কয়টি কম্বিনেশন 10 এর মধ্যে 2। কম্বিনেটরিক্স: মৌলিক নিয়ম এবং সূত্র। পারমুটেশন এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্ব

সমস্ত N উপাদান, এবং কোনটিই পুনরাবৃত্তি হয় না, তাহলে এটি হল পারমুটেশনের সংখ্যার সমস্যা। সহজ সমাধান পাওয়া যাবে। এন উপাদানগুলির মধ্যে যে কোনও সারিতে প্রথম স্থান নিতে পারে, তাই, N বিকল্পগুলি পাওয়া যায়। দ্বিতীয় স্থানে - যেকোনও, একটি ব্যতীত যা ইতিমধ্যে প্রথম স্থানের জন্য ব্যবহৃত হয়েছে। অতএব, ইতিমধ্যেই পাওয়া N অপশনগুলির প্রতিটির জন্য, (N - 1) দ্বিতীয় স্থানের বিকল্প রয়েছে এবং মোট সংমিশ্রণের সংখ্যা N*(N - 1) হয়ে যায়।
সিরিজের অবশিষ্ট উপাদানগুলির জন্য একই পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে। একেবারে শেষ স্থানের জন্য, শুধুমাত্র একটি বিকল্প বাকি আছে - শেষ অবশিষ্ট উপাদান। শেষের জন্য - দুটি বিকল্প, এবং তাই।
সুতরাং, N-পুনরাবৃত্ত উপাদানগুলির একটি সিরিজের জন্য, সম্ভাব্য স্থানান্তরগুলি 1 থেকে N পর্যন্ত সমস্ত পূর্ণসংখ্যার গুণফলের সমান। এই গুণফলটিকে N-এর ফ্যাক্টরিয়াল বলা হয় এবং N দ্বারা চিহ্নিত করা হয়! ("en factorial" পড়ুন)।

পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে, সিরিজের সম্ভাব্য উপাদানের সংখ্যা এবং স্থানের সংখ্যা মিলেছিল, এবং তাদের সংখ্যা N-এর সমান ছিল। কিন্তু একটি পরিস্থিতি সম্ভব যখন সিরিজে সম্ভাব্য উপাদানগুলির চেয়ে কম স্থান থাকে। অন্য কথায়, নমুনায় উপাদানের সংখ্যা কিছু সংখ্যা M, এবং M এর সমান< N. В этом случае задача определения количества возможных комбинаций может иметь два различных варианта.
প্রথমত, সম্ভাব্য উপায়গুলির মোট সংখ্যা গণনা করার প্রয়োজন হতে পারে যাতে N থেকে M উপাদানগুলিকে সারিবদ্ধভাবে সাজানো যায়।
দ্বিতীয়ত, গবেষকরা N থেকে M উপাদান নির্বাচন করা যায় এমন পদ্ধতিতে আগ্রহী হতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, উপাদানগুলির ক্রম আর গুরুত্বপূর্ণ নয়, তবে যেকোনো দুটি বিকল্প অন্তত একটি উপাদান দ্বারা একে অপরের থেকে পৃথক হতে হবে। . এই জাতীয় পদ্ধতিগুলিকে সংমিশ্রণ বলা হয়।

N-এর মধ্যে M উপাদানগুলির স্থান নির্ধারণের সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য, কেউ একইভাবে যুক্তির অবলম্বন করতে পারে যেমনটি স্থানান্তরের ক্ষেত্রে। প্রথম স্থানে, এখনও N উপাদান থাকতে পারে, দ্বিতীয়টিতে (N - 1), এবং আরও অনেক কিছু। কিন্তু শেষ স্থানের জন্য, সম্ভাব্য বিকল্পগুলির সংখ্যা একটি নয়, তবে (N - M + 1), কারণ যখন বসানো সম্পূর্ণ হবে, তখনও (N - M) অব্যবহৃত উপাদান থাকবে।
এইভাবে, N থেকে M উপাদানগুলির উপর স্থান নির্ধারণের সংখ্যা (N - M + 1) থেকে N পর্যন্ত সমস্ত পূর্ণসংখ্যার গুণফলের সমান, বা, সমানভাবে, ভাগফল N!/(N - M)!।

স্পষ্টতই, N থেকে M উপাদানগুলির সংমিশ্রণের সংখ্যা বসানো সংখ্যার চেয়ে কম হবে। প্রতিটি সম্ভাব্য সংমিশ্রণের জন্য, একটি এম আছে! এই সংমিশ্রণের উপাদানগুলির ক্রম অনুসারে সম্ভাব্য বসানো। অতএব, এই সংখ্যাটি খুঁজে পেতে, আপনাকে N থেকে N থেকে M উপাদানের উপর বসানো সংখ্যাকে ভাগ করতে হবে! অন্য কথায়, N থেকে M উপাদানগুলির সংমিশ্রণের সংখ্যা হল N!/(M!*(N - M)!)।

কম্বিনেটরিক্স

কম্বিনেটরিক্স হল গণিতের একটি শাখা যা প্রদত্ত নিয়ম অনুসারে কিছু মৌলিক সেট থেকে উপাদান নির্বাচন এবং সাজানোর সমস্যাগুলি অধ্যয়ন করে। র্যান্ডম ইভেন্টের সম্ভাব্যতা গণনা করতে এবং সেই অনুযায়ী, এলোমেলো ভেরিয়েবলের বণ্টনের আইন পেতে সম্ভাব্যতা তত্ত্বে কম্বিনেটরিক্সের সূত্র এবং নীতিগুলি ব্যবহার করা হয়। এটি, পরিবর্তে, ভর এলোমেলো ঘটনার আইনগুলি অধ্যয়ন করা সম্ভব করে তোলে, যা প্রকৃতি এবং প্রযুক্তিতে নিজেকে প্রকাশ করে এমন পরিসংখ্যানগত আইনগুলির সঠিক বোঝার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

কম্বিনেটরিক্সে যোগ এবং গুণনের নিয়ম

সমষ্টি নিয়ম। যদি দুটি ক্রিয়া A এবং B পারস্পরিকভাবে একচেটিয়া হয়, এবং A ক্রিয়াটি m উপায়ে এবং B n উপায়ে সম্পাদিত হতে পারে, তবে এই ক্রিয়াগুলির যে কোনো একটি (হয় A বা B) n + m উপায়ে সঞ্চালিত হতে পারে।

উদাহরণ 1

ক্লাসে 16 জন ছেলে এবং 10 জন মেয়ে আছে। কয়টি উপায়ে একজন পরিচারক নিয়োগ করা যায়?

