Online-Charts. So zeichnen Sie eine Funktion grafisch auf: Punkte auf einer Koordinatenebene darstellen

Build-Funktion

Wir bieten Ihnen einen Service zur Online-Erstellung von Funktionsgraphen an, an dem alle Rechte dem Unternehmen gehören Desmos. Verwenden Sie die linke Spalte, um Funktionen einzugeben. Sie können die Eingabe manuell oder über die virtuelle Tastatur am unteren Rand des Fensters vornehmen. Um das Fenster mit der Grafik zu vergrößern, können Sie sowohl die linke Spalte als auch die virtuelle Tastatur ausblenden.

Vorteile von Online-Charting

  • Visuelle Anzeige der eingegebenen Funktionen
  • Erstellen sehr komplexer Diagramme
  • Konstruktion von implizit angegebenen Graphen (z. B. Ellipse x^2/9+y^2/16=1)
  • Die Möglichkeit, Diagramme zu speichern und einen Link zu ihnen zu erhalten, der allen im Internet zur Verfügung steht
  • Kontrolle von Maßstab und Linienfarbe
  • Möglichkeit, Diagramme nach Punkten unter Verwendung von Konstanten zu zeichnen
  • Mehrere Funktionsgraphen gleichzeitig zeichnen
  • Darstellung in Polarkoordinaten (verwenden Sie r und θ(\theta))

Mit uns ist es einfach, Diagramme unterschiedlicher Komplexität online zu erstellen. Der Bau ist sofort erledigt. Der Dienst ist gefragt, um Schnittpunkte von Funktionen zu finden, Diagramme darzustellen, um sie als Illustrationen bei der Lösung von Problemen weiter in ein Word-Dokument zu verschieben, und um die Verhaltensmerkmale von Funktionsdiagrammen zu analysieren. Der optimale Browser für die Arbeit mit Diagrammen auf dieser Website-Seite ist Google Chrome. Bei Verwendung anderer Browser kann die korrekte Funktion nicht gewährleistet werden.

Zuvor haben wir andere Funktionen untersucht, beispielsweise lineare. Erinnern wir uns an ihre Standardform:

daher der offensichtliche grundlegende Unterschied - in der linearen Funktion X steht im ersten Grad und in der neuen Funktion, die wir zu studieren beginnen, X steht zur zweiten Potenz.

Denken Sie daran, dass der Graph einer linearen Funktion eine gerade Linie ist und der Graph einer Funktion, wie wir sehen werden, eine Kurve ist, die Parabel genannt wird.

Beginnen wir damit, herauszufinden, woher die Formel stammt. Die Erklärung ist folgende: Wenn uns ein Quadrat mit einer Seite gegeben wird A, dann können wir seine Fläche wie folgt berechnen:

Wenn wir die Seitenlänge eines Quadrats ändern, ändert sich auch seine Fläche.

Dies ist also einer der Gründe, warum die Funktion untersucht wird

Denken Sie daran, dass die Variable X- Dies ist eine unabhängige Variable oder ein Argument in einer physikalischen Interpretation, es kann beispielsweise die Zeit sein. Die Entfernung ist dagegen eine abhängige Variable; sie hängt von der Zeit ab. Die abhängige Variable oder Funktion ist eine Variable bei.

Dies ist das Gesetz der Korrespondenz, nach dem jeder Wert X Es wird ein einzelner Wert zugewiesen bei.

Jedes Korrespondenzgesetz muss die Anforderung der Eindeutigkeit von Argument zu Funktion erfüllen. In einer physikalischen Interpretation wird dies am Beispiel der Abhängigkeit der Entfernung von der Zeit ganz deutlich: Zu jedem Zeitpunkt befinden wir uns in einer bestimmten Entfernung vom Startpunkt, und es ist unmöglich, sowohl 10 als auch 20 Kilometer vom Startpunkt entfernt zu sein der Fahrt gleichzeitig zum Zeitpunkt t.

Gleichzeitig kann jeder Funktionswert mit mehreren Argumentwerten erreicht werden.

