So lösen Sie Ungleichungen mit 2 Variablen. Zusammenfassung der Lektion „Ungleichungssysteme mit zwei Variablen lösen.“ mit zwei Variablen

Thema: Gleichungen und Ungleichungen. Gleichungssysteme und Ungleichungen

Lektion:Gleichungen und Ungleichungen mit zwei Variablen

Betrachten wir allgemein eine Gleichung und eine Ungleichung mit zwei Variablen.

Gleichung mit zwei Variablen;

Ungleichheit mit zwei Variablen, das Ungleichheitszeichen kann alles sein;

Dabei sind x und y Variablen, p ist ein von ihnen abhängiger Ausdruck

Ein Zahlenpaar () heißt Teillösung einer solchen Gleichung oder Ungleichung, wenn wir beim Einsetzen dieses Paares in den Ausdruck die richtige Gleichung bzw. Ungleichung erhalten.

Die Aufgabe besteht darin, die Menge aller Lösungen zu finden oder auf einer Ebene darzustellen. Sie können diese Aufgabe umschreiben: Finden Sie den Ort der Punkte (GLP), erstellen Sie einen Graphen einer Gleichung oder Ungleichung.

Beispiel 1 – Gleichung und Ungleichung lösen:

Mit anderen Worten: Die Aufgabe besteht darin, die GMT zu finden.

Betrachten wir die Lösung der Gleichung. In diesem Fall kann der Wert der Variablen x beliebig sein, also gilt:

Offensichtlich ist die Lösung der Gleichung die Menge der Punkte, die eine gerade Linie bilden

Reis. 1. Gleichungsdiagramm Beispiel 1

Die Lösungen einer gegebenen Gleichung sind insbesondere die Punkte (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Die Lösung der gegebenen Ungleichung ist eine über der Linie liegende Halbebene, einschließlich der Linie selbst (siehe Abbildung 1). Wenn wir tatsächlich einen beliebigen Punkt x 0 auf der Geraden nehmen, dann gilt die Gleichheit. Wenn wir einen Punkt in einer Halbebene über einer Linie nehmen, haben wir . Wenn wir einen Punkt in der Halbebene unter der Linie nehmen, dann wird er unsere Ungleichung nicht erfüllen: .

Betrachten Sie nun das Problem mit einem Kreis und einem Kreis.

Beispiel 2 – Gleichung und Ungleichung lösen:

Wir wissen, dass die gegebene Gleichung die Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1 ist.

Reis. 2. Abbildung zum Beispiel 2

An einem beliebigen Punkt x 0 hat die Gleichung zwei Lösungen: (x 0; y 0) und (x 0; -y 0).

Die Lösung einer gegebenen Ungleichung ist eine Menge von Punkten, die sich innerhalb des Kreises befinden, ohne den Kreis selbst zu berücksichtigen (siehe Abbildung 2).

Betrachten wir eine Gleichung mit Modulen.

Beispiel 3 – Lösen Sie die Gleichung:

In diesem Fall wäre es möglich, die Module zu erweitern, wir werden jedoch die Besonderheiten der Gleichung berücksichtigen. Es ist leicht zu erkennen, dass der Graph dieser Gleichung um beide Achsen symmetrisch ist. Wenn dann der Punkt (x 0 ; y 0) eine Lösung ist, dann ist der Punkt (x 0 ; -y 0) auch eine Lösung, die Punkte (-x 0 ; y 0) und (-x 0 ; -y 0). ) sind ebenfalls eine Lösung.

Daher reicht es aus, eine Lösung zu finden, bei der beide Variablen nicht negativ sind und Symmetrie um die Achsen annehmen:

Reis. 3. Abbildung zum Beispiel 3

Wie wir sehen, ist die Lösung der Gleichung ein Quadrat.

Schauen wir uns die sogenannte Flächenmethode anhand eines konkreten Beispiels an.