সমাধান

আপনি একজন ছেলে বা মেয়েকে ডিউটিতে নিয়োগ করতে পারেন, যেমন 16 জন ছেলে বা 10 জন মেয়ের যে কোন একটি ডিউটিতে থাকতে পারে।

যোগফলের নিয়ম অনুসারে, আমরা পাই যে একজন ডিউটি ​​অফিসারকে 16+10=26 উপায়ে নিয়োগ করা যেতে পারে।

পণ্যের নিয়ম। ক্রমানুসারে k কর্ম সঞ্চালনের প্রয়োজন হতে দিন। যদি প্রথম ক্রিয়াটি n 1 উপায়ে, দ্বিতীয়টি n 2 উপায়ে, তৃতীয়টি n 3 উপায়ে এবং এইভাবে kth ক্রিয়া পর্যন্ত যা n k উপায়ে সম্পাদিত হতে পারে, তাহলে সমস্ত k ক্রিয়া একসাথে হতে পারে। সম্পাদিত:

উপায়

উদাহরণ 2

ক্লাসে 16 জন ছেলে এবং 10 জন মেয়ে আছে। কয়টি উপায়ে দুজন পরিচারক নিয়োগ করা যায়?

সমাধান

কর্তব্যরত প্রথম ব্যক্তিটি ছেলে বা মেয়ে হতে পারে। কারণ ক্লাসে 16 জন ছেলে এবং 10 জন মেয়ে আছে, তাহলে আপনি 16 + 10 = 26 উপায়ে প্রথম ডিউটি ​​অফিসার নিয়োগ করতে পারেন।

আমরা প্রথম ডিউটি ​​অফিসার বাছাই করার পরে, আমরা বাকি 25 জনের মধ্যে থেকে দ্বিতীয়টি বেছে নিতে পারি, অর্থাৎ 25টি উপায়।

গুণন উপপাদ্য দ্বারা, দুটি পরিচারক 26*25=650 উপায়ে নির্বাচন করা যেতে পারে।

পুনরাবৃত্তি ছাড়া সমন্বয়. পুনরাবৃত্তি সঙ্গে সমন্বয়

কম্বিনেটরিক্সের শাস্ত্রীয় সমস্যা হল পুনরাবৃত্তি ছাড়া সংমিশ্রণের সংখ্যার সমস্যা, যার বিষয়বস্তু প্রশ্ন দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে: কতগুলো উপায় করতে পারা পছন্দ করা থেকে m n বিভিন্ন আইটেম?

উদাহরণ 3

উপহার হিসেবে পাওয়া 10টি ভিন্ন বইয়ের মধ্যে আপনাকে অবশ্যই 4টি বেছে নিতে হবে। কত উপায়ে এটি করা যেতে পারে?

সমাধান

আমাদের 10টি বইয়ের মধ্যে 4টি বেছে নিতে হবে এবং পছন্দের ক্রম কোন ব্যাপার নয়। সুতরাং, আপনাকে 4 দ্বারা 10টি উপাদানের সংমিশ্রণের সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে:

.

পুনরাবৃত্তি সহ সংমিশ্রণের সংখ্যার সমস্যাটি বিবেচনা করুন: প্রতিটি n ভিন্ন ধরণের r অভিন্ন বস্তু রয়েছে; কতগুলো উপায় করতে পারা পছন্দ করা m() এর এইগুলো (n*r) আইটেম?

.

উদাহরণ 4

প্যাস্ট্রি দোকানটি 4 ধরণের কেক বিক্রি করেছিল: নেপোলিয়ন, ইক্লেয়ার, শর্টব্রেড এবং পাফ। 7টি কেক কয়টি উপায়ে কেনা যায়?

সমাধান

কারণ 7 টি কেকের মধ্যে একই জাতের কেক থাকতে পারে, তারপরে 7 থেকে 4 টি পুনরাবৃত্তি সহ সংমিশ্রণের সংখ্যা দ্বারা 7 টি কেক কেনা যায় তার সংখ্যা নির্ধারণ করা হয়।

.

পুনরাবৃত্তি ছাড়া প্লেসমেন্ট. পুনরাবৃত্তি সহ বসানো

কম্বিনেটরিক্সের ক্লাসিক্যাল সমস্যা হল পুনরাবৃত্তি ছাড়া বসানো সংখ্যার সমস্যা, যার বিষয়বস্তু প্রশ্ন দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে: কতগুলো উপায় করতে পারা পছন্দ করা এবং স্থান দ্বারা মি ভিন্ন জায়গা থেকে m n ভিন্ন আইটেম?

উদাহরণ 5

কিছু সংবাদপত্রের 12 পৃষ্ঠা আছে। এই পত্রিকার পাতায় চারটি ছবি রাখা দরকার। সংবাদপত্রের কোনো পৃষ্ঠায় একাধিক ছবি না থাকলে তা কতভাবে করা যায়?