Wir müssen also einen Graphen der Funktion erstellen und dazu eine Tabelle erstellen. Studieren Sie dann die Funktion und ihre Eigenschaften anhand des Diagramms. Aber noch bevor wir einen Graphen basierend auf dem Funktionstyp konstruieren, können wir etwas über seine Eigenschaften sagen: Das ist offensichtlich bei kann keine negativen Werte annehmen, da

Machen wir also eine Tabelle:

Reis. 1

Aus dem Diagramm lassen sich leicht die folgenden Eigenschaften erkennen:

Achse bei- Dies ist die Symmetrieachse des Diagramms;

Der Scheitelpunkt der Parabel ist Punkt (0; 0);

Wir sehen, dass die Funktion nur nichtnegative Werte akzeptiert;

In dem Intervall wo die Funktion nimmt ab und auf dem Intervall, in dem die Funktion zunimmt;

Die Funktion erhält ihren kleinsten Wert am Scheitelpunkt, ;

Es gibt keinen größten Wert einer Funktion;

Beispiel 1

Zustand:

Lösung:

Weil das X Durch Bedingungsänderungen in einem bestimmten Intervall können wir über die Funktion sagen, dass sie im Intervall zunimmt und sich ändert. Die Funktion hat in diesem Intervall einen Minimalwert und einen Maximalwert

Reis. 2. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈

Beispiel 2

Zustand: Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion:

Lösung:

Xändert sich im Laufe des Intervalls, was bedeutet bei nimmt im Intervall while ab und nimmt im Intervall while zu.

Also die Grenzen der Veränderung X und die Grenzen des Wandels bei und daher gibt es in einem gegebenen Intervall sowohl einen Minimalwert der Funktion als auch einen Maximalwert

Reis. 3. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Lassen Sie uns die Tatsache veranschaulichen, dass der gleiche Funktionswert mit mehreren Argumentwerten erreicht werden kann.

Ein Funktionsgraph ist eine visuelle Darstellung des Verhaltens einer Funktion auf einer Koordinatenebene. Diagramme helfen Ihnen, verschiedene Aspekte einer Funktion zu verstehen, die nicht aus der Funktion selbst bestimmt werden können. Sie können Diagramme für viele Funktionen erstellen, denen jeweils eine bestimmte Formel zugewiesen wird. Der Graph einer beliebigen Funktion wird mithilfe eines bestimmten Algorithmus erstellt (falls Sie den genauen Prozess der grafischen Darstellung einer bestimmten Funktion vergessen haben).

Schritte

Eine lineare Funktion grafisch darstellen

    Bestimmen Sie, ob die Funktion linear ist. Die lineare Funktion wird durch eine Formel der Form gegeben F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) oder y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(zum Beispiel), und sein Graph ist eine gerade Linie. Somit umfasst die Formel eine Variable und eine Konstante (Konstante) ohne Exponenten, Wurzelzeichen oder Ähnliches. Bei einer Funktion eines ähnlichen Typs ist es recht einfach, einen Graphen einer solchen Funktion zu zeichnen. Hier sind weitere Beispiele für lineare Funktionen:

    Verwenden Sie eine Konstante, um einen Punkt auf der Y-Achse zu markieren. Die Konstante (b) ist die „y“-Koordinate des Punktes, an dem der Graph die Y-Achse schneidet. Das heißt, es ist ein Punkt, dessen „x“-Koordinate gleich 0 ist. Wenn also x = 0 ist, wird sie in die Formel eingesetzt , dann y = b (konstant). In unserem Beispiel y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) die Konstante ist gleich 5, d. h. der Schnittpunkt mit der Y-Achse hat die Koordinaten (0,5). Tragen Sie diesen Punkt auf der Koordinatenebene ein.

    Finden Sie die Steigung der Linie. Er entspricht dem Multiplikator der Variablen. In unserem Beispiel y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5) bei der Variablen „x“ gibt es einen Faktor von 2; somit ist der Steigungskoeffizient gleich 2. Der Steigungskoeffizient bestimmt den Neigungswinkel der Geraden zur X-Achse, d. h. je größer der Steigungskoeffizient, desto schneller steigt oder fällt die Funktion.

