Kvadratické rovnice. Úplná a neúplná kvadratická rovnice. Definice a příklady neúplných kvadratických rovnic Vyjádřete kvadratickou rovnici pomocí kořenů

V moderní společnosti může být schopnost pracovat s rovnicemi obsahujícími druhou mocninu proměnné užitečná v mnoha oblastech činnosti a je široce používána v praxi ve vědeckém a technickém rozvoji. To lze doložit konstrukcí námořních a říčních plavidel, letadel a raket. Pomocí takových výpočtů se určují trajektorie pohybu různých těles včetně vesmírných objektů. Příklady s řešením kvadratických rovnic se používají nejen v ekonomickém předpovídání, při projektování a výstavbě budov, ale i v nejběžnějších každodenních podmínkách. Mohou být potřeba při kempování, na sportovních akcích, v obchodech při nakupování a v dalších velmi běžných situacích.

Rozdělme výraz na dílčí faktory

Stupeň rovnice je určen maximální hodnotou stupně proměnné, kterou daný výraz obsahuje. Pokud se rovná 2, pak se taková rovnice nazývá kvadratická rovnice.

Pokud mluvíme jazykem vzorců, pak tyto výrazy, ať vypadají jakkoliv, lze vždy uvést do podoby, kdy se levá strana výrazu skládá ze tří pojmů. Mezi nimi: ax 2 (to je proměnná na druhou se svým koeficientem), bx (neznámá bez druhé mocniny se svým koeficientem) a c (volná složka, tedy obyčejné číslo). To vše se na pravé straně rovná 0. V případě, že takový polynom nemá jeden ze svých členů, s výjimkou osy 2, nazývá se neúplnou kvadratickou rovnicí. Nejprve je třeba zvážit příklady s řešením takových problémů, ve kterých není obtížné najít hodnotu proměnných.

Pokud výraz vypadá, že má na pravé straně výrazu dva členy, přesněji ax 2 a bx, je nejjednodušší najít x pomocí závorek proměnnou. Nyní bude naše rovnice vypadat takto: x(ax+b). Dále je zřejmé, že buď x=0, nebo je problém redukován na nalezení proměnné z následujícího výrazu: ax+b=0. To je dáno jednou z vlastností násobení. Pravidlo říká, že součin dvou faktorů má za následek 0 pouze v případě, že jeden z nich je nula.

Příklad

x=0 nebo 8x - 3 = 0

Výsledkem jsou dva kořeny rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohoto druhu mohou popisovat pohyb těles působením gravitace, která se začala pohybovat od určitého bodu, braného jako počátek. Zde má matematický zápis následující tvar: y = v 0 t + gt 2 /2. Dosazením potřebných hodnot, přirovnáním pravé strany k 0 a nalezením možných neznámých můžete zjistit čas, který uplynul od okamžiku, kdy se těleso zvedne do okamžiku jeho pádu, stejně jako mnoho dalších veličin. Ale o tom si povíme později.

Faktorizace výrazu

Výše popsané pravidlo umožňuje řešit tyto problémy ve složitějších případech. Zvažte příklady s řešením kvadratických rovnic tohoto typu.

X2 - 33x + 200 = 0

Tento čtvercový trojčlen je kompletní. Nejprve výraz transformujeme a rozložíme na faktory. Jsou dva: (x-8) a (x-25) = 0. V důsledku toho máme dva kořeny 8 a 25.

Příklady s řešením kvadratických rovnic v 9. ročníku umožňují touto metodou najít proměnnou ve výrazech nejen druhého, ale dokonce i třetího a čtvrtého řádu.

Například: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Při rozdělení pravé strany na faktory s proměnnou jsou tři z nich, tj. (x + 1), (x-3) a (x + 3).

V důsledku toho je zřejmé, že tato rovnice má tři kořeny: -3; -1; 3.

