, Spannung, Leistung usw.) gewährleisten. Das elektrische System ist so ausgelegt, dass unter normalen Betriebsbedingungen diese Anforderungen erfüllt werden, d. h. Rechts technischer Prozess durchgeführt wurde. In diesem Fall funktionierender Algorithmus Die Funktionsweise eines elektrischen Systems wird in der Gestaltung seiner Bestandteile (Generatoren, Transformatoren, Stromleitungen usw.) und in einem spezifischen Schaltkreis für deren Verbindung umgesetzt.

Allerdings können äußere Umstände (Einwirkungen) die ordnungsgemäße Funktion des Geräts (Systems) beeinträchtigen. Für ein elektrisches System können solche Auswirkungen beispielsweise sein: Änderungen der Belastung elektrischer Energieverbraucher, Änderungen der Konfiguration des elektrischen Netzwerks durch Schaltvorgänge, Kurzschlüsse, Drahtbrüche usw. Daher müssen besondere Einflüsse auf das Gerät (System) ausgeübt werden, die darauf abzielen, die unerwünschten Folgen äußerer Einflüsse zu kompensieren und den Betriebsalgorithmus auszuführen. In diesem Zusammenhang werden folgende Konzepte eingeführt:

Kontrollobjekt (OU)– ein Gerät (System), das einen technischen Prozess ausführt und zur Umsetzung seines Funktionsalgorithmus speziell organisierte äußere Einflüsse benötigt.

Steuerobjekte sind beispielsweise sowohl einzelne Geräte des elektrischen Systems (Turbogeneratoren, Stromwandler elektrischer Energie, Verbraucher) als auch das elektrische System als Ganzes.

Steueralgorithmus– eine Reihe von Anweisungen, die die Art der äußeren Einflüsse auf das Kontrollobjekt bestimmen und so seinen funktionierenden Algorithmus sicherstellen.

Beispiele für Regelalgorithmen sind Algorithmen zur Änderung der Erregung eines Synchrongenerators und des Dampfstroms in seinen Turbinen, um den unerwünschten Einfluss von Änderungen der Verbraucherlast auf die Spannungsniveaus an den Knoten des elektrischen Systems und die Frequenz dieser Spannung zu kompensieren .

Steuergerät (CU)– ein Gerät, das gemäß dem Steueralgorithmus das gesteuerte Objekt beeinflusst.

Beispiele für Steuergeräte sind ein automatischer Erregerregler (AEC) und ein automatischer Drehzahlregler (ARCV) eines Synchrongenerators.

Automatisches Kontrollsystem (ACS)– eine Reihe interagierender Steuerobjekte und Steuergeräte.

Dies ist beispielsweise ein automatisches Erregungssystem für einen Synchrongenerator, das ein interagierendes ARV und den Synchrongenerator selbst enthält.

Reis. 1.1. Verallgemeinertes Blockdiagramm des automatisierten Steuerungssystems

X( T) – kontrollierte Menge – eine physikalische Größe, die den Zustand eines Objekts charakterisiert.

Oftmals verfügt das Kontrollobjekt über mehrere Kontrollgrößen x 1 (t), x 2 (t)... x n (t), dann reden sie darüber N-dimensionaler Vektor des Objektzustands x(t) mit den oben aufgeführten Komponenten. Das Kontrollobjekt wird in diesem Fall als mehrdimensional bezeichnet.

Beispiele für geregelte Größen in einem elektrischen System sind: Strom, Spannung, Leistung, Geschwindigkeit usw.

z o (t), z d (t) – bzw. die Hauptsache(wirkt auf das Kontrollobjekt ) und zusätzlich ( auf das Steuergerät einwirken ) störende Einflüsse.

Beispiele für den wichtigsten störenden Einfluss z o (t) sind Änderungen der Belastung des Synchrongenerators, der Temperatur seines Kühlmediums usw. und der zusätzliche Störeinfluss z d (t) – Änderung der Kühlbedingungen UU, Spannungsinstabilität von Netzteilen UU usw.