    Schreiben Sie die Steigung als Bruch. Der Winkelkoeffizient ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels, also dem Verhältnis des vertikalen Abstands (zwischen zwei Punkten auf einer Geraden) zum horizontalen Abstand (zwischen denselben Punkten). In unserem Beispiel beträgt die Steigung 2, sodass wir sagen können, dass der vertikale Abstand 2 und der horizontale Abstand 1 beträgt. Schreiben Sie dies als Bruch: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

    • Wenn die Steigung negativ ist, nimmt die Funktion ab.

  1. Zeichnen Sie von dem Punkt, an dem die gerade Linie die Y-Achse schneidet, einen zweiten Punkt unter Verwendung vertikaler und horizontaler Abstände. Eine lineare Funktion kann mithilfe von zwei Punkten grafisch dargestellt werden. In unserem Beispiel hat der Schnittpunkt mit der Y-Achse die Koordinaten (0,5); Von diesem Punkt aus bewegt man sich 2 Felder nach oben und dann 1 Feld nach rechts. Markieren Sie einen Punkt; es wird die Koordinaten (1,7) haben. Jetzt können Sie eine gerade Linie zeichnen.

    Zeichnen Sie mit einem Lineal eine gerade Linie durch zwei Punkte. Um Fehler zu vermeiden, suchen Sie den dritten Punkt. In den meisten Fällen kann die Grafik jedoch auch mit zwei Punkten erstellt werden. Sie haben also eine lineare Funktion gezeichnet.

    Punkte auf der Koordinatenebene darstellen

    1. Definieren Sie eine Funktion. Die Funktion wird als f(x) bezeichnet. Alle möglichen Werte der Variablen „y“ werden als Domäne der Funktion bezeichnet, und alle möglichen Werte der Variablen „x“ werden als Domäne der Funktion bezeichnet. Betrachten Sie zum Beispiel die Funktion y = x+2, nämlich f(x) = x+2.

      Zeichnen Sie zwei sich schneidende senkrechte Linien. Die horizontale Linie ist die X-Achse. Die vertikale Linie ist die Y-Achse.

      Beschriften Sie die Koordinatenachsen. Teilen Sie jede Achse in gleiche Segmente und nummerieren Sie sie. Der Schnittpunkt der Achsen ist 0. Für die X-Achse: Positive Zahlen werden rechts (von 0) aufgetragen, negative Zahlen links. Für die Y-Achse werden oben positive Zahlen (ab 0) und unten negative Zahlen aufgetragen.

      Finden Sie die Werte von „y“ aus den Werten von „x“. In unserem Beispiel ist f(x) = x+2. Setzen Sie bestimmte x-Werte in diese Formel ein, um die entsprechenden y-Werte zu berechnen. Wenn Sie eine komplexe Funktion erhalten, vereinfachen Sie diese, indem Sie das „y“ auf einer Seite der Gleichung isolieren.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

    2. Zeichnen Sie die Punkte auf der Koordinatenebene ein. Gehen Sie für jedes Koordinatenpaar wie folgt vor: Suchen Sie den entsprechenden Wert auf der X-Achse und zeichnen Sie eine vertikale Linie (gepunktet); Suchen Sie den entsprechenden Wert auf der Y-Achse und zeichnen Sie eine horizontale Linie (gestrichelte Linie). Markieren Sie den Schnittpunkt der beiden gepunkteten Linien. Sie haben also einen Punkt im Diagramm eingezeichnet.

      Löschen Sie die gepunkteten Linien. Tun Sie dies, nachdem Sie alle Punkte des Diagramms auf der Koordinatenebene aufgetragen haben. Hinweis: Der Graph der Funktion f(x) = x ist eine gerade Linie, die durch den Koordinatenmittelpunkt [Punkt mit den Koordinaten (0,0)] verläuft; Der Graph f(x) = x + 2 ist eine Gerade parallel zur Geraden f(x) = x, aber um zwei Einheiten nach oben verschoben und verläuft daher durch den Punkt mit den Koordinaten (0,2) (weil die Konstante 2 ist) .