Beispiel 4 – Stellen Sie die Menge der Lösungen für die Ungleichung dar:

Nach der Domänenmethode betrachten wir zunächst die Funktion auf der linken Seite, wenn auf der rechten Seite eine Null steht. Dies ist eine Funktion von zwei Variablen:

Ähnlich wie bei der Intervallmethode entfernen wir uns vorübergehend von der Ungleichung und untersuchen die Merkmale und Eigenschaften der zusammengesetzten Funktion.

ODZ: Das bedeutet, dass die x-Achse punktiert wird.

Nun geben wir an, dass die Funktion gleich Null ist, wenn der Zähler des Bruchs gleich Null ist. Wir haben:

Wir erstellen einen Graphen der Funktion.

Reis. 4. Graph der Funktion unter Berücksichtigung der ODZ

Betrachten Sie nun die Bereiche mit konstantem Vorzeichen der Funktion; sie werden durch eine gerade Linie und eine gestrichelte Linie gebildet. Innerhalb der gestrichelten Linie befindet sich der Bereich D 1. Zwischen einem Abschnitt einer gestrichelten Linie und einer geraden Linie - Bereich D 2, unterhalb der Linie - Bereich D 3, zwischen einem Abschnitt einer gestrichelten Linie und einer geraden Linie - Bereich D 4

In jedem der ausgewählten Bereiche behält die Funktion ihr Vorzeichen, sodass es ausreicht, in jedem Bereich einen beliebigen Testpunkt zu überprüfen.

Im Bereich nehmen wir den Punkt (0;1). Wir haben:

Im Bereich nehmen wir den Punkt (10;1). Wir haben:

Somit ist die gesamte Region negativ und erfüllt nicht die gegebene Ungleichung.

Nehmen Sie im Bereich den Punkt (0;-5). Wir haben:

Somit ist die gesamte Region positiv und erfüllt die gegebene Ungleichung.

1. Ungleichungen mit zwei Variablen. Methoden zur Lösung eines Systems aus zwei Ungleichungen mit zwei Variablen: analytische Methode und grafische Methode.

2. Systeme aus zwei Ungleichungen mit zwei Variablen: Aufzeichnung des Lösungsergebnisses.

3. Mengen von Ungleichungen mit zwei Variablen.

Ungleichheiten und Ungleichheitssysteme mit zwei Variablen. Prädikat der Form f₁(x, y)>< f 2 (х, у), хÎХ, уÎ У, где f₁(х, у) и f 2 (х, у) - Es werden Ausdrücke mit Variablen x und y aufgerufen, die auf der Menge XxY definiert sind Ungleichung mit zwei Variablen (mit zwei Unbekannten) x und y. Es ist klar, dass jede Ungleichung der Form mit zwei Variablen in die Form geschrieben werden kann f(x, y) > 0, ХОХ, du U. Die Ungleichung lösen mit zwei Variablen ist ein Paar von Variablenwerten, das eine Ungleichung in eine echte numerische Ungleichung umwandelt. Es ist bekannt, dass es sich um ein Paar reeller Zahlen handelt (x, y) Bestimmt eindeutig einen Punkt in der Koordinatenebene. Dadurch ist es möglich, Lösungen von Ungleichungen oder Ungleichungssystemen mit zwei Variablen geometrisch in Form einer bestimmten Punktmenge auf der Koordinatenebene darzustellen. Wenn Gl.

f(x, y)= 0 eine bestimmte Linie auf der Koordinatenebene definiert, dann besteht die Menge der Punkte der Ebene, die nicht auf dieser Linie liegen, aus einer endlichen Anzahl von Regionen C₁, C 2,..., S p(Abb. 17.8). In jedem der Bereiche C ist die Funktion f(x, y) ist von Null verschieden, weil Punkte, an denen f(x, y)= 0 gehören zu den Grenzen dieser Gebiete.