Reis. 1.2. Struktur des automatischen Kontrollsystems

Reis. 1.3. Funktionsdiagramm des automatisierten Steuerungssystems

Algorithmische Struktur (Schema) – Struktur (Schema), die eine Reihe miteinander verbundener algorithmischer Verbindungen darstellt und Algorithmen zur Umwandlung von Informationen in automatisierte Steuerungssysteme charakterisiert.

Dabei,

algorithmischer Link- Teil der algorithmischen Struktur des automatisierten Steuerungssystems, entsprechend einem bestimmten mathematischen oder logischen Signalumwandlungsalgorithmus.

Wenn eine algorithmische Verknüpfung eine einfache mathematische oder logische Operation ausführt, wird sie aufgerufen elementar algorithmischer Link. In den Diagrammen werden algorithmische Verknüpfungen durch Rechtecke dargestellt, in die die entsprechenden Signalumwandlungsoperatoren geschrieben sind. Manchmal werden anstelle von Operatoren in Formelform Diagramme der Abhängigkeit des Ausgabewerts von der Eingabe oder Diagramme von Übergangsfunktionen angegeben.

Folgende Arten algorithmischer Verknüpfungen werden unterschieden:

· statisch;

· dynamisch;

· Arithmetik;

· logisch.

Statischer Link –eine Verbindung, die das Eingangssignal sofort (ohne Trägheit) in ein Ausgangssignal umwandelt.

Der Zusammenhang zwischen den Eingangs- und Ausgangssignalen einer statischen Verbindung wird üblicherweise durch eine algebraische Funktion beschrieben. Zu den statischen Verbindungen gehören verschiedene trägheitsfreie Wandler, beispielsweise ein ohmscher Spannungsteiler. Abbildung 1.4a zeigt ein herkömmliches Bild eines statischen Links in einem algorithmischen Diagramm.

Dynamischer Link– eine Verbindung, die das Eingangssignal gemäß den Operationen der zeitlichen Integration und Differenzierung in ein Ausgangssignal umwandelt.

Der Zusammenhang zwischen den Eingangs- und Ausgangssignalen der dynamischen Verbindung wird durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben.

Die Klasse der dynamischen Verbindungen umfasst Elemente eines automatisierten Steuerungssystems, die in der Lage sind, jede Art von Energie oder Substanz zu akkumulieren, beispielsweise einen Integrator auf Basis eines elektrischen Kondensators.

Arithmetischer Link– eine Verbindung, die eine der arithmetischen Operationen ausführt: Summation, Subtraktion, Multiplikation, Division.

Die gebräuchlichste arithmetische Verbindung in der Automatisierung ist die Verbindung, die die algebraische Summierung von Signalen durchführt Addierer.

Logischer Link– eine Verknüpfung, die eine beliebige logische Operation ausführt: logische Multiplikation („AND“), logische Addition („OR“), logische Negation („NOT“) usw.

Die Ein- und Ausgangssignale einer logischen Verknüpfung sind in der Regel diskret und werden als logische Variablen betrachtet.

Abbildung 1.4 zeigt konventionelle Bilder elementarer algorithmischer Verknüpfungen.

Abbildung 1.4. Konventionelle Bilder elementarer algorithmischer Verknüpfungen:

A– statisch; B– dynamisch; V– Arithmetik; G– logisch

Struktureller Aufbau (Diagramm) – Struktur (Diagramm), die die spezifische Schaltung, Konstruktion und sonstige Gestaltung des automatisierten Steuerungssystems widerspiegelt.

Zu den Strukturdiagrammen gehören: kinematische Diagramme von Geräten, Schaltpläne und Schaltpläne elektrischer Verbindungen usw. Da sich TAU mit mathematischen Modellen automatisierter Steuerungssysteme befasst, sind konstruktive Diagramme weitaus weniger interessant als funktionale und algorithmische Diagramme.

1.3. ACS-Klassifizierung

Die Klassifizierung automatisierter Steuerungssysteme kann nach verschiedenen Prinzipien und Merkmalen erfolgen, die den Zweck und die Gestaltung der Systeme, die Art der verwendeten Energie, die verwendeten Steuerungs- und Betriebsalgorithmen usw. charakterisieren.