সমাধান।

এই সমস্যায়, আমরা কেবল ফটোগুলি নির্বাচন করি না, তবে সেগুলিকে সংবাদপত্রের নির্দিষ্ট পৃষ্ঠাগুলিতে রাখি এবং সংবাদপত্রের প্রতিটি পৃষ্ঠায় একটির বেশি ছবি থাকা উচিত নয়। এইভাবে, 12টি উপাদান থেকে 4টি উপাদান দ্বারা পুনরাবৃত্তি ছাড়াই বসানোর সংখ্যা নির্ধারণের ক্লাসিক্যাল সমস্যায় সমস্যাটি হ্রাস পেয়েছে:

এইভাবে, 12 পৃষ্ঠায় 4 টি ছবি 11880 উপায়ে সাজানো যেতে পারে।

এছাড়াও, কম্বিনেটরিক্সের শাস্ত্রীয় কাজটি পুনরাবৃত্তি সহ বসানো সংখ্যার সমস্যা, যার বিষয়বস্তু প্রশ্ন দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে: কতগুলো উপায় করতে পারা আপনিখসেনাবাহিনী এবং স্থান দ্বারা মি ভিন্ন জায়গা থেকে m n আইটেমসঙ্গেredi যা এখানে একই?

উদাহরণ 6

ছেলেটির বোর্ড গেমের জন্য সেট থেকে 1, 3 এবং 7 নম্বরের স্ট্যাম্প ছিল৷ সে এই স্ট্যাম্পগুলি ব্যবহার করে সমস্ত বইতে পাঁচ-সংখ্যার সংখ্যা বসানোর সিদ্ধান্ত নিয়েছে - একটি ক্যাটালগ সংকলন করতে৷ ছেলেটি কয়টি ভিন্ন পাঁচ অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করতে পারে?

পুনরাবৃত্তি ছাড়াই পারমুটেশন. পুনরাবৃত্তি সহ ক্রমিউটেশন

কম্বিনেটরিক্সের শাস্ত্রীয় সমস্যা হল পুনরাবৃত্তি ছাড়াই ক্রমাগত সংখ্যার সমস্যা, যার বিষয়বস্তু প্রশ্ন দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে: কতগুলো উপায় করতে পারা স্থান n বিভিন্ন আইটেম চালু n ভিন্ন জায়গা?

উদাহরণ 7

"বিবাহ" শব্দের অক্ষর থেকে কয়টি চার অক্ষরের "শব্দ" তৈরি করা যায়?

সমাধান

সাধারণ সেটটি "বিবাহ" শব্দের 4 টি অক্ষর (b, p, a, k)। "শব্দের" সংখ্যা এই 4টি অক্ষরের পারমুটেশন দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেমন

ক্ষেত্রে যখন নির্বাচিত n উপাদানগুলির মধ্যে একই থাকে (রিটার্ন সহ নির্বাচন), পুনরাবৃত্তি সহ ক্রমাগত সংখ্যার সমস্যাটি প্রশ্ন দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে: n বস্তুর মধ্যে k বিভিন্ন প্রকারের থাকলে n বস্তুগুলিকে n বিভিন্ন স্থানে কত উপায়ে পুনর্বিন্যাস করা যায়< n), т. е. есть одинаковые предметы.

উদাহরণ 8

"মিসিসিপি" শব্দের অক্ষর থেকে কয়টি ভিন্ন অক্ষর সংমিশ্রণ করা যায়?

সমাধান

1 অক্ষর "m", 4 অক্ষর "i", 3 অক্ষর "c" এবং 1 অক্ষর "p", মোট 9 অক্ষর আছে। অতএব, পুনরাবৃত্তি সহ ক্রমাগত সংখ্যা

"কম্বিনেটরিক্স" বিভাগের পটভূমির সারাংশ

বন্ধুরা! যেহেতু আমার কাছে ইতিমধ্যেই এই মৃত নোটবুকটি আছে, তাই আমি আপনাকে একটি সমস্যা জিজ্ঞাসা করার জন্য এটি ব্যবহার করছি যেটি গতকাল তিনজন পদার্থবিদ, দুজন অর্থনীতিবিদ, একজন পলিটেকনিকের এবং একজন মানবিকের সাথে লড়াই করেছিলেন। আমরা আমাদের পুরো মস্তিষ্ক ভেঙে ফেলি এবং আমরা ক্রমাগত বিভিন্ন ফলাফল পাই। হতে পারে আপনার মধ্যে প্রোগ্রামার এবং গাণিতিক প্রতিভা আছে, এছাড়াও, সমস্যাটি সাধারণত স্কুল এবং খুব সহজ, আমাদের কেবল একটি সূত্র নেই। কারণ আমরা সঠিক বিজ্ঞান ছেড়ে দিয়েছি এবং পরিবর্তে, কিছু কারণে, আমরা বই লিখি এবং ছবি আঁকি। দুঃখিত।