Lösung. Lassen Sie uns die Ungleichung in die Form umwandeln x > y 2 + 2y - 3. Konstruieren wir eine Parabel auf der Koordinatenebene X= y 2 + 2y - 3. Die Ebene wird in zwei Bereiche G₁ und G unterteilt 2 (Abb. 17.9). Da die Abszisse eines beliebigen Punktes rechts von der Parabel liegt X= y 2 + 2y- 3, größer als die Abszisse eines Punktes, der die gleiche Ordinate hat, aber auf einer Parabel liegt usw. Ungleichheit x>y g + 2y -3 nicht streng ist, dann ist die geometrische Darstellung der Lösungen dieser Ungleichung die Menge der Punkte der Ebene, die auf der Parabel liegt X= um 2+ 2у - 3 und rechts davon (Abb. 17.9).

Reis. 17.10

Beispiel 17.15. Zeichnen Sie auf der Koordinatenebene die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ein

y > 0,

xy > 5,

x + y<6.

Lösung. Eine geometrische Darstellung der Lösung des Ungleichungssystems x > 0, y > 0 ist die Punktmenge des ersten Koordinatenwinkels. Geometrische Darstellung von Lösungen für Ungleichungen x + y< 6 oder bei< 6 - X ist die Menge der Punkte, die unterhalb der Linie und auf der Linie selbst liegen und als Graph der Funktion dienen y = 6 - X. Geometrische Darstellung von Lösungen für Ungleichungen xy > 5 oder, weil X> 0 Ungleichungen y > 5/x ist die Menge der Punkte, die über dem Zweig der Hyperbel liegen, der als Graph der Funktion dient y = 5/x. Als Ergebnis erhalten wir eine Menge von Punkten der Koordinatenebene, die im ersten Koordinatenwinkel unterhalb der Geraden liegen, die als Graph der Funktion y = 6 - x dient, und oberhalb des Zweigs der Hyperbel, der als dient der Graph der Funktion y = 5x(Abb. 17.10).

Kapitel III. NATÜRLICHE ZAHLEN UND NULL

, und noch mehr Ungleichungssysteme mit zwei Variablen, es scheint eine ziemlich schwierige Aufgabe. Es gibt jedoch einen einfachen Algorithmus, der dabei hilft, scheinbar sehr komplexe Probleme dieser Art einfach und ohne großen Aufwand zu lösen. Versuchen wir es herauszufinden.

Stellen wir uns eine Ungleichung mit zwei Variablen eines der folgenden Typen vor:

y > f(x); y ≥ f(x); j< f(x); y ≤ f(x).

Um die Lösungsmenge einer solchen Ungleichung auf der Koordinatenebene darzustellen, gehen Sie wie folgt vor:

1. Wir erstellen einen Graphen der Funktion y = f(x), der die Ebene in zwei Bereiche unterteilt.
2. Wir wählen einen der resultierenden Bereiche aus und betrachten einen beliebigen Punkt darin. Wir prüfen für diesen Punkt die Machbarkeit der ursprünglichen Ungleichung. Wenn der Test eine korrekte numerische Ungleichung ergibt, schließen wir daraus, dass die ursprüngliche Ungleichung in der gesamten Region erfüllt ist, zu der der ausgewählte Punkt gehört. Somit ist die Lösungsmenge der Ungleichung der Bereich, zu dem der ausgewählte Punkt gehört. Wenn die Prüfung eine falsche numerische Ungleichung ergibt, ist die Menge der Lösungen für die Ungleichung der zweite Bereich, zu dem der ausgewählte Punkt nicht gehört.
3. Wenn die Ungleichung strikt ist, werden die Grenzen der Region, also die Punkte des Graphen der Funktion y = f(x), nicht in die Lösungsmenge einbezogen und die Grenze wird durch eine gepunktete Linie dargestellt. Wenn die Ungleichung nicht streng ist, werden die Grenzen der Region, also die Punkte des Graphen der Funktion y = f(x), in die Lösungsmenge dieser Ungleichung einbezogen und die Grenze in diesem Fall dargestellt als durchgezogene Linie. Schauen wir uns nun einige Probleme zu diesem Thema an.

Aufgabe 1.

Welche Punktmenge ist durch die Ungleichung x · y ≤ 4 gegeben?

Lösung.