Betrachten wir zunächst die Klassifizierung automatisierter Steuerungssysteme nach den für die Steuerungstheorie wichtigsten Merkmalen, die den Funktionsalgorithmus und den Steuerungsalgorithmus des automatischen Steuerungssystems charakterisieren.

Abhängig von der Art der Änderung des Referenzeinflusses im Laufe der Zeit ACS ist in drei Klassen unterteilt:

· stabilisierend;

· Software;

· Verfolgung.

Stabilisierendes automatisiertes Kontrollsystem– ein System, dessen Betriebsalgorithmus eine Anweisung enthält, den Wert der Regelgröße konstant zu halten:

x(t) » x з = const.(1.3)

Zeichen » bedeutet, dass die kontrollierte Menge mit einem gewissen Fehler auf einem bestimmten Niveau gehalten wird.

Stabilisierende automatisierte Steuerungssysteme sind in der industriellen Automatisierung am weitesten verbreitet. Sie dienen der Stabilisierung verschiedener physikalischer Größen, die den Zustand technischer Objekte charakterisieren. Ein Beispiel für ein stabilisierendes automatisiertes Steuerungssystem ist das Erregersteuerungssystem für einen Synchrongenerator (siehe Abb. 1.2).

Automatisches Software-Steuerungssystem– ein System, dessen Betriebsalgorithmus eine Anweisung zur Änderung der Regelgröße gemäß einer vorgegebenen Zeitfunktion enthält:

x(t) » x s (t) = f p (t).(1.4)

Ein Beispiel für ein automatisiertes Software-Steuerungssystem ist ein System zur Steuerung der Wirkleistung einer Synchrongeneratorlast in einem Kraftwerk während des Tages. Die Regelgröße im System ist die aktive Lastleistung R R z(Einfluss der Einstellung) wird als Funktion der Zeit definiert T tagsüber (siehe Abb. 1.5).

Reis. 1.5. Gesetz zur Änderung der Wirkleistungsreferenz

Automatisches Tracking-Steuerungssystem– ein System, dessen Betriebsalgorithmus eine Anweisung enthält, die Regelgröße entsprechend einer bisher unbekannten Funktion der Zeit zu ändern:

x(t) » x s (t) = f s (t).(1.5)

Ein Beispiel für ein automatisiertes Tracking-Steuerungssystem ist ein System zur Steuerung der Wirkleistung einer Synchrongeneratorlast in einem Kraftwerk während des Tages. Die Regelgröße im System ist die aktive Lastleistung R Generator Gesetz zur Änderung der Wirkleistungsreferenz R z(Einstellungseinfluss) wird beispielsweise vom Netzdisponenten bestimmt und ist im Tagesverlauf unsicherer Natur.

Bei der Stabilisierung, Programmierung und Verfolgung automatisierter Steuerungssysteme besteht das Steuerungsziel darin, die Gleichheit oder Nähe der kontrollierten Größe sicherzustellen x(t) auf seinen eingestellten Wert x z (t). Eine solche Verwaltung erfolgt mit dem Ziel der Aufrechterhaltung

x(t) » x з (t),(1.6)

angerufen Verordnung.

Das Steuergerät, das die Regelung durchführt, wird aufgerufen Regler, und das System selbst – Regulierungssystem.

Abhängig von der Konfiguration der Einflusskette Es gibt drei Arten automatisierter Kontrollsysteme:

· mit offenem Einflusskreislauf (offenes System);

· mit einer geschlossenen Einflusskette (geschlossenes System);

· mit einer kombinierten Wirkungskette (kombiniertes System).

Automatisiertes Steuersystem mit offenem Regelkreis– ein System, in dem keine Regelung der Regelgröße erfolgt, d.h. die Eingangseinflüsse seines Steuergerätes sind lediglich äußere (leitende und störende) Einflüsse.

Automatisierte Steuerungssysteme mit offenem Regelkreis können wiederum in zwei Typen unterteilt werden:

· Ausübung der Kontrolle entsprechend den Änderungen nur des Einstellungseinflusses (Abb. 1.6, a);

· Ausübung der Kontrolle entsprechend Änderungen der Umgebung und störender Einflüsse (Abb. 1.6, b).