Extrahování druhé odmocniny

Dalším případem neúplné rovnice druhého řádu je výraz napsaný v řeči písmen tak, že pravá strana je sestavena ze složek ax 2 a c. Zde se pro získání hodnoty proměnné přenese volný člen na pravou stranu a poté se z obou stran rovnosti extrahuje druhá odmocnina. Je třeba poznamenat, že v tomto případě jsou obvykle dva kořeny rovnice. Výjimkou jsou pouze rovnosti, které vůbec neobsahují člen c, kde je proměnná rovna nule, a také varianty výrazů, kdy je pravá strana záporná. V druhém případě neexistují vůbec žádná řešení, protože výše uvedené akce nelze provést s kořeny. Je třeba zvážit příklady řešení kvadratických rovnic tohoto typu.

V tomto případě budou kořeny rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet plochy pozemku

Potřeba tohoto druhu výpočtů se objevila již ve starověku, protože rozvoj matematiky v těchto vzdálených dobách byl z velké části způsoben potřebou určit plochy a obvody pozemků s největší přesností.

Měli bychom také zvážit příklady s řešením kvadratických rovnic sestavených na základě úloh tohoto druhu.

Řekněme tedy, že existuje obdélníkový pozemek, jehož délka je o 16 metrů větší než šířka. Měli byste najít délku, šířku a obvod pozemku, pokud je známo, že jeho plocha je 612 m 2.

Když se pustíme do práce, nejprve vytvoříme nezbytnou rovnici. Šířku řezu označme x, jeho délka pak bude (x + 16). Z napsaného vyplývá, že oblast je určena výrazem x (x + 16), což je podle podmínky našeho problému 612. To znamená, že x (x + 16) \u003d 612.

Řešení úplných kvadratických rovnic, a tento výraz je právě to, nelze provést stejným způsobem. Proč? Přestože jeho levá strana stále obsahuje dva faktory, jejich součin se vůbec nerovná 0, takže se zde používají jiné metody.

Diskriminační

Nejprve provedeme potřebné transformace, poté bude vzhled tohoto výrazu vypadat takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že jsme obdrželi výraz ve tvaru odpovídající dříve zadané normě, kde a = 1, b = 16, c = -612.

To může být příklad řešení kvadratických rovnic pomocí diskriminantu. Zde se provádějí potřebné výpočty podle schématu: D = b 2 - 4ac. Tato pomocná hodnota nejenže umožňuje najít požadované hodnoty v rovnici druhého řádu, ale určuje počet možných možností. V případě D>0 jsou dva; pro D=0 je jeden kořen. V případě D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O kořenech a jejich vzorcích

V našem případě je diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. To znamená, že náš problém má odpověď. Pokud víte, že řešení kvadratických rovnic musí pokračovat pomocí níže uvedeného vzorce. Umožňuje vypočítat kořeny.

To znamená, že v prezentovaném případě: x 1 =18, x 2 =-34. Druhá možnost v tomto dilematu nemůže být řešením, protože velikost pozemku nelze měřit v záporných hodnotách, což znamená, že x (tedy šířka pozemku) je 18 m. Odtud vypočítáme délku: 18+16=34 a obvod 2(34+18) = 104 (m2).

Příklady a úkoly

Pokračujeme ve studiu kvadratických rovnic. Příklady a podrobné řešení několika z nich budou uvedeny níže.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Přeneseme vše na levou stranu rovnosti, provedeme transformaci, to znamená, že dostaneme tvar rovnice, která se obvykle nazývá standardní, a srovnáme ji s nulou.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Po přidání podobných určíme diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Naše rovnice tedy bude mít dva kořeny. Vypočítáme je podle výše uvedeného vzorce, což znamená, že první z nich se bude rovnat 4/3 a druhý 1.

2) Nyní odhalíme hádanky jiného druhu.

Pojďme zjistit, zda zde vůbec existují kořeny x 2 - 4x + 5 = 1? Abychom získali vyčerpávající odpověď, převedeme polynom do odpovídajícího známého tvaru a vypočteme diskriminant. V tomto příkladu není nutné řešit kvadratickou rovnici, protože podstata problému v tom vůbec není. V tomto případě D \u003d 16 - 20 \u003d -4, což znamená, že ve skutečnosti neexistují žádné kořeny.