1) Wir erstellen einen Graphen der Gleichung x · y = 4. Dazu transformieren wir ihn zunächst. Offensichtlich wird x in diesem Fall nicht zu 0, da sonst 0 · y = 4 wäre, was falsch ist. Das bedeutet, dass wir unsere Gleichung durch x dividieren können. Wir erhalten: y = 4/x. Der Graph dieser Funktion ist eine Hyperbel. Es teilt die gesamte Ebene in zwei Bereiche: den zwischen den beiden Ästen der Hyperbel und den außerhalb davon.

2) Wählen wir einen beliebigen Punkt aus der ersten Region aus, sei es Punkt (4; 2). Überprüfen wir die Ungleichung: 4 · 2 ≤ 4 – falsch.

Dies bedeutet, dass die Punkte dieser Region die ursprüngliche Ungleichung nicht erfüllen. Dann können wir daraus schließen, dass die Lösungsmenge der Ungleichung der zweite Bereich sein wird, zu dem der ausgewählte Punkt nicht gehört.

3) Da die Ungleichung nicht streng ist, zeichnen wir die Randpunkte, also die Punkte des Graphen der Funktion y=4/x, mit einer durchgezogenen Linie.

Malen wir die Punktmenge, die die ursprüngliche Ungleichung definiert, in Gelb (Abb. 1).

Aufgabe 2.

Zeichnen Sie den vom System definierten Bereich auf der Koordinatenebene

Lösung.

Zunächst erstellen wir Diagramme der folgenden Funktionen (Abb. 2):

y = x 2 + 2 – Parabel,

y + x = 1 – Gerade

x 2 + y 2 = 9 – Kreis.

Schauen wir uns nun jede Ungleichung einzeln an.

1) y > x 2 + 2.

Wir nehmen den Punkt (0; 5), der über dem Graphen der Funktion liegt. Überprüfen wir die Ungleichung: 5 > 0 2 + 2 – wahr.

Folglich erfüllen alle Punkte, die über der gegebenen Parabel y = x 2 + 2 liegen, die erste Ungleichung des Systems. Lasst uns sie gelb anmalen.

2) y + x > 1.

Wir nehmen den Punkt (0; 3), der über dem Graphen der Funktion liegt. Überprüfen wir die Ungleichung: 3 + 0 > 1 – wahr.

Folglich erfüllen alle Punkte, die über der Geraden y + x = 1 liegen, die zweite Ungleichung des Systems. Lassen Sie uns sie mit grünen Schattierungen bemalen.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Wir nehmen den Punkt (0; -4), der außerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 9 liegt. Wir überprüfen die Ungleichung: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – falsch.

Folglich erfüllen alle Punkte, die außerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 9 liegen, nicht die dritte Ungleichung des Systems. Dann können wir schließen, dass alle Punkte, die innerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 9 liegen, die dritte Ungleichung des Systems erfüllen. Lassen Sie uns sie mit violetten Schattierungen bemalen.

Vergessen Sie nicht, dass bei strenger Ungleichung die entsprechende Grenzlinie mit einer gepunkteten Linie gezeichnet werden sollte. Wir erhalten das folgende Bild (Abb. 3).

Der gewünschte Bereich ist der Bereich, in dem sich alle drei farbigen Bereiche überschneiden (Abb. 4).

Fragen für Notizen

Schreiben Sie eine Ungleichung, deren Lösung ein Kreis und Punkte innerhalb des Kreises sind:

Finden Sie die Punkte, die die Ungleichung lösen:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)

Lassen f(x,y) Und g(x, y)- zwei Ausdrücke mit Variablen X Und bei und Umfang X. Dann Ungleichungen der Form f(x, y) > g(x, y) oder f(x, y) < g(x, y) angerufen Ungleichung mit zwei Variablen .

Bedeutung von Variablen x, y Von vielen X, bei dem die Ungleichung in eine echte numerische Ungleichung übergeht, heißt es Entscheidung und ist bezeichnet (x, y). Ungleichheit lösen - das bedeutet, viele solcher Paare zu finden.