Reis. 2.1. Arten von Signalen

Bei der Untersuchung automatisierter Steuerungssysteme und ihrer Elemente sind eine Reihe von Standardsignale, angerufen typische Auswirkungen . Diese Auswirkungen werden durch einfache mathematische Funktionen beschrieben und lassen sich bei der Untersuchung automatisierter Steuerungssysteme leicht reproduzieren. Die Verwendung von Standardeinflüssen ermöglicht eine Vereinheitlichung der Analyse verschiedener Systeme und erleichtert den Vergleich ihrer Übertragungseigenschaften.

Die folgenden typischen Effekte werden bei TAU am häufigsten genutzt:

· trat;

· gepulst;

· harmonisch;

· linear.

Stufenaufprall– ein Aufprall, der augenblicklich von Null auf einen bestimmten Wert ansteigt und dann konstant bleibt (Abb. 2.2, a).

Reis. 2.2. Arten typischer Auswirkungen

Aufgrund der Art der Änderung des Ausgabewerts im Laufe der Zeit Folgende Modi des ACS-Elements werden unterschieden:

· statisch;

· dynamisch.

Statischer Modus– Zustand des ACS-Elements, in dem sich der Ausgabewert über die Zeit nicht ändert, d. h. y(t) = const.

Es ist offensichtlich, dass der statische Modus (oder Gleichgewichtszustand) nur dann auftreten kann, wenn die Eingangseinflüsse zeitlich konstant sind. Der Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen im statischen Modus wird durch algebraische Gleichungen beschrieben.

Dynamischer Modus– Zustand des ACS-Elements, bei dem sich die Eingangsgröße über die Zeit kontinuierlich ändert, d. h. y(t) = var.

Der dynamische Modus tritt auf, wenn im Element nach Anwendung eines Eingabeeinflusses Prozesse zur Herstellung eines bestimmten Zustands oder einer bestimmten Änderung des Ausgabewerts auftreten. Diese Prozesse werden im Allgemeinen durch Differentialgleichungen beschrieben.

Dynamische Modi wiederum sind unterteilt in:

· instabil (vorübergehend);

· stetig (quasi-stetig).

Instationärer (transienter) Modus– ein Modus, der von dem Moment an existiert, in dem sich der Eingangseinfluss zu ändern beginnt, bis zu dem Moment, in dem sich der Ausgangswert gemäß dem Gesetz dieses Einflusses zu ändern beginnt.

Gleichgewichtszustand– ein Modus, der auftritt, nachdem sich der Ausgangswert nach dem gleichen Gesetz wie der Eingangseffekt zu ändern beginnt, d. h. er tritt nach dem Ende des Übergangsprozesses auf.

Im stationären Zustand erfährt das Element eine erzwungene Bewegung. Es ist offensichtlich, dass der statische Modus ein Sonderfall des stationären (erzwungenen) Modus ist x(t) = const.

Konzepte " Übergangsregime" Und " Gleichgewichtszustand» dargestellt durch Diagramme der Änderungen des Ausgabewerts y(t) mit zwei typischen Eingangseinflüssen x(t)(Abb. 2.3). Grenze dazwischen Übergang Und gegründet Die einzelnen Modi werden durch eine vertikale gepunktete Linie angezeigt.

Reis. 2.3. Transiente und stationäre Modi unter typischen Stößen

2.3. Statische Eigenschaften von Elementen

Die Übertragungseigenschaften von Elementen und automatischen Steuerungssystemen im statischen Modus werden anhand statischer Kennlinien beschrieben.

Statische Eigenschaft des Elements– Abhängigkeit der Ausbringungsmenge j Element aus der Eingabe X

y = f(x) = y(x)(2.10)

im stabilen statischen Modus.

Das statische Merkmal eines bestimmten Elements kann in analytischer Form angegeben werden (z. B. y = kx 2) oder in Form eines Diagramms (Abb. 2.4).