তাই, নেপথ্যের গল্প।

আমাকে একটি নতুন ব্যাঙ্ক কার্ড দেওয়া হয়েছিল এবং যথারীতি, আমি অনায়াসে এর পিন কোডটি অনুমান করেছিলাম। তবে এক সারিতে নয়। মানে, ধরা যাক পিন কোডটি ছিল 8794, এবং আমি 9748 নম্বরে কল করেছি। অর্থাৎ, আমি বিজয়ী হয়েছি সব সংখ্যা অনুমানপ্রদত্ত চার-সংখ্যার সংখ্যার মধ্যে রয়েছে। হ্যাঁ ঠিক, শুধু একটি সংখ্যা নয়, কিন্তু শুধু এ এর উপাদানবিস্ময়ের. কিন্তু সংখ্যা সব সত্যি! দ্রষ্টব্য - আমি এলোমেলোভাবে কাজ করেছি, অর্থাৎ, আমাকে ইতিমধ্যে পরিচিত সংখ্যাগুলিকে সঠিক ক্রমে রাখতে হবে না, আমি কেবল আত্মার সাথে কাজ করেছি: এখানে আমার কাছে চারটি সংখ্যা অজানা, এবং আমি বিশ্বাস করি যে তাদের মধ্যে থাকতে পারে 9, 7, 4 এবং 8 হবে, এবং তাদের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়।আমরা অবিলম্বে নিজেদের জিজ্ঞাসা আমার কাছে কত অপশন ছিল(সম্ভবত এটি কতটা শীতল তা বোঝার জন্য আমি এটি নিয়েছি এবং অনুমান করেছি)। অর্থাৎ চারটি সংখ্যার কয়টি কম্বিনেশন থেকে আমাকে বেছে নিতে হবে? এবং তারপর, অবশ্যই, জাহান্নাম শুরু হয়েছিল। আমাদের মাথা সারা সন্ধ্যায় বিস্ফোরিত, এবং সবাই, ফলস্বরূপ, সম্পূর্ণ ভিন্ন উত্তর নিয়ে এসেছিল! এমনকি আমি এই সমস্ত সংমিশ্রণগুলি একটি সারিতে একটি নোটবুকে লিখতে শুরু করেছিলাম যখন সেগুলি বাড়তে থাকে, কিন্তু চারশোতে আমি বুঝতে পারি যে তাদের মধ্যে চার শতাধিক ছিল (যে কোনও ক্ষেত্রে, এটি পদার্থবিদ থ্রাশের উত্তরকে খণ্ডন করেছিল, যিনি আমাকে আশ্বস্ত করেছিলেন যে চার শতাধিক সংমিশ্রণ ছিল, তবে এখনও এটি পুরোপুরি পরিষ্কার নয়) - এবং ছেড়ে দিয়েছিলেন।

আসলে, প্রশ্নের সারমর্ম।চারটি সংখ্যার একটি সংখ্যার মধ্যে থাকা চারটি সংখ্যা অনুমান করার (যেকোন ক্রমে) সম্ভাবনা কত?

বা না, আসুন সংস্কার করি (আমি একজন মানবতাবাদী, দুঃখিত, যদিও আমার সবসময় গণিতের প্রতি একটি বিশাল দুর্বলতা ছিল) এটিকে আরও পরিষ্কার এবং পরিষ্কার করার জন্য। কতগুলো পুনরাবৃত্ত নয় 0 থেকে 9999 পর্যন্ত অর্ডিনাল সংখ্যার একটি সিরিজে থাকা সংখ্যার সংমিশ্রণ? ( দয়া করে এটিকে "কত সংমিশ্রণ" প্রশ্নের সাথে বিভ্রান্ত করবেন না পুনরাবৃত্ত নয়সংখ্যা"!!! সংখ্যা পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে! আমি বলতে চাচ্ছি, 2233 এবং 3322 এই ক্ষেত্রে একই সমন্বয়!!)

বা আরও নির্দিষ্টভাবে। আমাকে চারবার দশের মধ্যে একটি সংখ্যা অনুমান করতে হবে। তবে এক সারিতে নয়।

ভাল, বা অন্য কিছু। সাধারণভাবে, আমার কাছে সংখ্যাসূচক সংমিশ্রণের জন্য কতগুলি বিকল্প ছিল তা আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে, যা কার্ডের পিন কোড তৈরি করেছিল। সাহায্য, ভাল মানুষ! শুধু দয়া করে, সাহায্য করুন, অবিলম্বে লিখতে শুরু করবেন না যে এইগুলির জন্য 9999 বিকল্প রয়েছে(গতকাল এটি প্রথমে সবার মনে এসেছিল) কারণ এটি আজেবাজে কথা - সর্বোপরি, আমাদের উদ্বিগ্ন দৃষ্টিকোণ থেকে, 1234 নম্বর, 3421 নম্বর, 4312 নম্বর এবং আরও অনেক কিছু এক এবং একই! ঠিক আছে, হ্যাঁ, সংখ্যাগুলি পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে, কারণ সেখানে একটি পিন কোড 1111 বা সেখানে রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, 0007৷ আপনি একটি পিন কোডের পরিবর্তে একটি গাড়ির নম্বর কল্পনা করতে পারেন৷ ধরুন, গাড়ির নম্বর তৈরি করে এমন সব একক সংখ্যা অনুমান করার সম্ভাবনা কত? অথবা, সম্ভাব্যতার তত্ত্বকে সম্পূর্ণভাবে নির্মূল করার জন্য - আমাকে কতগুলি সংখ্যাসূচক সমন্বয় থেকে একটি বেছে নিতে হবে?

কিছু সঠিক সূত্রের সাথে আপনার উত্তর এবং যুক্তি ব্যাক আপ করুন, কারণ গতকাল আমরা প্রায় আমাদের মন হারিয়ে ফেলেছি। সবাইকে অগ্রিম অনেক ধন্যবাদ!

পুনশ্চ. একজন স্মার্ট ব্যক্তি, একজন প্রোগ্রামার, শিল্পী এবং উদ্ভাবক, খুব সঠিকভাবে সমস্যার সঠিক সমাধানের পরামর্শ দিয়েছেন, আমাকে কয়েক মিনিটের দুর্দান্ত মেজাজ দিয়েছেন: " সমস্যাটির সমাধান হল: তার একটি অবসেসিভ-বাধ্যতামূলক ব্যাধি রয়েছে, চিকিত্সা হল এই: বিয়ে করুন এবং টমেটো স্পুড করুন। আমি যদি তার জায়গায় থাকতাম, আমি "সম্ভাব্যতা কী" প্রশ্নটি নিয়ে বেশি উদ্বিগ্ন হতাম না, বরং "আমি কি এই সমস্ত সংখ্যার দিকে মনোযোগ দিই" এই প্রশ্নটি নিয়ে বেশি উদ্বিগ্ন হতাম?সাধারণভাবে, যোগ করার কিছু নেই :)