Vietova věta

Je vhodné řešit kvadratické rovnice pomocí výše uvedených vzorců a diskriminantu, když je z jeho hodnoty extrahována druhá odmocnina. To se ale nestává vždy. V tomto případě však existuje mnoho způsobů, jak získat hodnoty proměnných. Příklad: řešení kvadratických rovnic pomocí Vietovy věty. Je pojmenován po muži, který žil ve Francii 16. století a měl skvělou kariéru díky svému matematickému talentu a konexím u dvora. Jeho portrét je k vidění v článku.

Vzor, kterého si slavný Francouz všiml, byl následující. Dokázal, že součet kořenů rovnice je roven -p=b/a a jejich součin odpovídá q=c/a.

Nyní se podíváme na konkrétní úkoly.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pro zjednodušení výraz transformujme:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Pomocí Vietova teorému nám to dá následující: součet kořenů je -7 a jejich součin je -18. Odtud dostaneme, že kořeny rovnice jsou čísla -9 a 2. Po kontrole se ujistíme, že tyto hodnoty proměnných skutečně zapadají do výrazu.

Graf a rovnice paraboly

Pojmy kvadratická funkce a kvadratické rovnice spolu úzce souvisejí. Příklady toho již byly uvedeny dříve. Nyní se podívejme na některé matematické hádanky trochu podrobněji. Jakákoli rovnice popsaného typu může být znázorněna vizuálně. Taková závislost nakreslená ve formě grafu se nazývá parabola. Jeho různé typy jsou znázorněny na obrázku níže.

Každá parabola má vrchol, tedy bod, ze kterého vycházejí její větve. Pokud a>0, jdou vysoko do nekonečna, a když a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuální reprezentace funkcí pomáhají řešit jakékoli rovnice, včetně kvadratických. Tato metoda se nazývá grafická. A hodnota proměnné x je souřadnice v bodech, kde se čára grafu protíná s 0x. Souřadnice vrcholu lze zjistit podle vzorce, který je právě daný x 0 = -b / 2a. A dosazením výsledné hodnoty do původní rovnice funkce lze zjistit y 0, tedy druhou souřadnici vrcholu paraboly patřící k ose y.

Průsečík větví paraboly s osou úsečky

Příkladů s řešením kvadratických rovnic je spousta, ale existují i ​​obecné vzorce. Zvažme je. Je zřejmé, že průsečík grafu s osou 0x pro a>0 je možný pouze v případě, že y 0 nabývá záporných hodnot. A pro a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jinak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z grafu paraboly můžete také určit kořeny. Opak je také pravdou. To znamená, že pokud není snadné získat vizuální reprezentaci kvadratické funkce, můžete přirovnat pravou stranu výrazu k 0 a vyřešit výslednou rovnici. A když známe průsečíky s osou 0x, je snazší kreslit.

Z historie

S pomocí rovnic obsahujících čtvercovou proměnnou se za starých časů nejen matematicky počítalo a určovala plocha geometrických tvarů. Staří lidé potřebovali takové výpočty pro grandiózní objevy v oblasti fyziky a astronomie, stejně jako pro vytváření astrologických předpovědí.

Jak moderní vědci naznačují, obyvatelé Babylonu byli mezi prvními, kdo řešili kvadratické rovnice. Stalo se to čtyři století před příchodem našeho letopočtu. Jejich výpočty se samozřejmě zásadně lišily od v současnosti přijímaných a ukázaly se jako mnohem primitivnější. Například mezopotámští matematici neměli tušení o existenci záporných čísel. Nebyli obeznámeni ani s dalšími jemnostmi těch, které znal každý student naší doby.

Možná ještě dříve než vědci z Babylonu se řešení kvadratických rovnic chopil mudrc z Indie Baudhayama. Stalo se to asi osm století před příchodem Kristovy éry. Pravda, rovnice druhého řádu, metody řešení, které uvedl, byly nejjednodušší. Kromě něj se o podobné otázky za starých časů zajímali i čínští matematici. V Evropě se kvadratické rovnice začaly řešit až počátkem 13. století, ale později je ve své práci začali využívat takoví velcí vědci jako Newton, Descartes a mnozí další.

Vzorce pro kořeny kvadratické rovnice. Jsou zvažovány případy skutečných, vícenásobných a komplexních kořenů. Faktorizace čtvercového trinomu. Geometrická interpretace. Příklady určování kořenů a faktorizace.