Reis. 2.4. Statische Eigenschaft des Elements

Der Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen ist in der Regel eindeutig. Ein Element mit einer solchen Verbindung heißt statisch (positionell) (Abb. 2.5, A). Mehrdeutiges Element – astatisch (Abb. 2.5, B).

Reis. 2.5. Arten statischer Merkmale

Basierend auf der Art der statischen Eigenschaften werden die Elemente unterteilt in:

· linear;

· nichtlinear.

Linienelement– ein Element, das eine statische Charakteristik in Form einer linearen Funktion hat (Abb. 2.6):

y = b + ax.(2.11)

Reis. 2.6. Arten linearer Funktionen

Nichtlineares Element– ein Element mit einer nichtlinearen statischen Charakteristik.

Die nichtlineare statische Charakteristik wird üblicherweise analytisch in Form von Potenzfunktionen, Potenzpolynomen, gebrochenrationalen Funktionen und komplexeren Funktionen ausgedrückt (Abb. 2.7).

Reis. 2.7. Arten nichtlinearer Funktionen

Nichtlineare Elemente wiederum werden unterteilt in:

· Elemente mit deutlich nichtlinearer statischer Charakteristik;

· Elemente mit einer nicht signifikant nichtlinearen statischen Charakteristik;

Irrelevante nichtlineare statische Kennlinie– Merkmal, das durch eine stetig differenzierbare Funktion beschrieben wird.

In der Praxis bedeutet diese mathematische Bedingung, dass der Graph der Funktion y = f(x) sollte eine glatte Form haben (Abb. 2.5, A).In einem begrenzten Bereich von Änderungen des Eingabewerts X Eine solche Kennlinie kann näherungsweise durch eine lineare Funktion ersetzt (angenähert) werden. Der ungefähre Ersatz einer nichtlinearen Funktion durch eine lineare wird aufgerufen Linearisierung. Die Linearisierung einer nichtlinearen Kennlinie ist zulässig, wenn sich während des Betriebs des Elements dessen Eingangswert in einem kleinen Bereich um einen bestimmten Wert ändert x = x 0.

Im Wesentlichen nichtlineare statische Reaktion– ein durch eine Funktion beschriebenes Merkmal, das Knicke oder Diskontinuitäten aufweist.

Ein Beispiel für eine deutlich nichtlineare statische Kennlinie ist die Kennlinie eines Relais (Abb. 2.5, V), die, wenn das Eingangssignal erreicht X(Strom in der Relaiswicklung) von einem bestimmten Wert x 1ändert das Ausgangssignal j(Spannung im Schaltkreis) vom Pegel Jahr 1 zu nivellieren Jahr 2. Das Ersetzen einer solchen Charakteristik durch eine gerade Linie mit konstantem Neigungswinkel würde dazu führen bedeutsam Diskrepanz zwischen der mathematischen Beschreibung des Elements und dem realen physikalischen Prozess, der im Element abläuft. Daher kann die im Wesentlichen nichtlineare statische Kennlinie nicht linearisiert werden.

Die Linearisierung glatter (irrelevant nichtlinearer) statischer Eigenschaften kann entweder durch durchgeführt werden Tangentenmethode , oder von Sekantenmethode .

So besteht beispielsweise die Linearisierung mit der Tangentenmethode in der Erweiterung der Funktion y(x) im Intervall um einen bestimmten Punkt x 0 in die Taylor-Reihe und anschließende Berücksichtigung der ersten beiden Terme dieser Reihe:

y(x) » y(x 0) + y¢(x 0)(x – x 0),(2.12) wo y¢(x 0) – Wert der Ableitung der Funktion y(x) an einem bestimmten Punkt A mit Koordinaten x 0 Und y 0 .

Reis. 2.8. Linearisierung der statischen Kennlinie durch die Tangentenmethode

Bei der Analyse automatisierter Steuerungssysteme ist es sinnvoll, lineare statische Eigenschaften bei Abweichungen von Variablen zu berücksichtigen X Und j aus Werten x 0 Und y 0:

Dy = y - y 0 ; (2.13)

Dx = x - x 0 . (2.14)

Reis. 2.9. Vierpolschaltung mit linearen Elementen

Nichtlineare Differentialgleichung– eine Gleichung, in der die Funktion Ф Produkte, Quotienten, Potenzen usw. der Variablen y(t), x(t) und ihrer Ableitungen enthält.