নীচের ক্যালকুলেটরটি m উপাদান দ্বারা n এর সমস্ত সমন্বয় তৈরি করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে।
এলিমেন্টস অফ কম্বিনেটরিক্স ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে এই জাতীয় সংমিশ্রণের সংখ্যা গণনা করা যেতে পারে। পারমুটেশন, প্লেসমেন্ট, কম্বিনেশন।

ক্যালকুলেটরের অধীনে প্রজন্মের অ্যালগরিদমের বর্ণনা।

অ্যালগরিদম

সংমিশ্রণ অভিধানিক ক্রমে উত্পন্ন হয়। অ্যালগরিদম সেটের উপাদানগুলির অর্ডিনাল সূচকগুলির সাথে কাজ করে।
একটি উদাহরণ সহ অ্যালগরিদম বিবেচনা করা যাক।
উপস্থাপনের সহজতার জন্য, পাঁচটি উপাদানের একটি সেট বিবেচনা করুন যার সূচকগুলি 1 দিয়ে শুরু হয়, যথা, 1 2 3 4 5।
এটি m = 3 আকারের সমস্ত সমন্বয় তৈরি করতে হবে।
প্রথমে, প্রদত্ত আকার m-এর প্রথম সংমিশ্রণটি শুরু করা হয় - সূচকগুলি আরোহী ক্রমে
1 2 3
এর পরে, শেষ উপাদানটি চেক করা হয়েছে, যেমন i = 3। যদি এর মান n - m + i এর চেয়ে কম হয়, তাহলে এটি 1 দ্বারা বৃদ্ধি পাবে।
1 2 4
শেষ উপাদান আবার চেক করা হয়, এবং আবার এটি বৃদ্ধি করা হয়.
1 2 5
এখন উপাদানটির মান সর্বাধিক সম্ভাব্য সমান: n - m + i = 5 - 3 + 3 = 5, i = 2 সহ পূর্ববর্তী উপাদানটি চেক করা হয়েছে।
যদি এর মান n - m + i এর চেয়ে কম হয়, তাহলে এটি 1 দ্বারা বৃদ্ধি পাবে এবং এটি অনুসরণকারী সমস্ত উপাদানের জন্য, মানটি পূর্ববর্তী উপাদান প্লাস 1-এর মানের সমান।
1 (2+1)3 (3+1)4 = 1 3 4
তারপর আবার আমরা i = 3 চেক করি।
1 3 5
তারপর - i = 2 চেক করুন।
1 4 5
তারপরে পালা আসে i = 1।
(1+1)2 (2+1)3 (3+1)4 = 2 3 4
এবং আরও,
2 3 5
2 4 5
3 4 5 - শেষ সংমিশ্রণ, যেহেতু এর সমস্ত উপাদান n - m + i এর সমান।

বিশ্বের পরিকাঠামোতে পিন-এর গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা থাকা সত্ত্বেও, লোকেরা আসলে কীভাবে পিন বেছে নেয় তা নিয়ে এখনও কোনো একাডেমিক গবেষণা করা হয়নি।

ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়ের গবেষক সোরেন প্রিবুশ এবং রস অ্যান্ডারসন 4-সংখ্যার ব্যাঙ্ক পিন অনুমান করার অসুবিধার বিশ্বের প্রথম পরিমাণগত বিশ্লেষণ প্রকাশ করে পরিস্থিতি সংশোধন করেছেন।

নন-ব্যাংকিং উত্স এবং অনলাইন সমীক্ষা থেকে পাসওয়ার্ড ফাঁসের তথ্য ব্যবহার করে, গবেষকরা দেখেছেন যে ব্যবহারকারীরা ওয়েবসাইটগুলির জন্য পাসওয়ার্ড পছন্দ করার চেয়ে পিন কোডের পছন্দকে অনেক বেশি গুরুত্ব সহকারে নেয়: বেশিরভাগ কোডে সংখ্যার প্রায় র্যান্ডম সেট থাকে। তবুও, প্রাথমিক তথ্যের মধ্যে সাধারণ সমন্বয় এবং জন্মদিন উভয়ই রয়েছে - অর্থাৎ, কিছু ভাগ্য সহ, একজন আক্রমণকারী সহজভাবে কাঙ্ক্ষিত কোডটি অনুমান করতে পারে।

অধ্যয়নের সূচনা পয়েন্ট ছিল RockYou ডাটাবেস (1.7 মিলিয়ন) থেকে 4-সংখ্যার পাসওয়ার্ড সিকোয়েন্সের একটি সেট এবং আইফোন স্ক্রিন লক প্রোগ্রাম থেকে 200 হাজার পিন কোডের একটি ডাটাবেস (ডাটাবেসটি অ্যাপ্লিকেশন বিকাশকারী ড্যানিয়েল অমিতায় সরবরাহ করেছিলেন) . এই ডেটার উপর নির্মিত গ্রাফগুলি আকর্ষণীয় নিদর্শনগুলি দেখায় - তারিখ, বছর, পুনরাবৃত্তি সংখ্যা এবং এমনকি 69-এ শেষ হওয়া পিন কোডগুলি৷ এই পর্যবেক্ষণগুলির উপর ভিত্তি করে, বিজ্ঞানীরা একটি রৈখিক রিগ্রেশন মডেল তৈরি করেছেন যা 25টি কারণের উপর নির্ভর করে প্রতিটি পিনের জনপ্রিয়তা অনুমান করে, যেমন কোডটি ডিডিএমএম ফরম্যাটে একটি তারিখ কিনা, এটি একটি আরোহী ক্রম, ইত্যাদি। এই সাধারণ শর্তগুলি প্রতিটি সেটের পিন কোডগুলির 79% এবং 93% দ্বারা পূরণ করা হয়৷