Viz také: Řešení kvadratických rovnic online

Základní vzorce

Zvažte kvadratickou rovnici:
(1) .
Kořeny kvadratické rovnice(1) se určují podle vzorců:
; .
Tyto vzorce lze kombinovat takto:
.
Když jsou známy kořeny kvadratické rovnice, pak lze polynom druhého stupně reprezentovat jako součin faktorů (faktorováno):
.

Dále předpokládáme, že jde o reálná čísla.
Zvážit diskriminant kvadratické rovnice:
.
Pokud je diskriminant kladný, pak má kvadratická rovnice (1) dva různé reálné kořeny:
; .
Pak rozklad čtvercového trinomu má tvar:
.
Pokud je diskriminant nulový, pak má kvadratická rovnice (1) dva vícenásobné (stejné) reálné kořeny:
.
Faktorizace:
.
Pokud je diskriminant záporný, pak má kvadratická rovnice (1) dva komplexně sdružené kořeny:
;
.
Zde je pomyslná jednotka, ;
a jsou skutečné a imaginární části kořenů:
; .
Pak

.

Grafická interpretace

Pokud nakreslíme graf funkce
,
což je parabola, pak průsečíky grafu s osou budou kořeny rovnice
.
Když , graf protíná osu úsečky (osa) ve dvou bodech ().
Když se graf dotkne osy x v jednom bodě ().
Když , graf neprotíná osu x ().

Užitečné vzorce související s kvadratickou rovnicí

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Odvození vzorce pro kořeny kvadratické rovnice

Provádíme transformace a aplikujeme vzorce (f.1) a (f.3):




,
Kde
; .

Takže jsme dostali vzorec pro polynom druhého stupně ve tvaru:
.
Z toho je vidět, že rovnice

provedeno v
A .
To je a jsou kořeny kvadratické rovnice
.

Příklady určení kořenů kvadratické rovnice

Příklad 1

(1.1) .

.
Porovnáním s naší rovnicí (1.1) zjistíme hodnoty koeficientů:
.
Hledání diskriminantu:
.
Protože je diskriminant kladný, má rovnice dva reálné kořeny:
;
;
.

Odtud získáme rozklad čtvercového trinomu na faktory:

.

Graf funkce y = 2 x 2 + 7 x + 3 protíná osu x ve dvou bodech.

Nakreslíme funkci
.
Grafem této funkce je parabola. Protíná osu x (osu) ve dvou bodech:
A .
Tyto body jsou kořeny původní rovnice (1.1).

;
;
.

Příklad 2

Najděte kořeny kvadratické rovnice:
(2.1) .

Kvadratickou rovnici napíšeme v obecném tvaru:
.
Porovnáním s původní rovnicí (2.1) zjistíme hodnoty koeficientů:
.
Hledání diskriminantu:
.
Protože diskriminant je nula, rovnice má dva násobné (stejné) kořeny:
;
.

Pak rozklad trojčlenu má tvar:
.

Graf funkce y = x 2–4 x + 4 se v jednom bodě dotýká osy x.

Nakreslíme funkci
.
Grafem této funkce je parabola. Dotýká se osy x (osa) v jednom bodě:
.
Tento bod je kořenem původní rovnice (2.1). Protože tento kořen je faktorizován dvakrát:
,
pak se takový kořen nazývá násobek. To znamená, že se domnívají, že existují dva stejné kořeny:
.

;
.

Příklad 3

Najděte kořeny kvadratické rovnice:
(3.1) .

Kvadratickou rovnici napíšeme v obecném tvaru:
(1) .
Přepišme původní rovnici (3.1):
.
Porovnáním s (1) zjistíme hodnoty koeficientů:
.
Hledání diskriminantu:
.
Diskriminant je záporný, . Proto neexistují žádné skutečné kořeny.

Můžete najít složité kořeny:
;
;
.

Pak


.

Graf funkce neprotíná osu x. Neexistují žádné skutečné kořeny.

Nakreslíme funkci
.
Grafem této funkce je parabola. Nekříží abscisu (osu). Proto neexistují žádné skutečné kořeny.