Beispielsweise werden die Übertragungseigenschaften eines Vierpolnetzwerks mit einem nichtlinearen Widerstand (Abb. 2.10) beschrieben nichtlinear Differentialgleichung der Form

0. (2.18)

Reis. 2.10. Vierpoliger Stromkreis mit einem nichtlinearen Widerstand

Funktionieren F (Differentialgleichung) umfasst auch abgerufene Mengen Parameter . Sie verknüpfen Argumente miteinander ( y(t), y¢(t),… y (n) (t); x(t),…x (m) (t), t) und charakterisieren die Eigenschaften des Elements von der quantitativen Seite. Zum Beispiel, Parameter sind Körpermasse, aktiver Widerstand, Induktivität und Kapazität des Leiters usw.

Die meisten realen Elemente werden durch nichtlineare Differentialgleichungen beschrieben, was die anschließende Analyse des automatisierten Steuerungssystems erheblich erschwert. Daher streben sie danach, von nichtlinearen zu linearen Gleichungen der Form überzugehen

Für alle reellen Elemente ist die Bedingung m £ n erfüllt.

Chancen a 0 , a 1 …a n Und b 0 , b 1 …b m in Gleichung (2.19) genannt Parameter. Manchmal ändern sich Parameter im Laufe der Zeit, dann wird das Element aufgerufen instationär oder mit variablen Parametern . Dies ist beispielsweise ein Netzwerk mit vier Anschlüssen, dessen Diagramm in Abb. dargestellt ist. 2.10.

In weiteren Diskussionen werden wir jedoch nur Elemente mit betrachten dauerhaft Parameter.

Wurde bei der Aufstellung einer linearen Differentialgleichung die statische Kennlinie eines Elements linearisiert, so gilt sie nur für die Umgebung des Linearisierungspunktes und kann in Abweichungen der Variablen (2.13...2.16) geschrieben werden. Um die Notation zu vereinfachen, werden die Abweichungen der Variablen in der linearisierten Gleichung jedoch mit denselben Symbolen wie in der ursprünglichen nichtlinearen Gleichung bezeichnet, jedoch ohne das Symbol D .

Der wichtigste praktische Vorteil linear Gleichung (2.19) ist die Möglichkeit der Verwendung Prinzip der Superposition, entsprechend der Änderung des Ausgabewertes y(t), was auftritt, wenn ein Element mehreren Eingangssignalen ausgesetzt ist xi(t), ist gleich der Summe der Änderungen der Ausgangsmengen yi(t) verursacht durch jedes Signal xi(t) separat (Abb. 2.11).

Reis. 2.11. Veranschaulichung des Superpositionsprinzips

2.4.2. Timing-Eigenschaften

Die Differentialgleichung liefert keine visuelle Darstellung der dynamischen Eigenschaften des Elements, eine solche Darstellung wird jedoch durch die Funktion gegeben y(t), also die Lösung dieser Gleichung.

Allerdings kann dieselbe Differentialgleichung je nach den Anfangsbedingungen und der Art der Eingabeaktion viele Lösungen haben x(t), was beim Vergleich der dynamischen Eigenschaften verschiedener Elemente unpraktisch ist. Daher wurde beschlossen, nur diese Eigenschaften des Elements zu charakterisieren eins Lösung der Differentialgleichung erhalten mit null Anfangsbedingungen und eine davon typisch Einflüsse: Einzelschritt, Deltafunktion, harmonisch, linear. Die anschaulichste Darstellung der dynamischen Eigenschaften eines Elements wird durch seine gegeben Übergangsfunktion h(t).

Übergangsfunktion h(t) des Elements– zeitliche Änderung des Ausgangswerts y(t) des Elements bei einer Einzelschrittaktion und Null-Anfangsbedingungen.

Die Übergangsfunktion kann angegeben werden:

· in Form einer Grafik;

· in analytischer Form.