সুতরাং, ব্যবহারকারীরা মাত্র কয়েকটি সাধারণ বিষয়ের উপর ভিত্তি করে 4-সংখ্যার কোড বেছে নেয়। যদি ব্যাঙ্কের পিন কোডগুলি এইভাবে বেছে নেওয়া হয়, তবে তাদের মধ্যে 8-9% মাত্র তিনটি প্রচেষ্টায় অনুমান করা যেতে পারে! তবে, অবশ্যই, লোকেরা ব্যাঙ্ক কোডগুলির প্রতি অনেক বেশি মনোযোগী। প্রকৃত ব্যাঙ্কিং ডেটার কোনও বড় সেটের অনুপস্থিতিতে, গবেষকরা 1,300 জনেরও বেশি লোকের সাক্ষাত্কার নিয়েছেন তা মূল্যায়ন করার জন্য যে প্রকৃত পিন কোডগুলি ইতিমধ্যে বিবেচনা করা হয়েছে তাদের থেকে কীভাবে আলাদা। অধ্যয়নের সুনির্দিষ্ট বিষয়গুলি বিবেচনা করে, উত্তরদাতাদের নিজেদের কোডগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা হয়নি, তবে শুধুমাত্র উপরোক্ত কারণগুলির (বৃদ্ধি, ডিডিএমএম বিন্যাস, ইত্যাদি) সাথে তাদের সম্মতি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল৷

দেখা যাচ্ছে যে ব্যাঙ্কের পিন কোডগুলি বেছে নেওয়ার ক্ষেত্রে লোকেরা সত্যিই অনেক বেশি সতর্ক। উত্তরদাতাদের প্রায় এক-চতুর্থাংশ ব্যাঙ্কের তৈরি করা র্যান্ডম পিন ব্যবহার করে। এক তৃতীয়াংশেরও বেশি তাদের পিন বেছে নিন একটি পুরানো ফোন নম্বর, স্টুডেন্ট আইডি নম্বর, বা এলোমেলো কিছু নম্বরের সেট ব্যবহার করে। ফলাফল অনুসারে, 64% কার্ডধারী একটি ছদ্ম-এলোমেলো পিন কোড ব্যবহার করেন, যা নন-ব্যাঙ্ক কোডগুলির সাথে পূর্বের পরীক্ষায় 23-27% এর চেয়ে অনেক বেশি। অন্য 5% একটি সংখ্যা প্যাটার্ন ব্যবহার করে (যেমন 4545) এবং 9% একটি কীবোর্ড প্যাটার্ন পছন্দ করে (যেমন 2684)। সাধারণভাবে, একজন আক্রমণকারী ছয়টি চেষ্টা করে (তিনটি এটিএম দিয়ে এবং তিনটি পেমেন্ট টার্মিনালের মাধ্যমে) অন্য কারও কার্ডের পিন অনুমান করার 2% এরও কম সম্ভাবনা থাকে।

শীর্ষ 100টি জনপ্রিয় পিন

0000, 0101-0103, 0110, 0111, 0123, 0202, 0303, 0404, 0505, 0606, 0707, 0808, 0909, 1010, 1101-1103, 1110-1112, 1123, 1201-1203, 1210-1212, 1234, 1956-2015, 2222, 2229, 2580, 3333, 4444, 5252, 5683, 6666, 7465, 7667.

পুনশ্চ.অনুশীলনে, অবশ্যই, আক্রমণকারীর পক্ষে অনুমান করার চেয়ে আপনার পিনটি গুপ্তচরবৃত্তি করা অনেক সহজ। তবে আপনি নিজেকে উঁকি দেওয়া থেকেও রক্ষা করতে পারেন - এমনকি, এটি একটি হতাশাহীন পরিস্থিতিতে মনে হবে:

কম্বিনেটরিক্স হল গণিতের একটি শাখা যা নির্দিষ্ট শর্ত সাপেক্ষে প্রদত্ত বস্তু থেকে কতগুলি ভিন্ন সংমিশ্রণ তৈরি করা যেতে পারে সে সম্পর্কে প্রশ্ন অধ্যয়ন করে। এলোমেলো ঘটনার সম্ভাব্যতা অনুমান করার জন্য কম্বিনেটরিক্সের মূল বিষয়গুলি খুবই গুরুত্বপূর্ণ, কারণ তারাই ইভেন্টগুলির বিকাশের জন্য বিভিন্ন পরিস্থিতিতে মৌলিকভাবে সম্ভাব্য সংখ্যা গণনা করা সম্ভব করে তোলে।

মৌলিক সমন্বয় সূত্র

উপাদানগুলির k গ্রুপ থাকতে দিন এবং i-th গ্রুপটি n i উপাদান নিয়ে গঠিত। আসুন প্রতিটি গ্রুপ থেকে একটি উপাদান নির্বাচন করি। তারপরে এই ধরনের একটি পছন্দ করা যেতে পারে এমন উপায়গুলির মোট সংখ্যা N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়।

উদাহরণ 1আসুন একটি সহজ উদাহরণ দিয়ে এই নিয়মটি ব্যাখ্যা করি। উপাদানের দুটি গ্রুপ থাকতে দিন, প্রথম দলটি n 1 উপাদান নিয়ে গঠিত এবং দ্বিতীয়টি n 2 উপাদানের। এই দুটি গ্রুপ থেকে কয়টি ভিন্ন জোড়া উপাদান তৈরি করা যেতে পারে যাতে জোড়ায় প্রতিটি গ্রুপ থেকে একটি উপাদান থাকে? ধরুন আমরা প্রথম গ্রুপ থেকে প্রথম উপাদানটি নিয়েছি এবং এটি পরিবর্তন না করে, সমস্ত সম্ভাব্য জোড়ার মধ্য দিয়ে গিয়েছিলাম, শুধুমাত্র দ্বিতীয় গ্রুপের উপাদানগুলি পরিবর্তন করেছি। এই উপাদানটির জন্য n 2টি এমন জোড়া রয়েছে। তারপরে আমরা প্রথম গ্রুপ থেকে দ্বিতীয় উপাদানটি গ্রহণ করি এবং এর জন্য সম্ভাব্য সমস্ত জোড়া তৈরি করি। এছাড়াও n 2 এই ধরনের জোড়া থাকবে। যেহেতু প্রথম গ্রুপে শুধুমাত্র n 1 উপাদান রয়েছে, তাই n 1 * n 2 সম্ভাব্য বিকল্প থাকবে।