Neexistují žádné skutečné kořeny. Komplexní kořeny:
;
;
.

Toto téma se může na první pohled zdát složité kvůli mnoha nepříliš jednoduchým vzorcům. Nejen, že samotné kvadratické rovnice mají dlouhé vstupy, ale kořeny se také nacházejí prostřednictvím diskriminantu. K dispozici jsou celkem tři nové vzorce. Není moc snadné si zapamatovat. To je možné pouze po častém řešení takových rovnic. Pak si všechny vzorce budou samy pamatovat.

Obecný pohled na kvadratickou rovnici

Zde se navrhuje jejich explicitní zápis, kdy je nejprve zapsán největší stupeň a poté - v sestupném pořadí. Často dochází k situacím, kdy se pojmy liší. Pak je lepší rovnici přepsat v sestupném pořadí podle stupně proměnné.

Představme si notaci. Jsou uvedeny v tabulce níže.

Pokud přijmeme tyto zápisy, všechny kvadratické rovnice se zredukují na následující zápis.

Navíc koeficient a ≠ 0. Nechť tento vzorec označíme jedničkou.

Když je rovnice dána, není jasné, kolik kořenů bude v odpovědi. Protože vždy je možná jedna ze tří možností:

• řešení bude mít dva kořeny;
• odpověď bude jedno číslo;
• Rovnice nemá vůbec žádné kořeny.

A i když rozhodnutí není dotaženo do konce, je obtížné pochopit, která z možností v konkrétním případě vypadne.

Typy záznamů kvadratických rovnic

Úkoly mohou mít různé položky. Ne vždy budou vypadat jako obecný vzorec kvadratické rovnice. Někdy to bude postrádat některé termíny. To, co bylo napsáno výše, je úplná rovnice. Pokud v něm odstraníte druhý nebo třetí termín, získáte něco jiného. Tyto záznamy se také nazývají kvadratické rovnice, pouze neúplné.

Navíc mohou zmizet pouze členy, pro které koeficienty "b" a "c". Číslo "a" se za žádných okolností nemůže rovnat nule. Protože v tomto případě se vzorec změní na lineární rovnici. Vzorce pro neúplný tvar rovnic budou následující:

Existují tedy pouze dva typy, kromě úplných existují také neúplné kvadratické rovnice. Nechť je první vzorec číslo dvě a druhý číslo tři.

Diskriminant a závislost počtu kořenů na jeho hodnotě

Toto číslo musí být známo, aby bylo možné vypočítat kořeny rovnice. Vždy se dá vypočítat, bez ohledu na to, jaký je vzorec kvadratické rovnice. Abyste mohli vypočítat diskriminant, musíte použít níže napsanou rovnost, která bude mít číslo čtyři.

Po dosazení hodnot koeficientů do tohoto vzorce můžete získat čísla s různými znaménky. Pokud je odpověď ano, pak odpovědí na rovnici budou dva různé kořeny. Při záporném čísle budou chybět kořeny kvadratické rovnice. Pokud se rovná nule, odpověď bude jedna.

Jak se řeší úplná kvadratická rovnice?

Ve skutečnosti se o této otázce již začalo uvažovat. Protože nejprve musíte najít diskriminant. Poté, co je objasněno, že existují kořeny kvadratické rovnice a jejich počet je znám, musíte použít vzorce pro proměnné. Pokud existují dva kořeny, musíte použít takový vzorec.

Protože obsahuje znaménko „±“, budou zde dvě hodnoty. Výraz pod odmocninou je diskriminant. Proto lze vzorec přepsat jiným způsobem.

Formule pět. Ze stejného záznamu je vidět, že pokud je diskriminant nulový, pak oba kořeny budou mít stejné hodnoty.

Pokud řešení kvadratických rovnic ještě nebylo vypracováno, je lepší zapsat hodnoty všech koeficientů před použitím diskriminačních a proměnných vzorců. Později tento okamžik nezpůsobí potíže. Hned na začátku je ale zmatek.

Jak se řeší neúplná kvadratická rovnice?

Všechno je zde mnohem jednodušší. Dokonce ani nejsou potřeba další vzorce. A ty již napsané pro diskriminující a neznámé potřebovat nebudete.