Die Übergangsfunktion besteht wie jede Lösung der inhomogenen (mit rechtsseitiger) Differentialgleichung (2.19) aus zwei Komponenten:

· erzwungenes h in (t) (gleich dem stationären Wert der Ausgangsgröße);

· freies h mit (t) (Lösung einer homogenen Gleichung).

Die erzwungene Komponente kann durch Lösen von Gleichung (2.19) mit erhalten werden null Derivate und x(t) = 1

(2.20)

Den freien Anteil erhalten wir, indem wir Gleichung (2.19) lösen Null rechte Seite

h mit (t) =(2.21)

Wo p k – k-te Wurzel der charakteristischen Gleichung(im Allgemeinen eine komplexe Zahl); Mit k - k-te Integrationskonstante(hängt von den Anfangsbedingungen ab).

Charakteristische Gleichung– eine algebraische Gleichung, deren Grad und Koeffizienten mit der Ordnung und den Koeffizienten der linken Seite einer linearen Differentialgleichung der Form (2.19) übereinstimmen.

a 0 p n + a 1 p n –1 +…+ a n = 0.(2.22)

2.4.3. Übertragungsfunktion

Die gebräuchlichste Methode zur Beschreibung und Analyse automatischer Steuerungssysteme ist die Operationalmethode (Methode der Betriebsrechnung), die auf der direkten integralen Laplace-Transformation für stetige Funktionen basiert

F(p) = Z{ f(t)} = f(t) e -pt dt . (2.23)

Diese Transformation stellt eine Entsprechung zwischen einer Funktion einer reellen Variablen her T und eine Funktion einer komplexen Variablen p = a + jb. Funktion f(t), im Laplace-Integral (2.23) enthalten heißt Original, und das Ergebnis der Integration ist die Funktion F(p) – Bild Funktionen f(t) nach Laplace.

Die Transformation ist nur für gleiche Funktionen möglich null bei T< 0. Formal wird diese Bedingung in TAU durch Multiplikation der Funktion sichergestellt f(t) pro Einheitsschrittfunktion 1 (T) oder durch Auswahl des Beginns der Zeitzählung von dem Moment bis zu dem f(t) = 0.

Die wichtigsten Eigenschaften der Laplace-Transformation für null Anfangsbedingungen sind:

Z{ f¢(t)} = pF(p);(2.24)

Z{ f(t)dt} = F(p)/p.(2.25)

Die operative Methode in der TAU hat sich weit verbreitet, da sie zur Bestimmung der sogenannten verwendet wird Übertragungsfunktion, die kompakteste Form zur Beschreibung der dynamischen Eigenschaften von Elementen und Systemen.

Durch Anwenden der direkten Laplace-Transformation auf die Differentialgleichung (2.19) unter Verwendung der Eigenschaft (2.24) erhalten wir die algebraische Gleichung

D(p)Y(p) = K(p)X(p),(2.26)

D(p) = a 0 p n + a 1 p n-1 +…+ a n - eigener Betreiber; (2.27)

K(p) = b 0 p m + b 1 p m-1 +…+ b m - Eingabeoperator. (2.28)

Lassen Sie uns das Konzept einer Übertragungsfunktion einführen.

Übertragungsfunktion– das Verhältnis des Bildes der Ausgangsgröße zum Bild der Eingangsgröße bei Null-Anfangsbedingungen:

(2.29)

Unter Berücksichtigung von Gleichung (2.26) und Notation (2.27, 2.28) nimmt der Ausdruck für die Übertragungsfunktion dann die Form an:

(2.30)

Variablenwert P, W(p) geht ins Unendliche, genannt Pol der Übertragungsfunktion . Offensichtlich sind die Pole die Wurzeln des richtigen Operators D(p).

Variablenwert P, bei der die Übertragungsfunktion W(p) geht auf Null, aufgerufen Nullübertragungsfunktion . Offensichtlich sind die Nullen die Wurzeln des Eingabeoperators K(p).