উদাহরণ 2 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 সংখ্যাগুলি পুনরাবৃত্তি করা গেলে সংখ্যাগুলি থেকে কয়টি তিন অঙ্কের জোড় সংখ্যা তৈরি করা যায়?
সমাধান: n 1 \u003d 6 (যেহেতু আপনি প্রথম অঙ্ক হিসাবে 1, 2, 3, 4, 5, 6 থেকে যেকোনো অঙ্ক নিতে পারেন), n 2 \u003d 7 (যেহেতু আপনি দ্বিতীয় অঙ্ক হিসাবে 0 থেকে যেকোনো অঙ্ক নিতে পারেন, 1 , 2, 3, 4, 5, 6), n 3 \u003d 4 (যেহেতু আপনি তৃতীয় অঙ্ক হিসাবে 0, 2, 4, 6 থেকে যেকোনো অঙ্ক নিতে পারেন)।
সুতরাং, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.

ক্ষেত্রে যখন সমস্ত গ্রুপ একই সংখ্যক উপাদান নিয়ে গঠিত, যেমন n 1 = n 2 =...n k =n আমরা ধরে নিতে পারি যে প্রতিটি পছন্দ একই গ্রুপ থেকে করা হয়েছে, এবং উপাদানটি পছন্দের পরে গ্রুপে ফিরে আসে। তারপর বেছে নেওয়ার সমস্ত উপায়ের সংখ্যা n k এর সমান। কম্বিনেটরিক্সে বেছে নেওয়ার এই উপায়টিকে বলা হয় নমুনা ফেরত।

উদাহরণ 3 1, 5, 6, 7, 8 সংখ্যা থেকে কয়টি চার অঙ্কের সংখ্যা তৈরি করা যায়?
সমাধান।চার-সংখ্যার প্রতিটি সংখ্যার জন্য পাঁচটি সম্ভাবনা রয়েছে, তাই N=5*5*5*5=5 4 =625।

n উপাদান সমন্বিত একটি সেট বিবেচনা করুন. কম্বিনেটরিক্সে এই সেটকে বলা হয় সাধারণ জনগন.

m দ্বারা n উপাদান থেকে বসানোর সংখ্যা

সংজ্ঞা 1.থেকে বাসস্থান nদ্বারা উপাদান মিকম্বিনেটরিক্সে যেকোন বলা হয় অর্ডার করা সেটথেকে মিসাধারণ জনসংখ্যা থেকে নির্বাচিত বিভিন্ন উপাদান nউপাদান

উদাহরণ 4তিনটি উপাদানের বিভিন্ন বিন্যাস (1, 2, 3) দুই দ্বারা দুই সেট হবে (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) , 2)। প্লেসমেন্ট উপাদান এবং তাদের ক্রম উভয় একে অপরের থেকে পৃথক হতে পারে।

কম্বিনেটরিক্সে প্লেসমেন্টের সংখ্যা A n m দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

মন্তব্য: n!=1*2*3*...*n (পড়ুন: "en factorial"), উপরন্তু, এটা ধরে নেওয়া হয় যে 0!=1।

উদাহরণ 5. কয়টি দ্বি-সংখ্যার সংখ্যা আছে যেখানে দশ সংখ্যা এবং একক সংখ্যা ভিন্ন এবং বিজোড়?
সমাধান:কারণ পাঁচটি বিজোড় সংখ্যা আছে, যথা 1, 3, 5, 7, 9, তারপর এই সমস্যাটি পাঁচটি ভিন্ন অঙ্কের মধ্যে দুটিকে দুটি ভিন্ন অবস্থানে বাছাই এবং স্থাপন করার জন্য হ্রাস করা হয়, অর্থাৎ প্রদত্ত সংখ্যা হবে:

সংজ্ঞা 2. সমন্বয়থেকে nদ্বারা উপাদান মিকম্বিনেটরিক্সে যেকোন বলা হয় অবিন্যস্ত সেটথেকে মিসাধারণ জনসংখ্যা থেকে নির্বাচিত বিভিন্ন উপাদান nউপাদান

উদাহরণ 6. সেটের জন্য (1, 2, 3), সমন্বয়গুলি হল (1, 2), (1, 3), (2, 3)।

m দ্বারা n উপাদানের সংমিশ্রণের সংখ্যা

সংমিশ্রণের সংখ্যা C n m দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

উদাহরণ 7পাঠক উপলব্ধ ছয়টি বইয়ের মধ্যে কতটি উপায়ে দুটি বই বেছে নিতে পারেন?

সমাধান:উপায়ের সংখ্যা দুই দ্বারা ছয়টি বইয়ের সংমিশ্রণের সংখ্যার সমান, অর্থাৎ সমান:

n উপাদানের স্থানান্তর

সংজ্ঞা 3. পারমুটেশনথেকে nউপাদান কোন বলা হয় অর্ডার করা সেটএই উপাদান.