Nejprve zvažte neúplnou rovnici číslo dvě. V této rovnosti má vyjmout neznámou hodnotu ze závorky a vyřešit lineární rovnici, která zůstane v závorce. Odpověď bude mít dva kořeny. První se nutně rovná nule, protože existuje faktor sestávající ze samotné proměnné. Druhý získáme řešením lineární rovnice.

Neúplná rovnice u čísla tři se řeší přenesením čísla z levé strany rovnice na pravou. Pak je třeba vydělit koeficientem před neznámým. Zbývá pouze extrahovat druhou odmocninu a nezapomeňte ji zapsat dvakrát s opačnými znaménky.

Následují některé akce, které vám pomohou naučit se řešit všechny druhy rovnosti, které se mění v kvadratické rovnice. Pomohou žákovi vyvarovat se chyb z nepozornosti. Tyto nedostatky jsou příčinou špatného prospěchu při studiu rozsáhlého tématu „Kvadrické rovnice (8. ročník)“. Následně nebude nutné tyto akce neustále provádět. Protože tam bude stabilní návyk.

• Nejprve musíte napsat rovnici ve standardním tvaru. Tedy nejprve člen s největším stupněm proměnné a pak – bez stupně a poslední – jen číslo.

• Pokud se před koeficientem „a“ objeví mínus, pak to může začátečníkovi zkomplikovat práci se studiem kvadratických rovnic. Je lepší se toho zbavit. Pro tento účel musí být veškerá rovnost vynásobena "-1". To znamená, že všechny výrazy změní znaménko na opačné.

• Stejně tak se doporučuje zbavit se zlomků. Jednoduše vynásobte rovnici příslušným faktorem tak, aby se jmenovatelé vyrovnali.

Příklady

Je potřeba vyřešit následující kvadratické rovnice:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

První rovnice: x 2 - 7x \u003d 0. Je neúplná, proto se řeší tak, jak je popsáno u vzorce číslo dvě.

Po bracketingu se ukáže: x (x - 7) \u003d 0.

První kořen nabývá hodnoty: x 1 \u003d 0. Druhý bude nalezen z lineární rovnice: x - 7 \u003d 0. Je snadné vidět, že x 2 \u003d 7.

Druhá rovnice: 5x2 + 30 = 0. Opět neúplné. Pouze se řeší tak, jak je popsáno u třetího vzorce.

Po přenesení 30 na pravou stranu rovnice: 5x 2 = 30. Nyní je potřeba vydělit 5. Ukáže se: x 2 = 6. Odpovědi budou čísla: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Třetí rovnice: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Zde a níže začne řešení kvadratických rovnic jejich přepsáním do standardního tvaru: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Nyní je čas použít druhou užitečný tip a vše vynásobte mínusem jedna . Ukazuje se x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Podle čtvrtého vzorce musíte vypočítat diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. kladné číslo. Z toho, co bylo řečeno výše, vyplývá, že rovnice má dva kořeny. Je třeba je vypočítat podle pátého vzorce. Podle toho se ukazuje, že x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Potom x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Čtvrtá rovnice x 2 + 8 + 3x \u003d 0 se převede na toto: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Její diskriminant se rovná této hodnotě: -23. Protože toto číslo je záporné, odpověď na tento úkol bude následující záznam: "Neexistují žádné kořeny."

Pátá rovnice 12x + x 2 + 36 = 0 by měla být přepsána následovně: x 2 + 12x + 36 = 0. Po aplikaci vzorce pro diskriminant dostaneme číslo nula. To znamená, že bude mít jeden kořen, a to: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šestá rovnice (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) vyžaduje transformace, které spočívají v tom, že před otevřením závorek musíte přinést podobné členy. Na místě prvního bude takový výraz: x 2 + 2x + 1. Po rovnosti se objeví tento záznam: x 2 + 3x + 2. Po sečtení podobných členů bude mít rovnice tvar: x 2 - x \u003d 0. Stalo se neúplným. Podobná už byla uvažována o něco vyšší. Kořeny toho budou čísla 0 a 1.