    Eine komplexe Funktion grafisch darstellen

      Finden Sie die Nullstellen der Funktion. Die Nullstellen einer Funktion sind die Werte der x-Variablen mit y = 0, das heißt, dies sind die Punkte, an denen der Graph die X-Achse schneidet. Beachten Sie, dass nicht alle Funktionen Nullstellen haben, aber sie sind die ersten Schritt im Prozess der grafischen Darstellung einer Funktion. Um die Nullstellen einer Funktion zu finden, setzen Sie sie mit Null gleich. Zum Beispiel:

      Suchen und markieren Sie die horizontalen Asymptoten. Eine Asymptote ist eine Linie, der sich der Graph einer Funktion nähert, die sie jedoch nie schneidet (d. h. in diesem Bereich ist die Funktion nicht definiert, beispielsweise bei der Division durch 0). Markieren Sie die Asymptote mit einer gepunkteten Linie. Wenn die Variable „x“ im Nenner eines Bruchs steht (z. B. y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), setze den Nenner auf Null und finde „x“. In den erhaltenen Werten der Variablen „x“ ist die Funktion nicht definiert (in unserem Beispiel zeichnen Sie gepunktete Linien durch x = 2 und x = -2), da Sie nicht durch 0 dividieren können. Aber Asymptoten existieren nicht nur in Fällen, in denen die Funktion einen Bruchausdruck enthält. Daher empfiehlt es sich, den gesunden Menschenverstand zu nutzen:

Die Konstruktion von Funktionsgraphen, die Module enthalten, bereitet Schülern meist erhebliche Schwierigkeiten. Es ist jedoch nicht alles so schlimm. Es reicht aus, sich ein paar Algorithmen zur Lösung solcher Probleme zu merken, und Sie können problemlos einen Graphen selbst der scheinbar komplexesten Funktion erstellen. Lassen Sie uns herausfinden, um welche Art von Algorithmen es sich handelt.

1. Zeichnen eines Graphen der Funktion y = |f(x)|

Beachten Sie, dass die Menge der Funktionswerte y = |f(x)| : y ≥ 0. Somit liegen die Graphen solcher Funktionen immer vollständig in der oberen Halbebene.

Zeichnen eines Graphen der Funktion y = |f(x)| besteht aus den folgenden einfachen vier Schritten.

1) Konstruieren Sie sorgfältig und sorgfältig einen Graphen der Funktion y = f(x).

2) Lassen Sie alle Punkte im Diagramm unverändert, die über oder auf der 0x-Achse liegen.

3) Zeigen Sie den Teil des Diagramms, der unterhalb der 0x-Achse liegt, symmetrisch relativ zur 0x-Achse an.

Beispiel 1. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = |x 2 – 4x + 3|

1) Wir erstellen einen Graphen der Funktion y = x 2 – 4x + 3. Offensichtlich ist der Graph dieser Funktion eine Parabel. Finden wir die Koordinaten aller Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Daher schneidet die Parabel die 0x-Achse in den Punkten (3, 0) und (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Daher schneidet die Parabel die 0y-Achse im Punkt (0, 3).

Koordinaten des Parabelscheitelpunkts:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Daher ist Punkt (2, -1) der Scheitelpunkt dieser Parabel.

Zeichnen Sie mit den erhaltenen Daten eine Parabel (Abb. 1)

2) Der unter der 0x-Achse liegende Teil des Diagramms wird symmetrisch relativ zur 0x-Achse angezeigt.

3) Wir erhalten einen Graphen der Originalfunktion ( Reis. 2, dargestellt als gepunktete Linie).

2. Grafische Darstellung der Funktion y = f(|x|)

Beachten Sie, dass Funktionen der Form y = f(|x|) gerade sind:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Das bedeutet, dass die Graphen solcher Funktionen symmetrisch zur 0y-Achse sind.

Das Zeichnen eines Graphen der Funktion y = f(|x|) besteht aus der folgenden einfachen Aktionskette.

1) Zeichnen Sie die Funktion y = f(x) grafisch auf.

2) Belassen Sie den Teil des Graphen, für den x ≥ 0 ist, also den Teil des Graphen, der in der rechten Halbebene liegt.

3) Zeigen Sie den in Punkt (2) angegebenen Teil des Diagramms symmetrisch zur 0y-Achse an.