Wenn jedes Zahlenpaar (x, y) Ordnen Sie den Punkt aus der Lösungsmenge der Ungleichung zu M(x, y) erhalten wir die Menge der Punkte auf der durch diese Ungleichung definierten Ebene. Er heißt Diagramm dieser Ungleichung . Der Graph einer Ungleichung ist normalerweise eine Fläche auf einer Ebene.

Darstellung der Lösungsmenge der Ungleichung f(x, y) > g(x, y), gehen Sie wie folgt vor. Ersetzen Sie zunächst das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen und suchen Sie eine Gerade, die die Gleichung enthält f(x,y) = g(x,y). Diese Linie teilt die Ebene in mehrere Teile. Danach genügt es, in jedem Teil einen Punkt zu nehmen und zu prüfen, ob die Ungleichung an dieser Stelle erfüllt ist f(x, y) > g(x, y). Wenn es an diesem Punkt ausgeführt wird, wird es im gesamten Teil ausgeführt, in dem dieser Punkt liegt. Durch die Kombination dieser Teile erhalten wir viele Lösungen.

Aufgabe. j > X.

Lösung. Zuerst ersetzen wir das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen und konstruieren eine Linie in einem rechtwinkligen Koordinatensystem, die die Gleichung enthält j = X.

Diese Linie teilt die Ebene in zwei Teile. Nehmen Sie anschließend in jedem Teil einen Punkt und prüfen Sie, ob die Ungleichung an dieser Stelle erfüllt ist j > X.

Aufgabe. Lösen Sie die Ungleichung grafisch
X 2 + bei 2 £25.

Gegeben seien zwei Ungleichungen F 1(x, y) > G 1(x, y) Und F 2(x, y) > G 2(x, y).

Systeme von Ungleichungsmengen mit zwei Variablen

System der Ungleichheiten Ist selbst Verbindung dieser Ungleichungen. Systemlösung ist jede Bedeutung (x, y), was jede der Ungleichungen in eine echte numerische Ungleichung verwandelt. Viele Lösungen Systeme Ungleichungen sind der Schnittpunkt von Lösungsmengen für Ungleichungen, die ein gegebenes System bilden.

Satz von Ungleichungen Ist selbst Disjunktion davon Ungleichheiten Lösung festlegen ist jede Bedeutung (x, y), die mindestens eine der Ungleichungen in eine echte numerische Ungleichung umwandelt. Viele Lösungen Gesamtheit ist eine Vereinigung von Lösungsmengen für Ungleichungen, die eine Menge bilden.

Aufgabe. Lösen Sie grafisch das Ungleichungssystem

Lösung. y = x Und X 2 + bei 2 = 25. Wir lösen jede Ungleichung des Systems.

Der Graph des Systems ist die Menge der Punkte auf der Ebene, die den Schnittpunkt (doppelte Schraffur) der Lösungsmengen der ersten und zweiten Ungleichungen darstellen.

Aufgabe. Lösen Sie grafisch eine Reihe von Ungleichungen

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Lösen Sie grafisch die Ungleichungen: a) bei> 2X; B) bei< 2X + 3;

V) X 2+ J 2 > 9; G) X 2+ J 2 £4.

2. Ungleichungssysteme grafisch lösen:

a) b)

Die Videolektion „Ungleichungssysteme mit zwei Variablen“ enthält visuelles Lehrmaterial zu diesem Thema. Die Lektion beinhaltet die Betrachtung des Konzepts der Lösung eines Ungleichungssystems mit zwei Variablen sowie Beispiele für die grafische Lösung solcher Systeme. Der Zweck dieser Videolektion besteht darin, die Fähigkeit der Schüler zu entwickeln, Ungleichungssysteme mit zwei Variablen grafisch zu lösen, um das Verständnis des Prozesses der Lösungsfindung für solche Systeme und das Einprägen der Lösungsmethode zu erleichtern.