“, tedy rovnice prvního stupně. V této lekci prozkoumáme co je kvadratická rovnice a jak to vyřešit.

Co je to kvadratická rovnice

Důležité!

Stupeň rovnice je určen nejvyšším stupněm, na kterém neznámá stojí.

Pokud je maximální stupeň neznámé hodnoty „2“, pak máte kvadratickou rovnici.

Příklady kvadratických rovnic

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0,25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Důležité! Obecný tvar kvadratické rovnice vypadá takto:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - první nebo vyšší koeficient;
• "b" - druhý koeficient;
• "c" je volný člen.

Chcete-li najít "a", "b" a "c", musíte porovnat svou rovnici s obecným tvarem kvadratické rovnice "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Procvičme si určování koeficientů "a", "b" a "c" v kvadratických rovnicích.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Jak řešit kvadratické rovnice

Na rozdíl od lineárních rovnic se k řešení kvadratických rovnic používá speciální rovnice. vzorec pro hledání kořenů.

Pamatovat si!

K vyřešení kvadratické rovnice potřebujete:

• přiveďte kvadratickou rovnici do obecného tvaru "ax 2 + bx + c \u003d 0". To znamená, že na pravé straně by měla zůstat pouze "0";
• použijte vzorec pro kořeny:

Použijme příklad, abychom zjistili, jak použít vzorec k nalezení kořenů kvadratické rovnice. Pojďme vyřešit kvadratickou rovnici.

X2-3x-4 = 0

Rovnice "x 2 - 3x - 4 = 0" již byla zredukována na obecný tvar "ax 2 + bx + c = 0" a nevyžaduje další zjednodušení. Abychom to vyřešili, musíme pouze požádat vzorec pro hledání kořenů kvadratické rovnice.

Definujme koeficienty "a", "b" a "c" pro tuto rovnici.

S jeho pomocí je vyřešena jakákoli kvadratická rovnice.

Ve vzorci "x 1; 2 \u003d" je kořenový výraz často nahrazen
"b 2 − 4ac" na písmeno "D" a nazývá se diskriminant. Pojem diskriminant je podrobněji rozebrán v lekci „Co je diskriminant“.

Zvažte další příklad kvadratické rovnice.

x 2 + 9 + x = 7x

V této podobě je poměrně obtížné určit koeficienty "a", "b" a "c". Nejprve přenesme rovnici do obecného tvaru "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Nyní můžete použít vzorec pro kořeny.

Xi;2=
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

Jsou chvíle, kdy v kvadratických rovnicích nejsou žádné kořeny. Tato situace nastane, když se ve vzorci pod kořenem objeví záporné číslo.

Kvadratické rovnice se studují v 8. ročníku, takže zde není nic složitého. Schopnost je řešit je zásadní.

Kvadratická rovnice je rovnice ve tvaru ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a , b a c jsou libovolná čísla a a ≠ 0.

Před studiem konkrétních metod řešení si všimneme, že všechny kvadratické rovnice lze rozdělit do tří tříd:

1. Nemají kořeny;
2. Mají přesně jeden kořen;
3. Mají dva různé kořeny.

To je důležitý rozdíl mezi kvadratickými a lineárními rovnicemi, kde kořen vždy existuje a je jedinečný. Jak určit, kolik kořenů má rovnice? Na to je úžasná věc - diskriminační.

Diskriminační

Nechť je dána kvadratická rovnice ax 2 + bx + c = 0. Pak je diskriminantem jednoduše číslo D = b 2 − 4ac .

Tento vzorec je třeba znát nazpaměť. Odkud pochází, není nyní důležité. Další věc je důležitá: podle znaménka diskriminantu můžete určit, kolik kořenů má kvadratická rovnice. A to:

1. Pokud D< 0, корней нет;
2. Jestliže D = 0, existuje právě jeden kořen;
3. Pokud D > 0, budou dva kořeny.

Vezměte prosím na vědomí: diskriminant označuje počet kořenů a vůbec ne jejich znaky, jak si z nějakého důvodu mnoho lidí myslí. Podívejte se na příklady a sami vše pochopíte:

Úkol. Kolik kořenů mají kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapíšeme koeficienty pro první rovnici a najdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnice má dva různé kořeny. Druhou rovnici analyzujeme stejným způsobem:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je záporný, nemá kořeny. Zbývá poslední rovnice:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminant je roven nule - odmocnina bude jedna.