4) Wählen Sie als endgültige Grafik die Vereinigung der in den Punkten (2) und (3) erhaltenen Kurven aus.

Beispiel 2. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = x 2 – 4 · |x| + 3

Da x 2 = |x| 2, dann kann die ursprüngliche Funktion in der folgenden Form umgeschrieben werden: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Jetzt können wir den oben vorgeschlagenen Algorithmus anwenden.

1) Wir erstellen sorgfältig und sorgfältig einen Graphen der Funktion y = x 2 – 4 x + 3 (siehe auch Reis. 1).

2) Wir verlassen den Teil des Graphen, für den x ≥ 0 ist, also den Teil des Graphen, der in der rechten Halbebene liegt.

3) Zeigen Sie die rechte Seite des Diagramms symmetrisch zur 0y-Achse an.

(Abb. 3).

Beispiel 3. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = log 2 |x|

Wir wenden das oben angegebene Schema an.

1) Erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = log 2 x (Abb. 4).

3. Zeichnen Sie die Funktion y = |f(|x|)|

Beachten Sie, dass Funktionen der Form y = |f(|x|)| sind auch gerade. Tatsächlich ist y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), und daher sind ihre Graphen symmetrisch um die 0y-Achse. Die Wertemenge solcher Funktionen: y ≥ 0. Das bedeutet, dass die Graphen solcher Funktionen vollständig in der oberen Halbebene liegen.

Um die Funktion y = |f(|x|)| darzustellen, müssen Sie Folgendes tun:

1) Konstruieren Sie sorgfältig einen Graphen der Funktion y = f(|x|).

2) Lassen Sie den Teil des Diagramms, der über oder auf der 0x-Achse liegt, unverändert.

3) Zeigen Sie den Teil des Diagramms unterhalb der 0x-Achse symmetrisch relativ zur 0x-Achse an.

4) Wählen Sie als endgültige Grafik die Vereinigung der in den Punkten (2) und (3) erhaltenen Kurven aus.

Beispiel 4. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Beachten Sie, dass x 2 = |x| 2. Dies bedeutet, dass anstelle der ursprünglichen Funktion y = -x 2 + 2|x| - 1

Sie können die Funktion y = -|x| verwenden 2 + 2|x| – 1, da ihre Diagramme übereinstimmen.

Wir erstellen einen Graphen y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Dazu verwenden wir Algorithmus 2.

a) Stellen Sie die Funktion y = -x 2 + 2x – 1 grafisch dar (Abb. 6).

b) Wir belassen den Teil des Graphen, der in der rechten Halbebene liegt.

c) Wir stellen den resultierenden Teil des Diagramms symmetrisch zur 0y-Achse dar.

d) Die resultierende Grafik ist in der Abbildung durch die gepunktete Linie dargestellt (Abb. 7).

2) Es gibt keine Punkte oberhalb der 0x-Achse; wir lassen die Punkte auf der 0x-Achse unverändert.

3) Der Teil des Diagramms, der sich unterhalb der 0x-Achse befindet, wird symmetrisch relativ zu 0x angezeigt.

4) Das resultierende Diagramm ist in der Abbildung mit einer gepunkteten Linie dargestellt (Abb. 8).

Beispiel 5. Stellen Sie die Funktion y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| grafisch dar

1) Zuerst müssen Sie die Funktion y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) zeichnen. Dazu kehren wir zu Algorithmus 2 zurück.

a) Zeichnen Sie sorgfältig die Funktion y = (2x – 4) / (x + 3) (Abb. 9).

Beachten Sie, dass diese Funktion gebrochen linear ist und ihr Graph eine Hyperbel ist. Um eine Kurve darzustellen, müssen Sie zunächst die Asymptoten des Diagramms ermitteln. Horizontal – y = 2/1 (das Verhältnis der Koeffizienten von x im Zähler und Nenner des Bruchs), vertikal – x = -3.

2) Wir lassen den Teil des Diagramms, der über oder auf der 0x-Achse liegt, unverändert.

3) Der Teil des Diagramms, der sich unterhalb der 0x-Achse befindet, wird symmetrisch relativ zu 0x angezeigt.

4) Die endgültige Grafik ist in der Abbildung dargestellt (Abb. 11).

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