Zu jeder Lösungsbeschreibung sind Zeichnungen beigefügt, die die Lösung des Problems auf der Koordinatenebene darstellen. Solche Abbildungen zeigen deutlich die Merkmale der Graphenkonstruktion und die Lage der der Lösung entsprechenden Punkte. Alle wichtigen Details und Konzepte werden farblich hervorgehoben. Somit ist eine Videolektion ein praktisches Hilfsmittel zur Lösung von Lehrerproblemen im Klassenzimmer und befreit den Lehrer von der Präsentation eines Standardmaterialblocks für die individuelle Arbeit mit den Schülern.

Die Videolektion beginnt mit einer Einführung in das Thema und der Betrachtung eines Beispiels für die Lösungsfindung für ein System bestehend aus Ungleichungen x<=y 2 и у<х+3. Примером точки, координаты которой удовлетворяют условиям обеих неравенств, является (1;3). Отмечается, что, так как данная пара значений является решением обоих неравенств, то она является одним из множества решений. А все множество решений будет охватывать пересечение множеств, которые являются решениями каждого из неравенств. Данный вывод выделен в рамку для запоминания и указания на его важность. Далее указывается, что множество решений на координатной плоскости представляет собой множество точек, которые являются общими для множеств, представляющих решения каждого из неравенств.

Das Verständnis der Schlussfolgerungen zur Lösung eines Ungleichungssystems wird durch die Betrachtung von Beispielen gestärkt. Zunächst wird die Lösung des Ungleichungssystems x 2 + y 2 betrachtet<=9 и x+y>=2. Offensichtlich umfassen Lösungen für die erste Ungleichung auf der Koordinatenebene den Kreis x 2 + y 2 = 9 und den Bereich darin. Dieser Bereich in der Abbildung ist mit horizontaler Schattierung gefüllt. Die Lösungsmenge der Ungleichung x+y>=2 umfasst die Gerade x+y=2 und die darüber liegende Halbebene. Auch dieser Bereich ist in der Ebene durch Striche in eine andere Richtung angedeutet. Jetzt können wir den Schnittpunkt zweier Lösungsmengen in der Abbildung bestimmen. Es ist in einem Kreissegment x 2 + y 2 enthalten<=9, который покрыт штриховкой полуплоскости x+y>=2.

Als nächstes analysieren wir die Lösung des Systems der linearen Ungleichungen y>=x-3 und y>=-2x+4. In der Abbildung wird neben der Aufgabenbedingung eine Koordinatenebene konstruiert. Darauf wird eine Gerade konstruiert, die den Lösungen der Gleichung y=x-3 entspricht. Der Lösungsbereich für die Ungleichung y>=x-3 ist der Bereich oberhalb dieser Linie. Sie ist beschattet. Die Lösungsmenge der zweiten Ungleichung befindet sich oberhalb der Linie y=-2x+4. Auch diese Gerade wird auf der gleichen Koordinatenebene konstruiert und die Lösungsfläche schraffiert. Der Schnittpunkt zweier Mengen ist der durch zwei Geraden gebildete Winkel samt Innenbereich. Der Lösungsbereich des Ungleichungssystems ist doppelt schraffiert ausgefüllt.

Bei der Betrachtung des dritten Beispiels wird der Fall beschrieben, dass die Graphen der Gleichungen, die den Ungleichungen des Systems entsprechen, parallele Geraden sind. Es ist notwendig, das Ungleichungssystem y zu lösen<=3x+1 и y>=3x-2. Auf der Koordinatenebene wird eine Gerade konstruiert, die der Gleichung y=3x+1 entspricht. Wertebereich, der Lösungen der Ungleichung y entspricht<=3x+1, лежит ниже данной прямой. Множество решений второго неравенства лежит выше прямой y=3x-2. При построении отмечается, что данные прямые параллельны. Область, являющаяся пересечением двух множеств решений, представляет собой полосу между данными прямыми.

Die Videolektion „Ungleichungssysteme mit zwei Variablen“ kann als visuelle Hilfe im Unterricht in der Schule verwendet werden oder die Erklärung des Lehrers ersetzen, wenn Sie den Stoff selbst studieren. Eine ausführliche und verständliche Erläuterung der Lösung von Ungleichungssystemen auf der Koordinatenebene kann bei der Präsentation des Stoffes im Fernunterricht hilfreich sein.