Wenn der Koeffizient ein 0 ¹ 0, dann hat die Übertragungsfunktion keinen Nullpol ( p = 0) heißt das dadurch charakterisierte Element astatisch und die Übertragungsfunktion dieses Elements bei p = 0 (t = ¥) gleich Transmissionskoeffizient

(2.31)

2.4.4. Frequenzeigenschaften

Frequenzkennlinien beschreiben die Übertragungseigenschaften von Elementen und automatischen Steuerungssystemen im Modus stationärer harmonischer Schwingungen, die durch äußere harmonische Einflüsse verursacht werden. Sie finden in der TAU Anwendung, da reale Störungen und damit die Reaktionen eines Elements oder eines automatischen Steuerungssystems darauf als Summe harmonischer Signale dargestellt werden können.

Lassen Sie uns überlegen Wesen Und Sorten Frequenzeigenschaften. Lassen Sie die Eingabe des linearen Elements (Abb. 2.12, A) im Moment der Zeit t = 0 angewandter harmonischer Einfluss mit der Frequenz w

x(t) = x m sinw t. (2.32)

Reis. 2.12. Diagramme und Kurven zur Erläuterung des Wesens der Frequenzeigenschaften

Nach Abschluss des Übergangsprozesses werden der erzwungene Oszillationsmodus und der Ausgangswert festgelegt y(t)ändert sich nach dem gleichen Gesetz wie die Eingabe x(t), aber im allgemeinen Fall mit einer anderen Amplitude j m und mit Phasenverschiebung J entlang der Zeitachse relativ zum Eingangssignal (Abb. 2.12, B):

y(t) = y m sin(w t + j) . (2.33)

Ich habe ein ähnliches Experiment durchgeführt, jedoch mit einer anderen Frequenz w, Es ist ersichtlich, dass die Amplitude j m und Phasenverschiebung J haben sich geändert, d. h. sie sind frequenzabhängig. Sie können auch sicherstellen, dass für ein anderes Element die Parameterabhängigkeiten gelten j m Und J aus der Frequenz w Andere. Daher können solche Abhängigkeiten als Merkmale der dynamischen Eigenschaften von Elementen dienen.

Die folgenden Frequenzeigenschaften werden bei TAU am häufigsten verwendet:

· Amplitudenfrequenzgang (AFC);

· Phasenfrequenzgang (PFC);

· Amplituden-Phasen-Frequenzgang (APFC).

Amplitudenfrequenzgang (AFC)– Abhängigkeit des Verhältnisses der Amplituden der Ausgangs- und Eingangssignale von der Frequenz

Der Frequenzgang zeigt, wie ein Element Signale unterschiedlicher Frequenz überträgt. Ein Beispiel für den Frequenzgang ist in Abb. dargestellt. 2.13, A.

Reis. 2.13. Frequenzcharakteristik:

A - Amplitude; B– Phase; V– Amplitude-Phase; g – logarithmisch

Phasenfrequenzgang– Abhängigkeit der Phasenverschiebung zwischen den Eingangs- und Ausgangssignalen von der Frequenz.

Die Phasengangcharakteristik zeigt, wie viel Verzögerung oder Voreilung des Ausgangssignals in der Phase das Element bei verschiedenen Frequenzen erzeugt. Ein Beispiel für einen Phasengang ist in Abb. dargestellt. 2.13, B.

Die Amplituden- und Phaseneigenschaften können zu einem gemeinsamen zusammengefasst werden - Amplituden-Phasen-Frequenzgang (APFC). Der AFC ist eine Funktion einer komplexen Variablen jw :

W(jw) = A(w) e j j (w) (Exponentialform), (2.35)

Wo A(w)– Funktionsmodul; j(w)– Funktionsargument.

Jeder feste Frequenzwert w ich entspricht einer komplexen Zahl W(jw i), die auf der komplexen Ebene durch einen Vektor mit der Länge dargestellt werden kann A(w i) und Drehwinkel j(wi)(Abb. 2.13, V). Negative Werte j(w), entsprechend der Verzögerung des Ausgangssignals gegenüber dem Eingangssignal, wird normalerweise im Uhrzeigersinn aus der positiven Richtung der realen Achse gezählt.

Beim Ändern der Frequenz von Null auf Unendlich