উদাহরণ 7a.তিনটি উপাদান (1, 2, 3) সমন্বিত একটি সেটের সম্ভাব্য সমস্ত পরিবর্তনগুলি হল: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2)।

n উপাদানগুলির বিভিন্ন স্থানান্তরের সংখ্যা P n দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং P n = n! সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়।

উদাহরণ 8কয়টি উপায়ে বিভিন্ন লেখকের সাতটি বই একটি শেল্ফে সারিবদ্ধভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:এই সমস্যাটি সাতটি ভিন্ন বইয়ের ক্রমাগত সংখ্যা সম্পর্কে। P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 বই সাজানোর উপায় আছে।

আলোচনা।আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সম্ভাব্য সংমিশ্রণের সংখ্যা বিভিন্ন নিয়ম অনুসারে গণনা করা যেতে পারে (পরিবর্তন, সংমিশ্রণ, স্থান নির্ধারণ), এবং ফলাফল ভিন্ন হবে, কারণ গণনার নীতি এবং সূত্রগুলি নিজেই আলাদা। সংজ্ঞাগুলি ঘনিষ্ঠভাবে দেখলে, আপনি দেখতে পাবেন যে ফলাফল একই সময়ে বিভিন্ন কারণের উপর নির্ভর করে।

প্রথমত, কতগুলি উপাদান থেকে আমরা তাদের সেটগুলিকে একত্রিত করতে পারি (উপাদানের সাধারণ জনসংখ্যা কত বড়)।

দ্বিতীয়ত, ফলাফল আমাদের প্রয়োজনীয় উপাদানগুলির কোন আকারের সেটগুলির উপর নির্ভর করে।

অবশেষে, সেটের উপাদানগুলির ক্রম আমাদের জন্য তাৎপর্যপূর্ণ কিনা তা জানা গুরুত্বপূর্ণ। নিচের উদাহরণ দিয়ে শেষ ফ্যাক্টরটি ব্যাখ্যা করা যাক।

উদাহরণ 9অভিভাবক সভায় 20 জন লোক রয়েছে। অভিভাবক কমিটির গঠনের জন্য কয়টি ভিন্ন বিকল্প আছে যদি এতে 5 জনকে অন্তর্ভুক্ত করা উচিত?
সমাধান:এই উদাহরণে, আমরা কমিটির তালিকায় নামের ক্রম সম্পর্কে আগ্রহী নই। যদি, ফলস্বরূপ, একই লোকেরা এর রচনায় উপস্থিত হয়, তবে আমাদের জন্য অর্থের দিক থেকে এটি একই বিকল্প। অতএব, আমরা সংখ্যা গণনা করতে সূত্র ব্যবহার করতে পারি সংমিশ্রণ 20টি উপাদানের মধ্যে 5টি।

কমিটির প্রতিটি সদস্য প্রাথমিকভাবে একটি নির্দিষ্ট কাজের জন্য দায়ী থাকলে বিষয়গুলি আলাদা হবে। তাহলে একই বেতন দিয়ে কমিটির ভেতরে ৫ জন সম্ভব! বিকল্প স্থানান্তরঐ ব্যাপারটা. এই ক্ষেত্রে বিভিন্ন বিকল্পের সংখ্যা (কম্পোজিশন এবং দায়িত্বের ক্ষেত্র উভয় ক্ষেত্রেই) সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয় বসানো 20টি উপাদানের মধ্যে 5টি।

স্ব-পরীক্ষার জন্য কাজ
1. সংখ্যাগুলো পুনরাবৃত্তি করা গেলে 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 সংখ্যা থেকে কয়টি তিন অঙ্কের জোড় সংখ্যা তৈরি করা যায়?
কারণ তৃতীয় স্থানে একটি জোড় সংখ্যা হতে পারে 0, 2, 4, 6, অর্থাৎ চার সংখ্যা. দ্বিতীয় স্থানটি সাতটি সংখ্যার যেকোনো একটি হতে পারে। প্রথম স্থানটি শূন্য বাদে সাতটি সংখ্যার যেকোনো একটি হতে পারে, অর্থাৎ 6টি সম্ভাবনা। ফলাফল =4*7*6=168।
2. কয়টি পাঁচ-সংখ্যার সংখ্যা আছে যেগুলি বাম থেকে ডানে এবং ডান থেকে বামে একইভাবে পড়ে?
প্রথম স্থানটি 0 বাদে যেকোনো সংখ্যা হতে পারে, অর্থাৎ 9টি সম্ভাবনা। দ্বিতীয় স্থানটি যেকোনো সংখ্যা হতে পারে, যেমন 10টি সম্ভাবনা। তৃতীয় স্থান থেকে যেকোনো সংখ্যা হতে পারে, যেমন 10টি সম্ভাবনা। চতুর্থ এবং পঞ্চম সংখ্যাগুলি পূর্বনির্ধারিত, তারা প্রথম এবং দ্বিতীয়টির সাথে মিলে যায়, তাই, এই জাতীয় সংখ্যার সংখ্যা 9*10*10=900।
3. ক্লাসে দশটি বিষয় এবং দিনে পাঁচটি পাঠ থাকে। কত উপায়ে আপনি একদিনের জন্য একটি সময়সূচী তৈরি করতে পারেন?

4. দলে 20 জন থাকলে কয়টি উপায়ে সম্মেলনের জন্য 4 জন প্রতিনিধি নির্বাচন করা যেতে পারে?

n = C 20 4 = (20!)/(4!*(20-4)!)=(16!*17*18*19*20)/((1*2*3*4)*(16! ))=(17*18*19*20)/(1*2*3*4)=4845।
5. প্রতিটি খামে শুধুমাত্র একটি অক্ষর থাকলে আটটি ভিন্ন ভিন্ন খামে আটটি ভিন্ন অক্ষর কতভাবে রাখা যায়?
প্রথম খামে, আপনি আটটি অক্ষরের মধ্যে 1টি, বাকি সাতটি অক্ষরের মধ্যে দ্বিতীয়টিতে, ছয়টির মধ্যে তৃতীয়টিতে, ইত্যাদি রাখতে পারেন। n = 8! = 1*2*3*4*5*6*7*8 = 40320।
6. তিনজন গণিতবিদ এবং দশজন অর্থনীতিবিদ থেকে দুজন গণিতবিদ এবং ছয়জন অর্থনীতিবিদ নিয়ে একটি কমিশন তৈরি করা প্রয়োজন। কত উপায়ে এটি করা যেতে পারে?