Všimněte si, že koeficienty byly zapsány pro každou rovnici. Ano, je to dlouhé, ano, je to zdlouhavé – ale nespletete si šance a neuděláte hloupé chyby. Vyberte si sami: rychlost nebo kvalitu.

Mimochodem, pokud „naplníte ruku“, po chvíli již nebudete muset vypisovat všechny koeficienty. Takové operace budete provádět ve své hlavě. Většina lidí to začne dělat někde po 50-70 vyřešených rovnicích - obecně ne tolik.

Kořeny kvadratické rovnice

Nyní přejdeme k řešení. Pokud je diskriminant D > 0, kořeny lze najít pomocí vzorců:

Základní vzorec pro kořeny kvadratické rovnice

Když D = 0, můžete použít kterýkoli z těchto vzorců – dostanete stejné číslo, které bude odpovědí. Konečně, pokud D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

První rovnice:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnice má dva kořeny. Pojďme je najít:

Druhá rovnice:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnice má opět dva kořeny. Pojďme je najít

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnat)\]

Konečně třetí rovnice:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnice má jeden kořen. Lze použít jakýkoli vzorec. Například ten první:

Jak můžete vidět z příkladů, vše je velmi jednoduché. Pokud znáte vzorce a umíte počítat, nebudou žádné problémy. Nejčastěji dochází k chybám při dosazení záporných koeficientů do vzorce. Zde opět pomůže výše popsaná technika: podívejte se na vzorec doslovně, namalujte každý krok - a velmi brzy se zbavte chyb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stává se, že kvadratická rovnice je poněkud odlišná od toho, co je uvedeno v definici. Například:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Je snadné vidět, že jeden z členů v těchto rovnicích chybí. Takové kvadratické rovnice jsou ještě snadněji řešitelné než standardní: nepotřebují ani počítat diskriminant. Pojďme si tedy představit nový koncept:

Rovnice ax 2 + bx + c = 0 se nazývá neúplná kvadratická rovnice, pokud b = 0 nebo c = 0, tzn. koeficient proměnné x nebo volného prvku je roven nule.

Samozřejmě je možný velmi obtížný případ, kdy jsou oba tyto koeficienty rovny nule: b \u003d c \u003d 0. V tomto případě má rovnice tvar ax 2 \u003d 0. Je zřejmé, že taková rovnice má jedinou kořen: x \u003d 0.

Podívejme se na další případy. Nechť b \u003d 0, pak dostaneme neúplnou kvadratickou rovnici tvaru ax 2 + c \u003d 0. Pojďme ji mírně transformovat:

Protože aritmetická odmocnina existuje pouze z nezáporného čísla, má poslední rovnost smysl pouze tehdy, když (−c / a ) ≥ 0. Závěr:

1. Pokud neúplná kvadratická rovnice tvaru ax 2 + c = 0 vyhovuje nerovnosti (−c / a ) ≥ 0, budou kořeny dva. Vzorec je uveden výše;
2. Pokud (−c / a)< 0, корней нет.

Jak vidíte, diskriminant nebyl vyžadován - v neúplných kvadratických rovnicích nejsou vůbec žádné složité výpočty. Vlastně ani není nutné si pamatovat nerovnost (−c / a ) ≥ 0. Stačí vyjádřit hodnotu x 2 a podívat se, co je na druhé straně rovnítka. Pokud existuje kladné číslo, budou dva kořeny. Pokud je záporná, nebudou zde žádné kořeny.

Nyní se zabývejme rovnicemi tvaru ax 2 + bx = 0, ve kterých je volný prvek roven nule. Všechno je zde jednoduché: vždy budou dva kořeny. Stačí rozložit polynom:

Součin je roven nule, když je alespoň jeden z faktorů roven nule. Odtud pramení kořeny. Na závěr analyzujeme několik těchto rovnic:

Úkol. Řešte kvadratické rovnice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nejsou tam žádné kořeny, protože čtverec se nemůže rovnat zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.